徐奕柳 楊 龍 楊中原 肖 超 周玉林

1.北京衛(wèi)星環(huán)境工程研究所，北京，100094 2.燕山大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，秦皇島，0660043.石家莊鐵道大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，石家莊，050043

新型PURU+RR+S球面并聯(lián)人形機(jī)器人踝關(guān)節(jié)機(jī)構(gòu)動力學(xué)性能分析

徐奕柳1楊 龍2,3楊中原2肖 超2周玉林2

1.北京衛(wèi)星環(huán)境工程研究所，北京，100094 2.燕山大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，秦皇島，0660043.石家莊鐵道大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，石家莊，050043

提出了一種新型PURU+RR+S球面并聯(lián)人形機(jī)器人踝關(guān)節(jié)機(jī)構(gòu)，根據(jù)機(jī)構(gòu)的幾何約束關(guān)系和速度合成定理，建立包括各個構(gòu)件位姿、速度的機(jī)構(gòu)運(yùn)動學(xué)模型。在此基礎(chǔ)上，考慮各構(gòu)件慣性力的影響，基于虛功原理和拉格朗日方程，建立了機(jī)構(gòu)動力學(xué)模型。通過實(shí)驗(yàn)測量，得到一組人體踝關(guān)節(jié)的運(yùn)動學(xué)數(shù)據(jù)，利用傅里葉公式進(jìn)行擬合，得到人體踝關(guān)節(jié)的位姿函數(shù)。將此位姿函數(shù)分別作為理論模型、踝關(guān)節(jié)虛擬樣機(jī)的輸出，得到踝關(guān)節(jié)機(jī)構(gòu)輸入的數(shù)值解、仿真數(shù)據(jù)，驗(yàn)證了運(yùn)動學(xué)和動力學(xué)模型的正確性。研究結(jié)果為該人形機(jī)器人踝關(guān)節(jié)機(jī)構(gòu)在工程中的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)與應(yīng)用提供了動力學(xué)理論基礎(chǔ)和依據(jù)。

人形機(jī)器人；踝關(guān)節(jié)機(jī)構(gòu)；動力學(xué)分析；球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)

0 引言

仿生學(xué)在人形機(jī)器人關(guān)節(jié)設(shè)計(jì)中具有廣闊的應(yīng)用前景[1-3]，仿生踝關(guān)節(jié)是人形機(jī)器人機(jī)械本體的重要組成部分之一，得到眾多學(xué)者的關(guān)注。

CECCARELLI等[4]以并聯(lián)機(jī)構(gòu)作為人形機(jī)器人的仿生關(guān)節(jié)構(gòu)型，該構(gòu)型從結(jié)構(gòu)組成、運(yùn)動特性上講，更加符合人體客觀實(shí)際。戚開誠[5]用兩自由度球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)UP+R作為人形機(jī)器人的踝關(guān)節(jié)。金振林等[6]以球面5R機(jī)構(gòu)為原型，提出了一種機(jī)器人踝關(guān)節(jié)。俞志偉等[7]采用虎克鉸鏈作為人形機(jī)器人踝關(guān)節(jié)。付金海[8]以十字萬向節(jié)作為機(jī)器人的踝關(guān)節(jié)，兩個驅(qū)動器結(jié)構(gòu)為直流電機(jī)帶動滾珠絲杠，驅(qū)動器與腳板通過球形關(guān)節(jié)連接，可實(shí)現(xiàn)腳板上下左右的運(yùn)動。LOHMEIER等[9]以萬向節(jié)作為人形機(jī)器人LOLA的踝關(guān)節(jié)研制了雙足機(jī)器人。OGURA等[10]設(shè)計(jì)了人形機(jī)器人WABIAN-IIR，采用萬向節(jié)作為踝關(guān)節(jié)，結(jié)構(gòu)與LOLA類似，足部增加一個被動腳趾自由度，是現(xiàn)今走路最像人類的人形機(jī)器人。ALFAYAD等[11]設(shè)計(jì)了一種串并聯(lián)相結(jié)合的三自由度混聯(lián)踝關(guān)節(jié)。

