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SH波斜入射時有阻尼成層介質自由場的一維化時域算法

2017-08-31 11:56高智能卓衛(wèi)東
振動與沖擊 2017年16期
關鍵詞:時域阻尼幅值

高智能, 卓衛(wèi)東,2, 谷 音,2

(1. 福州大學 土木工程學院,福州 350116; 2. 福州大學 福建省土木工程多災害防治重點實驗室,福州 350116)

SH波斜入射時有阻尼成層介質自由場的一維化時域算法

高智能1, 卓衛(wèi)東1,2, 谷 音1,2

(1. 福州大學 土木工程學院,福州 350116; 2. 福州大學 福建省土木工程多災害防治重點實驗室,福州 350116)

在進行大型大跨結構抗震設計時,需要考慮地震波斜入射的影響。在劉晶波等提出的一維化時域算法基礎上,采用有限差分方法,推導建立了SH波斜入射情形下、考慮阻尼影響的水平成層彈性介質出平面自由場求解的顯式數值逐步法公式,并采用Fortan程序語言編制了相應的數值計算程序。綜合采用有限元法和數值逐步法,進行SH波斜入射下單層土和雙層土的算例分析。結果表明:土層介質阻尼僅影響到SH波斜入射下自由場的位移幅值,而對位移時程的波形沒有影響;SH波斜入射下有阻尼與無阻尼情形相比位移幅值有明顯衰減,對單層土,30°斜入射下衰減幅度可達40.5%;對雙層土,最大衰減幅度可達39.7%;有阻尼土層位移幅值的衰減幅度從底部邊界向自由表面逐漸增大。

成層介質;出平面波動;斜入射;一維化時域算法;介質阻尼;逐步法

已有研究表明,地震波斜入射引起的地面運動非一致變化對地鐵車站、長大橋梁、大壩等大型大跨結構的地震響應有較大的影響[1-4]。因此,有必要在這類結構的抗震設計中考慮地震波斜入射的影響。在實際工程中,由于土層分布的復雜性,對地震波斜入射下土層自由場的解析求解幾乎是不可能的[5-6]。因此,采用各種數值方法,研究復雜土層介質中的地震波動問題,已經成為主要的研究方向。

實際大型大跨結構基礎所在的土層往往被假定為水平成層介質;對水平成層彈性半空間,地震波斜入射下自由場的計算可在頻域內實現[7-8]。然而,為獲得地震動時程,頻域方法需要進行多次快速Fourier變換,這會消耗大量的計算機存儲空間和計算時間。針對頻域方法的不足,李山有等[9]根據地震波斜入射情形下水平成層彈性半空間波動傳播水平視波速不變且已知的特點,采用透射邊界[10]模擬遠場對有限域的影響,建立了入射側邊界節(jié)點自由場計算的精確內插公式,并將其與計算內節(jié)點位移的顯式差分公式相結合,得到了地震波斜入射下無阻尼水平成層彈性半空間人工邊界節(jié)點自由場的時域計算方程,可用于近場波動數值模擬中內行波場與散射波場的時域同步模擬。劉晶波等[11-13]進一步提出一種一維化的時域算法,將地震波斜入射下水平成層彈性半空間自由場的計算問題簡化為時域內的一維問題求解,且具有與二維有限元數值解同樣的精度。趙密等[14]在劉晶波等算法的基礎上,提出一種模擬基巖半空間輻射阻尼的人工邊界條件,采用該人工邊界條件代替黏性邊界條件,提高了大角度斜入射下平面內自由波場的計算精度。為了改善顯式有限差分時域算法的局限性,范留明等[15]基于惠更斯波動觀點,提出一種稱為“界面子波算法”的新的時域數值方法,可求解成層彈性半空間出平面一維自由場。王篤國等[16]基于一維等效線性化頻域方法,利用成層彈性介質頻域傳遞矩陣,推導了等效剪應變公式,提出一種可計算地震波斜入射下成層介質非線性自由場的數值方法。

已有關于地震波斜入射情形下水平成層彈性半空間自由場的顯式有限差分時域算法,均未考慮土層介質阻尼的影響。然而,土層介質阻尼可能對地震波斜入射下土層介質的自由場有重要的影響。本文在劉晶波等算法的基礎上,考慮土層介質阻尼,綜合采用有限元法與有限差分法,推導建立SH波斜入射下水平成層彈性介質出平面自由場求解的數值逐步法公式,并編制相應的數值計算程序;通過算例分析,討論土層介質阻尼對SH波斜入射情形下水平成層彈性介質出平面自由場的影響。

