蔣吉清李鋼魏綱魏新江孫澤星

城市交通系統(tǒng)中寬扁梁結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)分析*

蔣吉清1李鋼2魏綱1魏新江1孫澤星1

（1.浙江大學(xué)城市學(xué)院工程分院，310015，杭州；2.鐵道第三勘察設(shè)計(jì)院集團(tuán)有限公司，300450，天津//第一作者，副教授）

為研究城市交通系統(tǒng)中寬扁梁的動(dòng)力性能，由明德林（Mindlin）板理論退化得到板梁的控制方程，并推導(dǎo)出兩端簡支和兩端固支板梁的自由振動(dòng)特征方程，然后分別求解其自振頻率和模態(tài)，并將計(jì)算結(jié)果與鐵木辛科（Timoshenko）梁、Mindlin板的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，總結(jié)板梁方程的梁寬適用范圍并考慮泊松比對(duì)寬梁自由振動(dòng)的影響。分析表明：相較Timoshenko梁方程，板梁方程更貼近Mindlin板的計(jì)算結(jié)果，尤其是前5階自振頻率，更適于較大泊松比的寬梁結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析。

明德林板理論；板梁；鐵木辛科梁；自振頻率；振動(dòng)模態(tài)

First-author′s addressSchool of Engineering，Zhejiang U－niversity City College，310015，Hangzhou，China

隨著高架橋、地鐵、輕軌等城市公共交通系統(tǒng)的快速發(fā)展，越來越多的寬梁結(jié)構(gòu)被實(shí)際工程所采用，如多車道的橋面梁、中短型地鐵浮置板道床等［1-3］。目前，就理論模型而言，學(xué)者們常采用Euler-Bernoulli梁理論或Rayleigh-Timoshenko理論模擬實(shí)際梁狀結(jié)構(gòu)［4-5］。前者也稱為經(jīng)典梁理論，適用于細(xì)長梁以及低中頻振動(dòng)問題的求解，如鋼軌［6］、中長型浮置板等［7-9］；后者考慮了剪切變形和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的影響，適用于較大高跨比的深梁以及梁的高頻振動(dòng)問題和波動(dòng)問題［10］。

然而，對(duì)于寬度較大的寬扁梁結(jié)構(gòu)，現(xiàn)有的理論模型存在如下兩方面問題：①若采用經(jīng)典梁理論或Timoshenko梁理論，將無法考慮梁的寬度尺寸對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響，而事實(shí)上梁的寬度越大，計(jì)算結(jié)果將越接近彈性力學(xué)板理論的結(jié)果；②若直接采用經(jīng)典板理論或Mindlin板理論進(jìn)行分析，雖能保障計(jì)算精度，但求解難度大幅增加，且在很多情況下都難以直接得到理論解，只能進(jìn)行數(shù)值計(jì)算。

針對(duì)上述問題，本文將Mindlin板理論退化得到適用于寬梁結(jié)構(gòu)的動(dòng)力控制方程，稱為Mindlin板梁方程（Mindlin plate-beam theory）。此外，推導(dǎo)得到不同邊界條件下寬梁的自振頻率和模態(tài)，并分別與Timoshenko梁理論和Mindlin板理論的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。結(jié)果表明：對(duì)于寬梁結(jié)構(gòu)，板梁理論的計(jì)算結(jié)果介于兩者之間，比Timoshenko梁的結(jié)果更加精確，且在提高計(jì)算精度的同時(shí)保持了相對(duì)簡潔的分析過程，具有良好的應(yīng)用分析前景。

1 Mindlin板梁動(dòng)力控制方程

1951年，在經(jīng)典板理論的基礎(chǔ)上，Mindlin考慮了轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和剪切效應(yīng)的影響，以此得到以下Mindlin板的控制方程［11］：

式中：

E——彈性模量；

G——剪切模量；

μ——泊松比；

ρ——材料密度；

k——剪切系數(shù)，k=π2/12；

h——板厚；

q——外荷載；

v——板厚方向的位移；

ψx，ψz——轉(zhuǎn)角。

位移和轉(zhuǎn)角的正方向如圖1所示。假設(shè)ψx和v沿z方向保持不變，即ψx=ψx（x，t），v=v（x，t），并忽略式（1）中ψz的影響，經(jīng)整理后，退化得到Mindlin板梁理論的基本方程［12］：

式中：

I——z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；

b——截面寬度；

A——梁截面積。

由式（2）可發(fā)現(xiàn)，Mindlin板梁方程的形式與Timoshenko梁非常相似。事實(shí)上，式（2）即為從Mindlin板的角度得到的梁方程，該方程同時(shí)考慮了梁的寬度、剪切效應(yīng)和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的影響。

