馬 悅， 廖 昉， 朱志武， 楊 柳

(1. 中機中聯(lián)工程有限公司， 重慶 400000； 2. 西南交通大學(xué)力學(xué)與工程學(xué)院， 四川 成都 610031)

人工凍土凍結(jié)過程分析及凍結(jié)管布置間距的計算

馬 悅1， 2， 廖 昉1， 朱志武2， 楊 柳1

(1. 中機中聯(lián)工程有限公司， 重慶 400000； 2. 西南交通大學(xué)力學(xué)與工程學(xué)院， 四川 成都 610031)

為確定在凍土凍結(jié)過程中凍結(jié)影響范圍與凍結(jié)時間的關(guān)系，將人工凍土凍結(jié)過程拆分為土體表面的熱散失和凍結(jié)管的凍結(jié)2個過程，并以熱勢能及熱勢能耗散過程中的平衡方程分析上述關(guān)系。為確定凍結(jié)管間距的合理取值，引入熱勢能理論并計算當量熱阻，建立在多個凍結(jié)管影響下微元體的凍結(jié)時間方程，提出一種在多個凍結(jié)管作用下凍結(jié)影響范圍與凍結(jié)時間的關(guān)系的計算方法及凍結(jié)管布置間距的確定方法。通過實例分析了人工凍土厚度的計算方法，以數(shù)值模擬方法比較了不同凍結(jié)管布置對凍結(jié)時間的影響。上述研究成果深化了人工凍土理論研究與實際應(yīng)用之間的關(guān)系。

人工凍土； 凍結(jié)過程； 熱勢能； 凍結(jié)管布置間距

0 引言

人工凍結(jié)是一項在地基處理和土方挖掘等方面得到廣泛應(yīng)用的技術(shù)，凍結(jié)形成的人工凍土在地下工程支護中發(fā)揮了重要作用。隨著人工凍結(jié)技術(shù)在實際工程中的應(yīng)用，人工凍土的凍結(jié)過程及凍土強度等方面的研究得到了越來越多的關(guān)注。

人工凍土的研究旨在揭示凍結(jié)發(fā)展的規(guī)律，分析凍土強度的計算方法。胡向東等[1-4]對此進行了長期的研究，構(gòu)建了人工凍結(jié)溫度場模型，分析了巴霍爾金模型的準確性，在巴氏模型的基礎(chǔ)上，分析了直線型單排管、雙排管凍結(jié)壁溫度場及平均溫度的計算方法;李方政等[5]以指數(shù)積分函數(shù)的近似級數(shù)表達了人工凍土溫度場的變化規(guī)律；汪仁和等[6]以數(shù)值模擬手段分析了雙排凍結(jié)管作用下凍結(jié)壁溫度場的形成特征；張晶等[7]和楊更社等[8]分析了深基坑開挖時凍土墻圍護厚度的計算方法，并進行了數(shù)值模擬計算。在這些研究的基礎(chǔ)上，人工凍結(jié)方法在地鐵工程和地下工程[9-12]等方面得到了不同程度的應(yīng)用。

然而，現(xiàn)有的研究工作雖然綜合應(yīng)用了數(shù)值模擬手段，但是并未指明對于確定的平面區(qū)域如何比選并確定最佳的凍結(jié)管布置間距，特別是在數(shù)值模擬方法的運用過程中，當更改凍結(jié)管間距以比較不同的凍結(jié)管布置方案時，需要同步更改模型及邊界條件，使操作變得復(fù)雜;因此，研究一種能夠準確有效估算合理凍結(jié)管布置間距的前期估算方法具有重要的意義。

本文通過研究認為，運用當量熱阻及其相關(guān)原理能夠有效解決這個問題。本文基于過增元的熱勢能理論計算了凍結(jié)過程中人工凍土的當量熱阻，分析了微元體在多個凍結(jié)管影響下凍結(jié)時間的計算方法，建立了對平面區(qū)域求解凍結(jié)管最佳布置間距的數(shù)學(xué)模型。同時，介紹了針對指定工程條件的凍結(jié)范圍計算方法，分析了不同凍結(jié)管布置對凍結(jié)過程和凍結(jié)需求時間的影響。