1 成層半空間出平面波動問題的一維化

在地下土層自由場的計算中,通常將土層介質假設為由下臥彈性半空間(基巖)和其上的水平成層彈性介質(土層)組成,各層的質量密度和剪切波速分別為ρl和csl(l=1,2,…,L)。按照劉晶波等提出的一維化算法的思路,將水平成層彈性半空間劃分為如圖1所示的有限元離散化模型;圖1中,豎向網格尺寸為Δy,可取為滿足精度要求的任意值;水平方向網格尺寸為Δx,其取值需滿足式(1)

Δx=cx·Δt

(1)

式中:cx為入射SH波的水平視波速;Δt為時間步長。

圖1 水平成層半空間有限元模型Fig.1 Finite element model of the layered half-space

(2)

式中,Mi,j、Ci,j和Ki,j分別為與節(jié)點(i,j)相關的集中質量系數、阻尼系數和剛度系數。

由式(2)可見,節(jié)點(m,n)的運動只與該節(jié)點直接相鄰的節(jié)點運動有關。在彈性介質中,沿水平方向的波動為行波,波速為視波速cx,因此,彈性介質內的波場可以表示為

(3)

若取時間步長為Δt,則由式(3)可以得到式(4)

u(x+jcxΔt,y,t)=u(x,y,t-jΔt) j∈(-∞,∞)

(4)

對圖1中的各離散節(jié)點,利用式(4)可得到

(5)

當i=±1時,由式(5)有

(6)

同理,節(jié)點速度和加速度同樣存在以上關系。由式(6)可見,與節(jié)點(m,n)直接相鄰的同一層節(jié)點(m-1,n)和節(jié)點(m+1,n)在pΔt時刻的運動可用節(jié)點(m,n) 在相鄰時刻的運動來表示。

綜合式(2)和式(6)可見,節(jié)點(m,n)在pΔt時刻的運動方程式(2)中,未知量僅包含第m列節(jié)點在pΔt及其相鄰時刻的運動。在求得第m列節(jié)點位移之后,根據式(3)即可確定整個半空間中的自由場。如此,SH波斜入射下水平成層彈性半空間出平面自由場的計算問題就轉化為一維問題求解。

2 考慮介質阻尼的一維化時域算法

2.1 考慮介質阻尼的數值逐步法的計算公式

首先,采用劉晶波等算法的思路,將SH波斜入射下水平成層彈性半空間出平面自由場的計算問題轉化為一維問題。其次,綜合采用有限元法與有限差分法,在時域內直接求解式(2)所列的運動方程。在數值計算中可取m=0,即先求得y軸上各節(jié)點的位移,再根據式(3),依次確定水平成層彈性半空間中的自由場。以下,采用有限差分方法,推導建立考慮土層介質阻尼時求解y軸上各節(jié)點位移的計算列式。

根據式(2),在考慮土層介質阻尼時,y軸上任一內節(jié)點(0,n)在pΔt時刻的運動方程為

(n=1,2,…,N-1)

(7)

式中,M0,n為節(jié)點(0,n)的集中質量。

y軸與自由表面交界處的節(jié)點(0,0) 在pΔt時刻的運動方程為

(8)

式中,M0,0為節(jié)點(0,0)處的集中質量。

在采用數值方法計算水平成層彈性半空間的自由場時,顯然必須從半無限介質中切取有限的計算區(qū)域,并在區(qū)域邊界引入合適的人工邊界條件。目前已發(fā)展了多種人工邊界[17-26],不失一般性,本文假定人工邊界為黏性邊界。對y軸與黏性邊界交界處的節(jié)點(0,N)(設為節(jié)點B),其在pΔt時刻的運動方程為

(9)

(10)

式中:ρ為介質質量密度;cs為介質剪切波速;θ為地震波入射角;w0(xB,yB,t)和τ0(xB,yB,t)分別為入射波在黏性邊界節(jié)點B上產生的位移和應力。

式(7)~式(9)所列的運動方程中的加速度項可利用中心差分法近似計算

(11)

(12)

考慮式(6),同時將式(11)和式(12)代入式(7)~式(9)中,并簡記u0,n=un,M0,n=Mn,經整理得到如下矩陣形式的方程

(13)

(14a)

(14b)