圖1 板梁模型及坐標(biāo)系示意圖

2 Mindlin板梁自由振動(dòng)分析

2.1 模態(tài)函數(shù)

對(duì)于某單跨均勻板梁，當(dāng)不考慮外荷載作用時(shí)，Mindlin板梁（簡稱P-B板梁）的自由振動(dòng)方程為：

式中：

未知系數(shù)ajm和djm由板梁的邊界條件確定（j= 1，2）。

由表1可知，路面經(jīng)過冷補(bǔ)瀝青修補(bǔ)料處治后，其抗滑性能可滿足道路行車安全要求。該高速公路坑槽修補(bǔ)路面經(jīng)過1年使用后，其表面骨料在行車荷載的作用下逐漸被磨光并趨向穩(wěn)定，摩擦系數(shù)BPN均滿足規(guī)范中對(duì)高速公路瀝青路面擺值＞45的要求。

2.2 邊界條件及特征方程

若板梁兩端簡支，則邊界條件可表示為：

將v（x，t）位移和轉(zhuǎn)角ψx（x，t）的表達(dá)式代入式（6），經(jīng)整理后可得：

式中：

D（ω）——4階方陣，其元素的具體表達(dá)式由邊界條件（6）推導(dǎo)而得；

A——系數(shù)列向量，A=a1md1ma2md2m[

為得到系數(shù)矩陣A的非零解，必須滿足

由此所得的方程即為頻率特征方程，通過數(shù)值搜根可得到簡支板梁的任意階自振頻率ωm。將ωm的值代回式（7），求解出系數(shù)矩陣A，并將其歸一化，分別代入式（4）和式（5），即可求得模態(tài)函數(shù)Um（x）和ψm（x）。

當(dāng)板梁兩端固定時(shí)，只需將邊界條件改為：

按照同樣的步驟可得到D（ω）的表達(dá)式及其行列式方程。對(duì)于其它復(fù)雜邊界條件（如彈簧支座等），以上方程也同樣適用。

3 數(shù)值算例及分析

為分析P-B板梁的動(dòng)力性能，本文采用跨高比l/h=20的寬梁模型（相當(dāng)于中長型浮置板的跨高比），并將計(jì)算結(jié)果與Timoshenko梁（簡稱T-B梁）理論及Mindlin板（簡稱M-P板）理論的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，其中M-P板的自振頻率采用SAP2000軟件進(jìn)行計(jì)算。最后，根據(jù)數(shù)值結(jié)果討論P(yáng)-B梁方程的梁寬適用范圍以及泊松比取值的影響。

為消除具體參數(shù)數(shù)值的影響，采用無量綱分析，其中無量綱自振頻率系數(shù)ωi的表達(dá)式為［13］：

式中：

ωi——第i階自振頻率。

3.1 板梁方程的梁寬適用范圍

如前所述，P-B梁方程適用于寬梁結(jié)構(gòu)的動(dòng)力分析。此處將采用不同的寬度條件，并將P-B梁的計(jì)算結(jié)果分別與T-B梁和M-P板的自振頻率進(jìn)行比較，以得到板梁方程的梁寬適用范圍。

3種不同理論的前10階無量綱頻率系數(shù)如表1所示。在兩端簡支的邊界條件下，P-B梁的自振頻率與M-P板（對(duì)邊簡支、對(duì)邊自由）的結(jié)果更為接近，尤其是工程中常用的前5階頻率。當(dāng)b/h從1逐漸變化到10（典型單向浮置板）的過程中，M-P板與P-B梁的第5階頻率誤差僅為0.93%；同階的T-B梁誤差為3.02%，是P-B梁的3.2倍，可見板梁理論跟Mindlin板理論的計(jì)算結(jié)果更吻合。

隨著梁寬增加，P-B梁與M-P板的自振頻率吻合階數(shù)逐步降低（表1中虛線所示部分）。當(dāng)b/h= 4時(shí)，兩者的前8階頻率吻合較好；當(dāng)b/h=6時(shí)，前6階吻合較好；而當(dāng)b/h=10時(shí)，僅前5階符合較好。需指出的是，P-B梁理論和T-B梁理論都屬于一維線彈性理論，因此，梁的寬度大小并不直接影響計(jì)算結(jié)果，只有M-P板的自振頻率會(huì)隨著寬度的變化而變化。此處討論不同的寬度取值只是為了探討P-B梁理論的適用范圍。