1 熱勢能理論及其在凍結(jié)過程分析中的應(yīng)用

1.1 研究假設(shè)

截取凍結(jié)管影響范圍內(nèi)的一個凍土柱體進行分析。人工凍土的凍結(jié)過程中，凍土表面的熱傳導(dǎo)、凍結(jié)管的熱傳導(dǎo)是2個主要的熱交換途徑。為簡化分析邊界條件，將凍結(jié)過程拆分為相互獨立的2個部分，如圖1所示。

圖1 凍結(jié)模型

1.2 凍結(jié)管影響下的凍結(jié)過程

1.2.1 單個凍結(jié)管影響下的凍結(jié)過程

凍結(jié)管的影響分析應(yīng)采用線熱源作用下的柱體模型，凍結(jié)管處為恒定的勢能場。假設(shè)凍土與凍結(jié)管之間的熱傳遞效率遠大于凍土自身的熱傳遞效率，凍結(jié)管表面受到微小持續(xù)時間為dt的熱流，熱流溫度為Tf，其熱流向量方向為朝向軸心的柱體徑向，未凍結(jié)區(qū)的溫度為Tu。現(xiàn)以熱勢能原理分析線熱源作用下凍結(jié)深度與凍結(jié)時間的關(guān)系。假設(shè)熱量沿凍結(jié)管線熱源均勻分布，取線熱源上單位厚度Δl的微平面進行研究。單個凍結(jié)管影響的計算示意圖如圖2所示。

圖2 單個凍結(jié)管影響的計算示意圖

Fig. 2 Calculation sketch of influencing range under single freezing pipe

過增元等[13-14]針對熱能傳遞的問題，提出以熱勢能及熱勢能耗散來描述物體傳遞熱量的能力，通過導(dǎo)熱與導(dǎo)電之間的狀態(tài)比擬，可以認為存在描述熱能在溫度場中所具有的“熱勢能”狀態(tài)參量。其定義為

(1)

式中:Eφ為熱勢能,J·K；Q為熱力學(xué)能,J；T為溫度,K。

對比dt作用前后的初始狀態(tài)與最終狀態(tài)，結(jié)合熱勢能耗散的定義[13-14]，已凍結(jié)區(qū)V(Tf,dt)的熱力學(xué)能及溫度均未發(fā)生變化，故其熱耗散為零，亦即當量熱阻為零。

對比dt作用前后的初始狀態(tài)與最終狀態(tài)，已凍結(jié)區(qū)V(Tf,dt)的熱勢能耗散為

(2)

式中：Qu為凍結(jié)前V(Tf,dt)所具有的熱力學(xué)能；Qf為凍結(jié)后V(Tf,dt)所具有的熱力學(xué)能；Tu為凍結(jié)前V(Tf,dt)所具有的溫度；Tf為凍結(jié)后V(Tf,dt)所具有的溫度。

考慮解凍過程的能量變化，式(2)可擴展為

(3)

式中：ρ為密度，kg/m3；L為相變潛熱，J/kg；Wi為含冰量質(zhì)量分數(shù)；Cf為比熱容，J/(kg·K)；D0為凍結(jié)影響半徑上的點與軸心的距離，m。

熱流向量的大小由導(dǎo)熱效率及凍土與凍土管的接觸面積約束，故與導(dǎo)熱路徑的長度、導(dǎo)熱系數(shù)、熱傳導(dǎo)時間及凍結(jié)管直徑相關(guān)。

最大熱流密度

(4)

故熱流的熱容量

(5)

式中：r為凍結(jié)管半徑，m，可取凍結(jié)管直徑r=0.2 m；Qvh為熱容量，J。

根據(jù)熱勢能定義，輸入熱流所具有的熱勢能

(6)

對于未凍結(jié)區(qū)和已凍結(jié)區(qū)組成的凍土系統(tǒng)，熱勢能耗散與輸入熱流所具有的熱勢能平衡。將式(6)代入熱勢能耗散方程并計算，可得

(7)

亦即凍結(jié)時間t與凍結(jié)影響半徑D0的關(guān)系式為

(8)

同時，在凍結(jié)過程中，凍結(jié)區(qū)V(Tf,dt)的當量熱阻

(9)

化簡可得

(10)