機(jī)構(gòu)的動力學(xué)模型是進(jìn)行動力學(xué)性能評價、動力學(xué)控制研究的基礎(chǔ)和前提。目前比較成熟的動力學(xué)建模方法有Lagrange法、牛頓-歐拉法、凱恩法、虛功原理法等。李成剛等[12]基于虛功原理推導(dǎo)了兩自由度球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)的動力學(xué)模型。WU等[13]以3-RRR球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)為研究對象，采用Lagrange法建立了動力學(xué)模型并進(jìn)行了結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)。WANG等[14]以3-DOFs驅(qū)動冗余并聯(lián)機(jī)器人為研究對象，在傳統(tǒng)牛頓-歐拉法的基礎(chǔ)上，提出一種簡化的動力學(xué)建模方法。劉曉等[15]基于耦合并聯(lián)機(jī)構(gòu)特殊的運(yùn)動特性，結(jié)合虛功率形式達(dá)朗貝爾原理建立了并聯(lián)機(jī)構(gòu)的耦合動力學(xué)模型。

現(xiàn)有的并聯(lián)仿人機(jī)器人踝關(guān)節(jié)大都采用虎克鉸作為核心機(jī)構(gòu)，通過連桿并聯(lián)驅(qū)動實(shí)現(xiàn)踝關(guān)節(jié)的俯仰和翻轉(zhuǎn)運(yùn)動，這類機(jī)構(gòu)占用空間較大,仿生水平較低。

本文提出一種新型PURU+RR+S球面并聯(lián)人形機(jī)器人踝關(guān)節(jié)機(jī)構(gòu)，首先建立包括各個構(gòu)件位姿、速度的完整運(yùn)動學(xué)模型；其次，基于運(yùn)動學(xué)模型，根據(jù)虛功原理和拉格朗日方程，建立機(jī)構(gòu)的動力學(xué)模型；最后，利用人體踝關(guān)節(jié)運(yùn)動數(shù)據(jù)，對機(jī)構(gòu)運(yùn)動學(xué)及動力學(xué)模型進(jìn)行驗(yàn)證。

1 PURU+RR+S球面并聯(lián)人形機(jī)器人踝關(guān)節(jié)機(jī)構(gòu)

如圖1所示，PURU+RR+S球面并聯(lián)人形機(jī)器人踝關(guān)節(jié)機(jī)構(gòu)由三個運(yùn)動支鏈組成。

圖1 PURU+RR+S球面并聯(lián)人形機(jī)器人 踝關(guān)節(jié)機(jī)構(gòu)Fig.1 PURU+RR+S spherical parallel humanoid ankle mechanism

支鏈2由機(jī)架、驅(qū)動滑塊、上拉桿、下拉桿和動平臺組成。上下拉桿通過轉(zhuǎn)動副B2連接，轉(zhuǎn)動副的軸線方向?yàn)檠厣舷吕瓧U的長度方向。上拉桿的上端、下拉桿下端分別通過U副A2、U副C2與驅(qū)動滑塊、動平臺相連接。在初始位姿時，驅(qū)動滑塊的軸線和拉桿的軸線組成的平面垂直于弧形叉的平面。

支鏈3為機(jī)架和動平臺組成的中心球面副支鏈。在驅(qū)動滑塊和驅(qū)動弧形叉的驅(qū)動下，動平臺可以實(shí)現(xiàn)兩個方向的擺動。

以球心點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),建立與機(jī)架固連的固定坐標(biāo)系{C}:OXYZ，其中，Z軸與機(jī)架軸線重合，指向豎直向下，Y軸與驅(qū)動弧形叉的轉(zhuǎn)動副軸線重合，指向如圖1所示，X軸由右手法則確定。

將動平臺、弧形叉、下拉桿、上拉桿和驅(qū)動滑塊分別記為構(gòu)件i(i=1,2,3,4,5)，以O(shè)點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),分別建立與構(gòu)件1固連的坐標(biāo)系{N1}:Ox1y1z1，與構(gòu)件2固連的坐標(biāo)系{N2}:Ox2y2z2。