從式(14)可見,式(13)所列的矩陣方程左邊的系數矩陣是稀疏的三對角矩陣,右邊的向量僅與邊界節(jié)點輸入的等效荷載以及y軸上各節(jié)點在pΔt時刻及其前一時刻(p-1)Δt的位移有關,故只要給定邊界節(jié)點等效荷載以及初始時刻各節(jié)點的位移和速度值,即可通過逐步法求解上述方程組,得到軸上各節(jié)點在時域內的位移解,進而確定全部自由場。

2.2 計算步驟及程序實現

由式(13)所列的矩陣方程可見,本文基于有限差分方法建立的考慮介質阻尼的水平成層彈性介質自由場的數值逐步法的計算公式是顯式的,因此,求解容易實現。具體計算步驟如下:

步驟1 對選取的計算區(qū)域進行離散化(見圖1),采用有限元法計算離散化模型的質量矩陣M和剛度矩陣K,其中質量矩陣M采用集中質量法計算,并假定阻尼矩陣C。

步驟2 根據黏性人工邊界條件,確定人工邊界節(jié)點等效荷載時程。

(15)

步驟6 由式(3),確定計算區(qū)域內各節(jié)點的自由場。

根據上述計算步驟,基于Fortran語言編制了相應的計算程序。限于篇幅,這里沒有給出計算程序的源代碼。

2.3 算法的穩(wěn)定性和計算精度

本文所建立的SH波斜入射下考慮介質阻尼的水平成層彈性介質出平面自由場的一維化時域算法,其穩(wěn)定性條件仍與劉晶波等算法的穩(wěn)定性條件相同,即要求

(16)

文獻[11]分析表明,當時間步長滿足式(16)所表示的穩(wěn)定性條件時,一維化時域算法對于不同方向的入射波都有很高的計算精度。

3 算例分析

以下選擇物理性質均勻的單一土層(下文簡稱單層土)和基巖表面覆蓋軟土層(下文簡稱雙層土)這兩種情形分別進行分析。算例分析中,均假定土層和基巖介質阻尼為Rayleigh阻尼。因而,可按下式計算其阻尼矩陣C[27]

C=αM+βK

(17)

式中,α、β為比例系數,它們由式(18)計算

(18)

式中:ωi和ωj分別為兩個特定的自振圓頻率;ξi和ξj分別為與ωi和ωj相關的模態(tài)阻尼比。

3.1 單層土算例分析

假定單層土由半無限空間的均勻彈性土層組成,其幾何參數和物理參數取值如表1所列,計算區(qū)域yb取為100 m。計算區(qū)域的有限元離散化模型如圖2所示,其中豎向網格尺寸Δy取為5 m,水平方向網格尺寸Δx根據式(1)確定。在計算區(qū)域的底部邊界引入人工黏性邊界條件,并假定在黏性人工邊界處入射SH波為持時0.5 s、峰值1 cm的Dirac函數形式的單位脈沖,其位移時程如圖3所示。在數值計算中,為滿足穩(wěn)定性條件,時間步長取為0.005 s,持時取為2.5 s。

表1 單層土模型參數

圖2 單層土有限元離散化模型Fig.2 FEM model of one-layer soil

圖3 黏性邊界節(jié)點C1處入射的SH波位移時程Fig.3 Displacement time history of incident SH wave at boundary joint C1

利用ABAQUS軟件建立計算區(qū)域的有限元模型,計算得到單層土模型的質量矩陣M和剛度矩陣K;通過動力特性分析,得到該單層土模型前兩階的自振頻率:ω1=8.864 5rad/s,ω2=10.028 0rad/s;將其代入式(18),并取單層土模態(tài)阻尼比ξ1=ξ2=ξ=0.1,求得α=0.941 2,β=0.010 58;將α、β的數值代入式(17),得到單層土模型的阻尼矩陣C。

利用所編制的計算程序,計算了SH波以30°斜入射情形下單層土模型的自由場。選取y軸上自由表面節(jié)點A1、中部節(jié)點B1以及底部邊界靠內側節(jié)點C1作為觀測點(見圖2),對計算結果進行分析討論。由于無阻尼情形下一維化算法的計算結果已得到驗證,這里主要討論考慮土層介質阻尼情形下一維化算法的計算結果。

圖4繪出了SH波以30°斜入射情形下,采用一維化算法計算得到的無阻尼和有阻尼單層土模型在3個觀測點處的位移響應。從圖4中可以發(fā)現,無阻尼與有阻尼均勻單層土的位移時程曲線波形一致;有阻尼與無阻尼均勻單層土相比,前者在各個時刻的位移響應絕對值均減小了,尤其在自由表面觀測點A1處,位移幅值衰減幅度最大。這說明土層介質阻尼僅影響到位移幅值,而對位移時程的波形沒有影響。