1.2.2 多個凍結(jié)管影響下的凍結(jié)過程

實際工程中的人工凍土同時受到多個凍結(jié)管的影響。通過反復(fù)修改數(shù)值模擬中的各項條件以篩選凍結(jié)管布置方案，不是一種實用的技術(shù)手段。本文通過運用當量熱阻及熱勢能理論建立數(shù)學(xué)簡化模型，能夠快速的比較各種凍結(jié)管布置方案的合理性。

對于一個給定的單位厚度為Δl的平面區(qū)域及其內(nèi)部任意分布的n個凍結(jié)管，在平面上任取一處微元體，目標微元體對第i個凍結(jié)管的當量熱阻為Ri，其與第i個凍結(jié)管的距離為Di。

在熱勢能理論中，熱系統(tǒng)參數(shù)與電系統(tǒng)參數(shù)相互對照。根據(jù)熱勢能、熱流與熱阻的關(guān)系及疊加定理，通過微元體的熱流

(11)

微元體與凍結(jié)管的等效間距

(12)

在此基礎(chǔ)上，可以得出在n個凍結(jié)管的共同作用下指定微元體的凍結(jié)時間方程

(13)

式(13)亦可展開為F(Di)的形式，亦即凍結(jié)時間t與平面距離Di的函數(shù)。

1.3 凍結(jié)管布置及凍結(jié)時間的比較方法

對于任意凍結(jié)管，其產(chǎn)生向外發(fā)散的均勻勢場，故可以將凍結(jié)管排布間距問題簡化為以下數(shù)學(xué)模型。對于給定邊界的平面及其內(nèi)部任意分布的n個特殊點{Ai}，可以由平面內(nèi)的任意點Bj，向距離其最近的特殊點做一條直線L，凍結(jié)時間方程F(Di)沿路徑的積分∫LF(Di)即為在凍結(jié)管組合{Ai}的影響下，凍結(jié)影響范圍到達點Bj時所需要的凍結(jié)時間t(Bj,{Ai})的近似值。簡化數(shù)學(xué)模型如圖3所示。

圖3 凍結(jié)時間計算的簡化數(shù)學(xué)模型

Fig. 3 Simplified mathematical model for freezing time calculation

對于平面內(nèi)的點，均求解對應(yīng)的凍結(jié)時間t(Bj,{Ai})，相互比較并得出其中的最大值t0(Bx,{Ai})，該極值即為該種凍結(jié)管組合{Ai}作用下，給定平面內(nèi)的全部點均達到凍結(jié)狀態(tài)時所需要的凍結(jié)時間。其中，Bx為該極值所對應(yīng)的點，也是此種凍結(jié)管布置下平面上的最不利凍結(jié)點。

在平面為不規(guī)則平面及多個凍結(jié)管情況時，上述方法能夠有效地比較不同布置方案之間凍結(jié)時間的差異。

例如，對于圖4所示的由Bj1(4，4)、Bj2(-4，2)、Bj3(-2，-2)、Bj4(2，-2)圍成的平面，需布置N=4根凍結(jié)管。當按{A1}=(±0.1，±0.1)、{A2}=(±0.5，±0.5)、{A3}=(±1.0，±1.0)3種布置方法布置凍結(jié)管時，3種布置方法的t0(Bx,{Ai})所對應(yīng)的Bx點均為B1(4，4)點。

上述3種布置方法對B1(4，4)計算所得的凍結(jié)時間分別為：t0(B1,{A1})=1.319tc、t0(B1,{A2})=1.287tc、t0(B1,{A3})=1.171tc。tc為由方程F(Di)產(chǎn)生的共有代數(shù)部分。

圖4 平面形狀及凍結(jié)管布置示意圖(單位： m)

令A(yù)3(±1.0，±1.0)中的其中一根凍結(jié)管(1.0，1.0)的布置位置以直線向(4.0，4.0)連續(xù)移動。通過編程輸出移動過程中坐標值與凍結(jié)時間的關(guān)系，如圖5所示。圖5中： 橫坐標為凍結(jié)管的X坐標值，X坐標值等于Y坐標值；縱坐標為凍結(jié)時間t0(Bj,{Ai})與tc的比值。

