修妍

摘 要：針對傳統(tǒng)相空間重構參數(shù)的選取無統(tǒng)一標準，影響混沌時序相空間重構質量及預測精度問題，提出了相空間重構優(yōu)化參數(shù)動態(tài)神經網(wǎng)絡預測模型的新方法。該方法在重構相空間的基礎上利用動態(tài)神經網(wǎng)絡模型對混沌時序進行預測，由預測誤差綜合確定預測模型的參數(shù)設置，并反推出重構相空間的最佳嵌入維數(shù)和延遲時間。通過對Lorenz混沌系統(tǒng)的仿真，證明文章提出的方法是有效的。

關鍵詞：相空間重構；動態(tài)神經網(wǎng)絡；預測

中圖分類號：TP27 文獻標志碼：A 文章編號：2095-2945（2017）23-0013-03

1 概述

混沌時間序列分析與預測已經在天氣預報、經濟預測、電力負荷預測等方面得到了廣泛的應用。相空間重構是進行混沌時間序列分析與預測的基礎，而進行相空間重構的嵌入維數(shù)和延遲時間參數(shù)對重構后的相空間質量有很大的影響，相空間重構的質量將直接影響到混沌時間序列的預測精度以及預測時長。相空間重構的嵌入維數(shù)如果選取的較小，則不能完全展現(xiàn)混沌系統(tǒng)的細微結構；其嵌入維數(shù)如果選取的較大，則會使計算工作復雜化，引起噪聲。相空間重構的延遲時間如果選取的較小，通過重構的系統(tǒng)相軌跡由于相關性較強而在相空間主方向壓縮，使相空間中的相鄰延遲坐標元素差別太小，造成信息冗余；其延遲時間如果選取的較大，則系統(tǒng)中某一時刻的狀態(tài)與其后的狀態(tài)在因果關系上變得不相關，導致相鄰延遲坐標元素之間的信息丟失，信號軌跡可能會出現(xiàn)折疊現(xiàn)象。因此，對相空間進行重構的嵌入維數(shù)和延遲時間的參數(shù)選擇成為研究者的重要研究課題。

目前，相空間重構參數(shù)的確定方法有兩類。一類為分別計算兩個參數(shù)，其中對延遲時間的選取主要有自相關函數(shù)法、平均互信息法、平均位移法等，對嵌入維數(shù)的選取主要有關聯(lián)維數(shù)法、虛假鄰點法等。另一類為同時計算兩個參數(shù)，如時間窗口法、C-C法等。此外，還有一些學者對相空間重構參數(shù)的常見方法進行了改進研究[1-5]。雖然各種研究方法都取得了一定的效果，而且大部分研究都以經典混沌系統(tǒng)Lorenz混沌時序為例進行了驗證研究，但是不同的研究人員得到的研究結果并不一致。由于有研究表明應用神經網(wǎng)絡進行建模預測時，獲得最優(yōu)預測結果所對應的相空間重構參數(shù)并不是應用傳統(tǒng)方法獲得的嵌入維數(shù)和延遲時間[6]。因此，為了提高混沌時間序列的預測精度和預測時長，本文綜合考慮相空間重構和預測算法之間的內在聯(lián)系，研究在相空間重構以后，從對未來時序進行預測的預測模型誤差的大小反推嵌入維數(shù)和延遲時間以及預測模型的參數(shù)選擇是否為最佳選擇，從而使相空間重構參數(shù)和預測模型的參數(shù)選擇可以同步進行，并運用Lorenz混沌時序進行仿真實驗，以驗證本文方法的可行性和優(yōu)越性。

2 混沌時序相空間重構

2.1 相空間重構

設觀測到的混沌時間序列為x1，x2，...，xn，按照Takens[7]的延遲嵌入理論，可選用適當?shù)难舆t時間和嵌入維數(shù)m，將混沌時間序列重構為如下的m維相空間：

2.2 延遲時間和嵌入維數(shù)m的確定

由于在工程實踐及金融經濟研究中所獲取的時間序列都是有限長且含有噪聲的，也無法事先預知此類系統(tǒng)的非線性特征，采用分別計算其相空間重構參數(shù)的方法并不可行。此外，大量實驗表明，嵌入維數(shù)m和延遲時間的關系與重構相空間的時間窗W密切相關， 因此，m和的聯(lián)合算法更適合實際應用。其中，1999年，H.S.Kim、R.Eykholt和J.D.Salas提出的C-C算法[8]由于方法相對簡單，易于在計算機上實現(xiàn)，能夠同時得到和W而得到了廣泛的應用。該方法將整個時間序列分成t個不相交的時間序列，序列長度l=N/t，當N→∞時，

3 相空間重構優(yōu)化參數(shù)動態(tài)神經網(wǎng)絡預測模型

本文利用相空間重構和動態(tài)神經網(wǎng)絡對混沌時間序列進行預測，相空間重構參數(shù)的選取對于相空間重構的質量以及動態(tài)神經網(wǎng)絡對未來時序的預測精度和預測時長的影響較大。因此，本文綜合考慮相空間重構和預測算法之間的內在聯(lián)系，從預測模型誤差的大小來反推嵌入維數(shù)和延遲時間以及預測模型的參數(shù)選擇是否為最佳，從而同步確定相空間重構的參數(shù)和預測模型的參數(shù)，得到未來時序預測的精確值。具體過程如下：