(a) 觀測點A1位移時程的計算結果

(b) 觀測點B1位移時程的計算結果

(c) 觀測點C1位移時程的計算結果

圖4 SH波30°斜入射時無阻尼和有阻尼單層土的位移響應比較

Fig.4 Comparison between the displacement response of the one-layer soil with and without damping by incident SH wave at 30°

根據計算結果,無阻尼與有阻尼均勻單層土相比,自由表面觀測點A1處的位移幅值從2.00 cm減小至1.19 cm,衰減幅度達40.5%;中部觀測點B1的位移幅值從1.08 cm減小至0.82 cm,衰減幅度達24.1%;底部觀測點C1的位移幅值從1.00 cm衰減至0.92 cm,衰減幅度達8.0%??梢姡琒H波斜入射下土層介質阻尼顯著影響到均勻單層土自由場的位移幅值,且其影響程度從底部邊界向自由表面逐漸增大。

3.2 雙層土算例分析

假定雙層土由下臥半無限空間的基巖和上覆50 m厚的均勻土層組成,其幾何參數和物理參數取值如表2所列,計算區(qū)域yb取為100 m。計算區(qū)域的有限元離散化模型如圖5所示,其中豎向網格尺寸Δy取為5 m,水平方向網格尺寸Δx根據式(1)確定。在計算區(qū)域的底部邊界引入人工黏性邊界條件,同樣假定在黏性人工邊界處入射SH波為持時0.5 s、峰值1 cm的Dirac函數形式的單位脈沖,其位移時程見圖3。為滿足穩(wěn)定性條件,時間步長取為0.005 s,持時取為2.5 s。

首先,利用ABAQUS軟件建立計算區(qū)域的有限元模型,計算得到雙層土模型的質量矩陣M和剛度矩陣K;進而得到上覆均勻土層和下臥基巖層的質量子矩陣MS和MR,以及剛度子矩陣KS和KR。

表2 雙層土模型參數

圖5 雙層土有限元離散化模型Fig.5 FEM model of two-layer soil

對雙層土模型,可假定均勻土層和基巖介質阻尼為Rayleigh阻尼;然而,考慮到土層和基巖層阻尼機制不同,雙層土模型的阻尼矩陣C需要采用非比例阻尼矩陣構造。通過動力特性分析,得到該雙層土模型前兩階的自振頻率:ω1=13.585 0 rad/s,ω2=16.258 0 rad/s;取上覆均勻土層的模態(tài)阻尼比ξS1=ξS2=ξS=0.1,取下臥基巖層的模態(tài)阻尼比ξR1=ξR2=ξR=0.03,分別將其代入式(18),求得均勻土層和基巖層的比例系數分別為αs=1.480 3,βs=0.006 7,以及αR=0.444 2,βR=0.002 0;將質量子矩陣MS、MR和剛度子矩陣KS、KR以及各自的比例系數代入式(17),得到上覆均勻土層和下臥基巖層各自的阻尼矩陣CS和CR;通過有限元直接集裝方法,得到雙層土離散化模型的阻尼矩陣C。上述過程均可通過ABAQUS軟件實現。

在得到雙層土模型的質量矩陣M、剛度矩陣K和阻尼矩陣C后,利用所編制的計算程序,計算了SH波以不同入射角入射情形下雙層土模型的自由場;所取的入射角變化范圍為0°~90°,并以15°為間隔。選取y軸上自由表面節(jié)點A2、中部節(jié)點B2以及底部邊界靠內側節(jié)點C2作為觀測點(見圖5),對計算結果進行分析討論。同樣地,由于無阻尼情形下一維化算法的計算結果已得到驗證,這里也主要討論考慮土層介質阻尼情形下一維化算法的計算結果。

圖6繪出了SH波以30°角斜入射情形下,采用一維化算法計算得到的無阻尼和有阻尼雙層土模型在3個觀測點處的位移響應。從圖6中可以發(fā)現,有阻尼雙層土模型中均勻土層和基巖層的位移時程曲線與無阻尼雙層土模型的相比,兩者波形一致;有阻尼與無阻尼雙層土模型相比,前者在各個時刻的位移響應絕對值均減小了,尤其是在自由表面觀測點A2處,位移幅值衰減幅度最大。這說明基巖與土層介質阻尼也僅影響到位移幅值,而對位移時程的波形沒有影響。