圖5 凍結(jié)時間與凍結(jié)管位置的關(guān)系

Fig. 5 Relationship between freezing times and locations of freezing pipes

從圖5可以看出，曲線在凍結(jié)管移動到X=2.795處出現(xiàn)拐點。分析相關(guān)數(shù)據(jù)可以發(fā)現(xiàn)，當X>2.795時，隨著凍結(jié)管對平面內(nèi)部影響的減弱，最不利凍結(jié)點Bx由(4.0，4.0)移動至平面內(nèi)部的其他點。以上數(shù)據(jù)表明，布置凍結(jié)管時，應(yīng)同時考慮凍結(jié)管對平面邊界和平面內(nèi)部的影響，采用整體凍結(jié)時間均勻的布置方案。

2 凍結(jié)壁厚度的計算及凍結(jié)時間的數(shù)值模擬

現(xiàn)以土的含水量為W0=20%、凍結(jié)斷面為L=30 m、凍結(jié)高度H=10 m的一處人工凍結(jié)砂土為計算對象，分析人工凍土中凍結(jié)管布置間距對所需凍結(jié)時間的影響。

根據(jù)寧建國等[15-16]的研究，凍結(jié)砂土的彈性模量以等效夾雜理論計算，可得到

Eis=[csEs(1-2μi)+csEs(1-2μs)]×[csEs(1+μi)+ciEi(1+μs)]/[csEs(1-2μi)(1+μi)+ciEi·(1-2μs)(1+μs)]。

(14)

式中：Es為土體彈性模量，MPa；Ei為冰的沖擊動態(tài)彈性模量，MPa；μs為土體的泊松比；μi為冰的泊松比；cs為土的體積分數(shù)；ci為冰的體積分數(shù)。

根據(jù)文獻[15-16]，凍結(jié)溫度對凍土的彈性模量影響明顯。例如： 對于含水量W0=20%的凍土，其在凍結(jié)溫度為-5 ℃時，E≈1 300 MPa；其在凍結(jié)溫度為-8 ℃時，E≈1 400 MPa。

根據(jù)張晶等[7]和楊更社等[8]的研究，未考慮蠕變時，凍土墻厚度與側(cè)向土壓力等效均布值、彈性模量之間的關(guān)系，可以依據(jù)彈性薄板能量法進行計算。

(15)

式中：p為側(cè)向土壓力等效均布值，MPa；μ為凍土的泊松比； [u]為最大位移。

設(shè)凍結(jié)管雙排布置，e為人工凍土有效厚度，L為人工凍土橫向?qū)挾龋?Ra為厚度方向的圓心距，2Rb為寬度方向的圓心距，如圖6所示。

圖6 多排凍結(jié)管計算簡圖

Fig. 6 Calculation sketch of influencing range under multi-row freezing pipes

對于L=30 m、e=5.50 m的平面區(qū)域，分別取凍結(jié)管布置間距(2Ra，2Rb)=(1.6，1.2)、(1.6，1.4)、(1.6，1.6)，并在L方向上雙排連續(xù)布置。以編程方法計算各凍結(jié)管布置方案所對應(yīng)的t0(Bk,{Ai})，所得到的凍結(jié)時間關(guān)系如表1所示。

表1 不同凍結(jié)管布置間距的凍結(jié)時間比例關(guān)系

Table 1 Freezing times under different spacings between freezing pipes

(2Ra,2Rb)t0(Bk,{Ai})(1.6,1.2)4.833tc(1.6,1.4)5.447tc(1.6,1.6)6.181tc

通過數(shù)值模擬方法，可以更為直觀地分析上述不同凍結(jié)管間距對凍結(jié)時間的影響。

對于L=30 m、e=5.50 m的平面區(qū)域，同樣取凍結(jié)管間距(2Ra，2Rb)=(1.6，1.2)、(1.6，1.4)、(1.6，1.6)，并在L方向上雙排連續(xù)布置。對以上3種情況分別進行數(shù)值模擬，以5 d為分步間隔，取其近似已完全凍結(jié)時的分步作為凍結(jié)時間，得到如圖7—9所示的溫度場示意圖。

圖7 數(shù)值模擬溫度場示意圖(一)(70 d，2Ra=1.6 m、2Rb=1.2 m)(單位： K)