以B2點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),建立與構(gòu)件3固連的坐標(biāo)系{N3}:B2x3y3z3。以A2點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),分別建立與構(gòu)件4固連的坐標(biāo)系{N4}:A2x4y4z4,與構(gòu)件5固連的坐標(biāo)系{N5}:A2x5y5z5。初始時刻，5個坐標(biāo)系與固定坐標(biāo)系的對應(yīng)坐標(biāo)軸正向平行。

初始位姿時，A2點(diǎn)和C2點(diǎn)在固定坐標(biāo)系{C}中的坐標(biāo)為：

CA2=(r，0，L)CC2=(r，0，0)

其中，r和L為相應(yīng)的坐標(biāo)值。

2 機(jī)構(gòu)的運(yùn)動學(xué)模型

2.1 位置反解

機(jī)構(gòu)的輸入記為(α,l)，其中，α為驅(qū)動弧形叉繞X軸轉(zhuǎn)動的角度，l為驅(qū)動滑塊沿Z軸方向的位移。輸出記為(θx,θy)，其中，θx、θy分別為動平臺繞x1、y1軸轉(zhuǎn)動的角度。坐標(biāo)系{N1}相對于固定坐標(biāo)系{C}的旋轉(zhuǎn)矩陣為

(1)

式中，cθx表示cosθx,sθx表示sinθx，其余類似。

此時，C2點(diǎn)在固定坐標(biāo)系{C}中的坐標(biāo)為

(2)

A2點(diǎn)在固定坐標(biāo)系{C}中的坐標(biāo)為

CA2=(r，0，L+l)

(3)

根據(jù)桿長約束方程和機(jī)構(gòu)運(yùn)動特性，得到

(4)

2.2 各構(gòu)件的姿態(tài)

由機(jī)構(gòu)的運(yùn)動特性，得到

(5)

(6)

根據(jù)幾何關(guān)系約束方程，得到

(7)

A3=su2sθyc(u1-θx)+cu2cθy

由于滑塊相對于固定坐標(biāo)系的姿態(tài)不變，上拉桿坐標(biāo)系{N4}相對于固定坐標(biāo)系{C}的旋轉(zhuǎn)矩陣為

(8)

下拉桿坐標(biāo)系{N3}相對于固定坐標(biāo)系{C}的旋轉(zhuǎn)矩陣為

(9)

2.3 各構(gòu)件的角速度

由角速度合成定理可知，構(gòu)件i的角速度矢量為

ωi=Ei×ωhi

(10)

式中，Ei為構(gòu)件i的姿態(tài)角一階導(dǎo)數(shù)矢量ωhi變換到角速度矢量ωi的變換矩陣。

(11)

(12)

(13)

(14)

其中，u3x、u3y由機(jī)構(gòu)的尺寸參數(shù)、位姿參數(shù)確定。

2.4 各構(gòu)件質(zhì)心的位置和線速度

構(gòu)件i(i=1,2,3,4,5)的質(zhì)心記為ri，ri在坐標(biāo)系{Ni}中的位置矢量Niri由單個構(gòu)件的尺寸確定，ri在固定坐標(biāo)系{C}中的位置矢量Cri為

(15)

3 機(jī)構(gòu)的動力學(xué)模型

PURU+RR+S球面并聯(lián)人形機(jī)器人踝關(guān)節(jié)機(jī)構(gòu)為過約束機(jī)構(gòu)，采用虛功原理和拉格朗日方程相結(jié)合的方法，從能量角度出發(fā)，分析系統(tǒng)的動能、勢能和廣義力，推導(dǎo)出基于任務(wù)空間的動力學(xué)方程，避開討論冗余約束對動力學(xué)模型的影響。

為便于分析，選擇動平臺的姿態(tài)角作為廣義坐標(biāo)，忽略各運(yùn)動副質(zhì)量和摩擦力的影響，假設(shè)各構(gòu)件的質(zhì)量均勻分布，各關(guān)節(jié)的約束力為理想約束。

3.1 系統(tǒng)動能

機(jī)構(gòu)的動能為5個構(gòu)件動能的總和，表示為

(16)

式中，mi為構(gòu)件i的質(zhì)量；Ipi為構(gòu)件i的轉(zhuǎn)動慣量矩陣。

Ipi由下式確定:

(17)