根據計算結果,無阻尼與有阻尼雙層土模型相比,自由表面觀測點A2處的位移幅值從2.88cm減小至1.98cm,衰減幅度達31.3%;中部觀測點B2的位移幅值從1.48cm減小至1.33cm,衰減幅度達10.1%;底部觀測點C2的位移幅值從1.28cm衰減至1.20cm,衰減幅度達6.3%??梢?,SH波斜入射下土層介質阻尼顯著影響到雙層土自由場的位移幅值,且其影響程度同樣從底部邊界向自由表面逐漸增大。

圖7繪出了SH波以不同入射角入射情形下,無阻尼和有阻尼雙層土在表面觀測點A2處的位移幅值隨入射角的變化情況。從圖7中可以發(fā)現,無阻尼和有阻尼雙層土的位移幅值均隨著SH波入射角的增大而減??;在入射角為90°時,位移幅值減小為0,這也驗證了SH波沿底部邊界水平方向入射時不會在自由表面上引起位移的理論認識。此外,與無阻尼雙層土模型相比,相同入射角下有阻尼雙層土模型的位移幅值均減小了。計算結果表明,在SH波入射角為75°時,有阻尼雙層土模型在自由表面觀測點A2處的位移幅值從1.89cm(無阻尼時)減小至1.14cm,衰減幅度最大,達39.7%。從衰減幅值看,在SH波入射角為0°~45°時,有阻尼雙層土模型的位移幅值皆減小了0.90cm;在SH波入射角超過45°后,位移幅值相對衰減較小。

(a) 觀測點A1位移時程的計算結果

(b) 觀測點B1位移時程的計算結果

(c) 觀測點C1位移時程的計算結果

圖7 觀測點A2位移幅值隨SH波入射角的變化曲線Fig.7 Peak displacements at joint A2by incident SH wave with different angles

4 結 論

本文基于劉晶波等的算法,提出了考慮土層介質阻尼影響的水平成層彈性介質出平面自由場的一維化時域算法,并編制了相應的數值計算程序。通過算例分析,討論了土層介質阻尼對SH波斜入射下水平成層彈性介質出平面自由場的影響。分析結果表明:

(1)介質阻尼對水平成層彈性介質出平面的自由場有重要的影響。SH波斜入射下有阻尼與無阻尼情形相比位移幅值有明顯衰減,對單層土,30°斜入射下衰減幅度可達40.5%;對雙層土,最大衰減幅度可達39.7%。

(2)土層介質阻尼僅影響到SH波斜入射下自由場的位移幅值,而對位移時程的波形沒有影響。

(3)不管是單層土還是雙層土,與無阻尼土層相比,有阻尼土層位移幅值的衰減幅度從底部邊界向自由表面逐漸增大。

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A 1D time-domain method for free field motion in layered mediawith damping under obliquely incident SH wave

GAO Zhineng1, ZHUO Weidong1,2, GU Yin1,2

(1. College of Civil Engineering, Fuzhou University, Fuzhou 350116, China; 2. Key Laboratory for Multi Disaster Prevention andGovernance of Civil Engineering of Fujian Province , Fuzhou University , Fuzhou 350116, China )

The influence of obliquely incident seismic wave on the seismic responses of large and long-span structures need to be considered in seismic design. Based on a 1D time-domain method for the out-of-plane wave motion of the free field in a layered half space proposed by Liu and Wang, formulas of an explicit time-stepping method to solve the out-of-plane wave motion of the free field in layered media with damping under obliquely incident SH wave were established by using the finite difference method, and its numerical program was developed with Fortran programming language. A cases study of out-of-plane wave motions of the free field in one-layer soil and two-layer soil with damping under obliquely incident SH wave were carried out respectively. The results show that: soil damping only has effect on the peak displacements of free field motions, and has no effect on the waveforms of the displacement time histories; the displacement amplitudes in layered soil with damping reduce significantly compared with that of without damping under obliquely incident SH wave, and the displacement amplitudes can be reduced by 40.5% and 39.7% for one-layer soil and two-layer soil, respectively. The case study also indicates that the attenuation of displacement amplitudes in layered soil with damping gradually increased from the bottom boundary to the free surface.

layered media; out-of-plane wave motion; oblique incidence; 1D time-domain method; damping; time-stepping method

國家自然科學基金資助項目( 51108088)

2016-01-29 修改稿收到日期: 2016-07-01

高智能 男,博士生,1984年生

卓衛(wèi)東 男,博士,教授,1966年生

TU311.3; P315.9

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.16.006

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