第一步：對混沌時序數(shù)據(jù)進行歸一化處理，歸一化方法可采用最大最小化方法，避免因為輸入輸出數(shù)據(jù)數(shù)量級差別較大而造成網(wǎng)絡預測誤差較大。

第二步：用C-C算法即公示（2）、（3）、（4）和（5）對第一步歸一化處理后的混沌時序初步計算其嵌入維數(shù)m和延遲時間。

第三步：將第二步計算出的嵌入維數(shù)m和延遲時間帶入公示（1），將原混沌時序重構為m維相空間。

第四步：將第三步得到的相空間重構數(shù)據(jù)作為動態(tài)神經網(wǎng)絡的輸入數(shù)據(jù)，建立動態(tài)神經網(wǎng)絡NARX預測模型。NARX（Nonlinear Auto-Regressive models with Exogenous Inputs） 神經網(wǎng)絡被稱為帶外部輸入的非線性自回歸模型[10]，它是非線性動態(tài)系統(tǒng)中應用最廣泛的一種神經網(wǎng)絡，NARX模型非常適合混沌時序的預測。在應用前一般要事先確定輸入和輸出的延時階數(shù)、隱層神經元個數(shù)等。再將輸入數(shù)據(jù)經NARX神經網(wǎng)絡隱含層的tansig激活函數(shù)，以及輸出層的purelin傳遞函數(shù)，得到輸出向量，然后將輸出向量延時反饋引入網(wǎng)絡訓練中，形成新的輸入向量。在訓練、驗證及測試過程中，網(wǎng)絡模型的輸入不僅包括原始輸入數(shù)據(jù)，還包含經過訓練后的輸出數(shù)據(jù)，網(wǎng)絡的泛化能力得到提高。NARX神經網(wǎng)絡的數(shù)學模型可以表示為：

其中f（·）表示用神經網(wǎng)絡實現(xiàn)的非線性函數(shù)。

第五步：運用第四步建立好的NARX神經網(wǎng)絡預測模型對混沌時序進行滾動外推多步預測。以絕對預測誤差（APE）和標準均方根誤差（RMSE）衡量模型的預測性能，計算方法如下：

式中ytrue，i為實際觀測值，ypredict，i為模型預測值，n為測試樣本個數(shù)。絕對預測誤差值和均方根誤差值越小，表明預測效果越好。為達到期望的預測效果，需要對第四步NARX預測模型的隱層神經元個數(shù)和延時階數(shù)的具體數(shù)值反復調試，并結合第三步計算出的嵌入維數(shù)m和延遲時間經過篩選對比，選擇預測誤差最小時對應的參數(shù)作為最佳的相空間重構參數(shù)，而最佳相空間重構參數(shù)對應的預測值即為所需要的預測結果。

第六步：對第五步的預測結果作反歸一化，得到混沌時序的最終預測值。

4 仿真研究

本文以Lorenz系統(tǒng)進行仿真研究， 以驗證本文提出方法的有效性。Lorenz混沌時序方程如下：

由C-C算法得到延遲時間的值為10，其嵌入維數(shù)m的參考值為6，分別取嵌入維數(shù)m的值為3、4、5和6，進行相空間重構，然后設置NARX預測模型的延遲階數(shù)為3，隱層神經元個數(shù)為10，對Lorenz混沌系統(tǒng)的將來值進行滾動外推50步預測，絕對預測誤差如圖1所示。由圖1可看出當延遲時間？子的值為10，其嵌入維數(shù)m的值為5時，其絕對預測誤差較小，標準均方根誤差值為0.78419。

重復以上過程，只是改變NARX預測模型的延遲階數(shù)和隱層神經元個數(shù)的設置，得到一系列預測值，比較預測值的標準均方根誤差，選取最小的均方根誤差所對應的參數(shù)值為最佳。研究結果表明，當NARX預測模型的延遲階數(shù)設置為3，隱層神經元個數(shù)設置為20，相空間重構延遲時間的值為10，其嵌入維數(shù)m的值為6時，Lorenz混沌時序滾動外推預測50步時的均方根誤差最小，其值為0.07098。為了驗證本文方法的有效性，采用偽近鄰方法確定嵌入維數(shù)m=3和互信息方法確定延遲時間=19重構相空間，與本文方法用同樣的NARX神經網(wǎng)絡進行預測誤差對比，證明了本文方法的預測效果較好，如表1所示。

5 結束語

本文結合相空間重構和動態(tài)神經網(wǎng)絡NARX對混沌時序的預測進行了研究，提出了相空間重構優(yōu)化參數(shù)動態(tài)神經網(wǎng)絡預測模型的新方法。該方法在重構相空間的基礎上利用動態(tài)神經網(wǎng)絡模型進行預測，由預測誤差綜合確定預測模型的參數(shù)設置，并反推出重構相空間的最佳嵌入維數(shù)和延遲時間，由于在確定參數(shù)的過程中已經進行了預測計算，因此直接選擇最佳參數(shù)對應的預測結果即為最終預測值。通過對Lorenz混沌系統(tǒng)的仿真，證明本文提出的方法是有效的。

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