3.2 系統(tǒng)勢能

勢能的大小與零點(diǎn)位置的選擇有關(guān)，設(shè)固定坐標(biāo)系的原點(diǎn)為零勢能點(diǎn)，不計(jì)構(gòu)件彈性和摩擦，則系統(tǒng)的勢能為

(18)

式中，g為重力加速度；zti、z0i分別為運(yùn)動狀態(tài)、初始狀態(tài)時，構(gòu)件i質(zhì)心在Z軸方向的投影。

3.3 動力學(xué)方程

根據(jù)虛功原理，驅(qū)動力的虛功之和等于廣義力載荷的虛功之和，得到

(19)

將式(16)、式(18)、式(19)代入拉格朗日方程，得到

(20)

化簡求得驅(qū)動力為

(21)

4 仿生數(shù)值計(jì)算與仿真

4.1 人體踝關(guān)節(jié)的運(yùn)動數(shù)據(jù)

使用Xsens MVN慣性運(yùn)動捕捉系統(tǒng)測量人體踝關(guān)節(jié)的運(yùn)動數(shù)據(jù)，即實(shí)驗(yàn)對象以1.2 m/s的速度行走時，踝關(guān)節(jié)兩個方向的擺動角度。

實(shí)驗(yàn)環(huán)境為常溫，無強(qiáng)磁干擾。實(shí)驗(yàn)對象為10名男性(編號：01～10)和10名女性(編號：11～20)，男性實(shí)驗(yàn)對象身高、體重為(1.710±0.030)m、(68±2.5)kg，女性實(shí)驗(yàn)對象身高、體重為(1.572±0.028)m、(45±2.1)kg。

人體踝關(guān)節(jié)的俯仰角度θx隨時間的變化規(guī)律如圖2所示，對測量得到的數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，得到俯仰角度θx隨時間變化的擬合函數(shù):

θx=-0.044-0.102cos(5.284t)+0.004sin(5.284t)-0.022cos(10.568t)+0.066sin(10.568t)

(22)

圖2 人體踝關(guān)節(jié)的俯仰角度Fig.2 Pitch angle of human ankle

人體踝關(guān)節(jié)的橫滾角度θy隨時間的變化規(guī)律如圖3所示，對測量得到的數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，得到橫滾角度θy隨時間變化的擬合函數(shù):

θy=-0.035-0.058cos(5.305t)-0.073sin(5.305t)+0.1cos(10.610t)+0.009sin(10.610t)

(23)

圖3 人體踝關(guān)節(jié)的橫滾角度Fig.3 Roll angle of human ankle

4.2 運(yùn)動學(xué)數(shù)值計(jì)算與仿真

將人體踝關(guān)節(jié)運(yùn)動學(xué)擬合函數(shù)即式(22)、式(23)分別代入式(11)、式(15)，可得到動平臺角速度、動平臺質(zhì)心線速度的數(shù)值解，見圖4、圖5。

圖4 動平臺角速度的數(shù)值解Fig.4 Numerical solution of angular velocity of moving platform

圖5 動平臺質(zhì)心線速度的數(shù)值解Fig.5 Numerical solution of centroid linear velocity of moving platform

將人體踝關(guān)節(jié)運(yùn)動學(xué)擬合函數(shù)，即式(22)、式(23)作為踝關(guān)節(jié)機(jī)構(gòu)虛擬樣機(jī)的輸出，通過ADAMS軟件，得到動平臺角速度、動平臺質(zhì)心線速度的仿真數(shù)據(jù)，如圖6、圖7所示。

圖6 動平臺角速度仿真數(shù)據(jù)Fig.6 Simulation data of angular velocity of moving platform

圖7 動平臺質(zhì)心線速度的仿真數(shù)據(jù)Fig.7 Simulation data of centroid linear velocity of moving platform

對比分析發(fā)現(xiàn)，理論計(jì)算結(jié)果與仿真結(jié)果基本一致，證明踝關(guān)節(jié)機(jī)構(gòu)運(yùn)動學(xué)模型的正確性。

4.3 動力學(xué)數(shù)值計(jì)算與仿真

將人體踝關(guān)節(jié)運(yùn)動學(xué)擬合函數(shù)，即式(22)、式(23)代入式(21)，得到驅(qū)動力和驅(qū)動力矩的數(shù)值解，如圖8所示。