簡支條件下P-B梁的各階模態(tài)函數(shù)也可相應(yīng)求得，部分結(jié)果如圖2所示。

圖2 簡支板梁的自振模態(tài)

表1 單跨簡支寬梁的自由振動(dòng)頻率系數(shù)（μ=0.3）

考慮其它邊界條件（如兩端固定），所得的3類理論模型的自振頻率變化趨勢(shì)與簡支情況類似，具體如表2所示。根據(jù)前述計(jì)算結(jié)果，可簡要總結(jié)如下：在b/h≤4的范圍內(nèi)，應(yīng)用P-B梁理論計(jì)算寬梁的動(dòng)力特性能夠獲得良好的結(jié)果。

3.2 泊松比的影響

對(duì)于寬梁而言，橫向變形效應(yīng)即泊松比的影響較為顯著。如表3所示，隨著泊松比的增大，T-B梁自振頻率有微小下降，在對(duì)邊簡支、對(duì)邊自由的邊界條件下，當(dāng)μ=0.1和0.5時(shí)，第1階、第4階和第8階自振頻率的變化分別只有0.005%、0.070%和1.950%。但相同條件下，P-B梁的自振頻率隨泊松比的增大而顯著增大，相應(yīng)階次的自振頻率的變化分別為7.070%、5.600%和2.790%。

表2 兩端固定寬梁的自由振動(dòng)頻率系數(shù)（μ=0.3）

P-B梁與T-B梁的同階頻率差異也隨著泊松比的增大而增大，具體如圖3所示。此外，通過與M-P板進(jìn)行對(duì)比發(fā)現(xiàn)，當(dāng)b/h≤4時(shí)，P-B梁的計(jì)算結(jié)果無論從數(shù)值上還是趨勢(shì)上，都更接近M-P板理論，但隨著板寬的進(jìn)一步增大（當(dāng)b/h=5），兩者的差異增大，再次驗(yàn)證了第3.1節(jié)關(guān)于板梁的梁寬適用范圍的結(jié)論。

4 結(jié)論

圖3 不同泊松比下兩端簡支梁的頻率系數(shù)

表3 泊松比對(duì)兩端簡支T-B梁和P-B梁頻率系數(shù)的影響

根據(jù)Mindlin板理論退化得到適用于寬梁結(jié)構(gòu)的板梁控制方程，推導(dǎo)板梁的自由振動(dòng)特征方程，求解出不同邊界條件下的自振頻率和模態(tài)函數(shù)。與Timoshenko梁理論、Mindlin板理論的自振頻率進(jìn)行對(duì)比，總結(jié)出板梁方程的梁寬適用范圍，并分析了泊松比對(duì)自由振動(dòng)特性的影響。

具體算例表明，無論采用兩端簡支或兩端固支的邊界條件，當(dāng)寬厚比b/h≤10時(shí)，板梁方程和Mindlin板方程的前5階自振頻率非常吻合，且寬厚比越小，頻率吻合的總階次越高。同時(shí)，隨著泊松比的增加，板梁理論的計(jì)算結(jié)果相比較Timoshenko梁理論精度更高。

綜合而言，Mindlin板梁方程適用于寬度效應(yīng)顯著（b/h≤4）、泊松比μ較大的寬扁梁結(jié)構(gòu)分析，如中短型浮置板等，所得結(jié)果與二維Mindlin板理論的結(jié)果十分貼近，但可避免Mindlin板復(fù)雜的求解過程，具有良好的應(yīng)用前景。

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Analysis of Plate-beam Free Vibration in Urban Traffic System

JIANG Jiqing，LIGang，WEIGang，WEIXinjiang，SUN Zexing

To study the dynamic analysis of plate-beam，the governing equations are derived from the Mindlin plate theory，the characteristic equations of simply-supported ends and clamped-clamped beam ends are obtained respectively.Then，the natural frequency and normal mode are calculated and compared with those of the Timoshenko beam and Mindlin plate，a suitable range of length-to-width ratio is concluded for the application of the plate-beam theory and the influence of Poisson's ratio on the free vibration of wide beam.As the result，the plate-beam theory is proved to have better agreement with the Mindlin plate theory rather than the Timoshenko beam equations，especially for the first five frequencies.

Mindlin plate theory；plate-beam；Timoshenko beam；natural frequency；vibration mode

TU311.3；U448.21+2

10.16037/j.1007-869x.2017.08.004

2017-01-22）

*浙江省自然科學(xué)基金項(xiàng)目（LY17E080005）；國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（51278463，51508506）