圖8 驅(qū)動力/力矩的數(shù)值解Fig.8 Numerical solution of driving force/torque

將人體踝關(guān)節(jié)運(yùn)動學(xué)擬合函數(shù)，即式(22)、式(23)作為踝關(guān)節(jié)機(jī)構(gòu)虛擬樣機(jī)的輸出，通過ADAMS軟件，得到驅(qū)動力和驅(qū)動力矩的仿真數(shù)據(jù)，如圖9所示。

圖9 驅(qū)動力/力矩的仿真數(shù)據(jù)Fig.9 Simulation data of driving force/torque

對比分析發(fā)現(xiàn)，理論計(jì)算結(jié)果與仿真結(jié)果基本一致，證明踝關(guān)節(jié)機(jī)構(gòu)動力學(xué)模型的正確性。

5 結(jié)論

(1)本文提出了一種PURU+RR+S球面并聯(lián)人形機(jī)器人踝關(guān)節(jié)機(jī)構(gòu)，建立了包括各個構(gòu)件位姿、角速度的完整運(yùn)動學(xué)模型。

(2)在運(yùn)動學(xué)模型的基礎(chǔ)上，采用虛功原理和拉格朗日方程相結(jié)合的方法，推導(dǎo)出機(jī)構(gòu)基于任務(wù)空間的動力學(xué)方程。

(3)通過實(shí)驗(yàn)測量，得到一組人體踝關(guān)節(jié)的運(yùn)動學(xué)數(shù)據(jù)，利用此數(shù)據(jù)，通過數(shù)值計(jì)算和仿真，驗(yàn)證了運(yùn)動學(xué)、動力學(xué)模型的正確性。

[1] XING Denghai, CHEN Wuyi, ZHAO Ling, et al. Structural Bionic Design for High-speed Machine Tool Working Table Based on Distribution Rules of Leaf Veins[J]. Science China Technological Science, 2012, 55(8): 2091-2098.

[2] JIA Honglei, LI Changying, ZHANG Zhihong, et al. Design of Bionic Saw Blade for Corm Stalk Cutting[J]. Journal of Bionic Engineering, 2014, 11(1): 90-97.

[3] CHEN Jie, LIU Yubin, ZHAO Jie, et al. Biomimetic Design and Optimal Swing of a Hexapod Robot Leg[J]. Journal of Bionic Engineering, 2014, 11(1): 26-35.

[4] CECCARELLI M, CARBONE G. A Stiffness Analysis for CaPaMan (Cassino Parallel Manipulator)[J]. Mechanism and Machine Theory, 2002, 37(5): 427-439.

[5] 戚開誠. 仿人形機(jī)器人機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)[D]. 天津：河北工業(yè)大學(xué), 2004. QI Kaicheng. The Mechanic Design of the Humanoid Robot[D]. Tianjin:Hebei University of Technology, 2004.

[6] 金振林,高峰. 機(jī)器人的踝關(guān)節(jié): 中國, 200710139498X [P]. 2007-09-22. JIN Zhenlin, GAO Feng. Ankle Joint of Robot: China, 200710139498X [P]. 2007-09-22.

[7] 俞志偉, 王立權(quán). 雙足機(jī)器人并聯(lián)踝關(guān)節(jié)優(yōu)化設(shè)計(jì)[J].機(jī)械工程學(xué)報(bào), 2009, 45(11): 52-57. YU Zhiwei, WANG Liquan. Optimal Design for Biped Robot Parallel Ankle Joint[J]. Journal of Mechanical Engineering, 2009, 45(11): 52-57.

[8] 付金海. 仿人機(jī)器人機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)與步行仿真[D]. 沈陽：東北大學(xué),2010. FU Jinhai. Mechanical Design and Walking Simulation of Humanoid Robot[D]. Shenyang：Northeast University,2010.

[9] LOHMEIER S, BUSCHMANN T, SCHWIENBACHER M, et al. Leg Design for a Humanoid Walking Robot[C]// IEEE-RAS International Conference on Humanoid Robots. Pittsburgh, 2007: 536-541.

[10] OGURA Y, SHIMOMURA K, KONDO H, et al. Human-like Walking with Knee Stretched, Heel-contact and Toe-off Motion by a Humanoid Robot[C]// IEEE/RSJ International Conference on Intelligent Robots and Systems.Beijing, 2006: 3976-3981.

[11] ALFAYAD S, OUEZDOU F B, NAMOUN F. New Three DOF Ankle Mechanism for Humanoid Robotic Application: Modeling, Design and Realization[C]// IEEE/RSJ International Conference on Intelligent Robots and Systems. St Louis, MO, 2009: 4969-4976.

[12] 李成剛, 吳洪濤, 朱劍英. 球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)動力學(xué)模型構(gòu)成項(xiàng)對比研究[J].機(jī)械科學(xué)與技術(shù), 2011, 30(5):807-812. LI Chenggang, WU Hongtao, ZHU Jianying. A Contrastive Study of the Items of Dynamics Model of the Spherical Parallel Mechanism[J]. Mechanical Science and Technology for Aerospace Engineering, 2011, 30(5): 807-812.

[13] WU G L, STéPHANE C, BAI S P, et al. Dynamic Modeling and Design Optimization of a 3-DOF Spherical Parallel Manipulator[J]. Robotics and Autonomous Systems, 2014, 62(10): 1377-1386.

[14] WANG L P, WU J, WANG J S. Dynamic Formulation of a Planar 3-DOF Parallel Manipulator with Actuation Redundancy[J]. Robotics and Computer Integrated Manufacturing, 2010, 26(1): 67-73.

[15] 劉曉, 趙鐵石, 邊輝, 等.耦合型3自由度并聯(lián)穩(wěn)定平臺機(jī)構(gòu)動力學(xué)分析[J]. 機(jī)械工程學(xué)報(bào), 2013, 49(1): 45-52. LIU Xiao, ZHAO Tieshi, BIAN Hui, et al. Dynamics Analysis of a 3-DOF Coupling Parallel Mechanism for Stabilized Platform[J]. Journal of Mechanical Engineering, 2013, 49(1): 45-52.

(編輯 王旻玥)

Dynamics Property Analyses of a Novel PURU+RR+S Spherical Parallel Humanoid Robotic>Ankle Mechanisms

XU Yiliu1YANG Long2,3YANG Zhongyuan2XIAO Chao2ZHOU Yulin2

1.Beijing Institute of Spacecraft Environment Engineering，Beijing，1000942.School of Mechanical Engineering,Yanshan University，Qinhuangdao，Hebei,0660043.School of Mechanical Engineering,Shijiazhuang Tiedao University,Shijiazhuang,050043

A novel PURU+RR+S spherical parallel humanoid robotic ankle mechanism was proposed herein, the kinematic models including poses, velocities of all components were established according to geometric constraint relations and velocity composition theorem of this mechanism. Based on this, the influences of inertia forces of each components were considered, dynamics model of this mechanism was established based on the principles of virtual work and Lagrange equation. A group of kinematic data of human ankles were obtained by experimental measurements, position and orientation functions of human ankles were derived using Fourier formula. The position function was used as outputs of the theoretical model and the virtual prototype of ankle mechanisms respectively. Numerical solutions and simulation data of the inputs of ankle mechanisms were obtained, and then the correctnesses of kinematic and dynamic models were confirmed. The research provides a theoretical basis of dynamics for structure design and applications of the humanoid robotic ankle mechanisms in engineering.

humanoid robot; ankle mechanism; dynamics analysis; spherical parallel mechanism

2016-09-08

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51275443)

TP24

10.3969/j.issn.1004-132X.2017.16.012

徐奕柳，女，1985年生。北京衛(wèi)星環(huán)境工程研究所高級工程師。主要研究方向?yàn)楹教炱骺傮w裝配、工藝裝備設(shè)計(jì)。楊 龍，男，1988年生。燕山大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院博士，石家莊鐵道大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院講師。楊中原，男，1992年生。燕山大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院碩士研究生。肖 超，女，1990年生。燕山大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院碩士研究生。周玉林(通信作者)，男，1961年生。燕山大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院教授、博士研究生導(dǎo)師。E-mail：zyl@ysu.edu.cn。