Fig. 7 Sketch of numerically simulated temperature field at the seventieth days with 2Ra=1.6 m and 2Rb=1.2 m (K)

圖8 數(shù)值模擬溫度場示意圖(二)(80 d，2Ra=1.6 m、2Rb=1.4 m)(單位： K)

Fig. 8 Sketch of numerically simulated temperature field at the eightieth days with 2Ra=1.6 m and 2Rb=1.4 m (K)

圖9 數(shù)值模擬溫度場示意圖(三)(95 d，2Ra=1.6 m、2Rb=1.6 m)(單位： K)

Fig. 9 Sketch of numerically simulated temperature field at the ninetyfifth days with 2Ra=1.6 m and 2Rb=1.6 m (K)

對比圖7—9可以看出：當凍結(jié)管間距2Rb增大時，達到相似溫度場分布所需的時間逐漸增加；凍結(jié)管間距(2Ra，2Rb)=(1.6，1.2)所對應(yīng)的凍結(jié)時間為70 d，(2Ra，2Rb)=(1.6，1.4)所對應(yīng)的凍結(jié)時間為80 d，(2Ra，2Rb)=(1.6，1.6)所對應(yīng)的凍結(jié)時間為95 d。取tc0=15 d以折算比例并進行比較，則折算后的比例關(guān)系如表2所示。

表2 不同凍結(jié)管布置間距的凍結(jié)時間比例關(guān)系(折算后)

Table 2 Freezing times under different spacings between freezing pipes (after commutation)

(2Ra,2Rb)凍結(jié)時間(1.6,1.2)4.667tc0(1.6,1.4)5.333tc0(1.6,1.6)6.333tc0

對比表1和表2可以看出，3種凍結(jié)管布置方案的倍數(shù)比例相似。數(shù)值模擬方法具有分析準確及表現(xiàn)直觀的優(yōu)點，但是針對不同凍結(jié)管布置分別更改數(shù)值模擬模型及邊界條件，增加了較大的工作量；而運用前述簡化數(shù)學(xué)模型，能夠快速地分析不同凍結(jié)管布置方案之間所對應(yīng)的凍結(jié)時間的差異。

3 結(jié)論與討論

1)本文以熱勢能及熱勢能耗散原理計算了人工凍土凍結(jié)過程中凍結(jié)影響范圍與凍結(jié)時間的關(guān)系，得出了當量熱阻的計算方程。計算結(jié)果表明，當量熱阻與兩點距離、溫度差、凍結(jié)溫度等密切相關(guān)。

2)本文提出了一種簡化數(shù)學(xué)模型，能夠計算多個凍結(jié)管共同作用下不規(guī)則平面的凍結(jié)需求時間，從而分析不同凍結(jié)管布置方案的差異。舉例分析了平面區(qū)域內(nèi)不同凍結(jié)管布置對凍結(jié)時間的影響。計算結(jié)果表明，凍結(jié)時間最短的凍結(jié)管布置方案應(yīng)同時考慮對平面區(qū)域內(nèi)所有點的影響，應(yīng)是凍結(jié)均勻性最好的方案。

3)本文以等效夾雜理論計算彈性模量，以彈性薄板能量法計算凍土墻厚度，并分別采用計算方法和數(shù)值模擬方法分析不同凍結(jié)管布置對凍結(jié)時間的影響。計算結(jié)果表明，凍結(jié)管間距對凍結(jié)時間有明顯影響。

4)數(shù)值模擬方法在確定溫度場分布時，具有精確度高、計算速度快的優(yōu)點；但是，數(shù)值模擬方法在凍結(jié)管布置間距發(fā)生變化時，需要同步更改模型及邊界條件，帶來了額外的工作量，因此，尋求一種準確有效的前期方法估算凍結(jié)管布置間距，再以數(shù)值模擬方法進行確認，就具有重要的工程意義。在此基礎(chǔ)上，如何將上述2個步驟以編程等手段整合在同一個可人機交互操作的系統(tǒng)框架內(nèi)，將是下一步的研究方向。

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Analysis of Freezing Process of Artificial Frozen Soil and Calculation of Spacing between Freezing Pipes

MA Yue1, 2, LIAO Fang1, ZHU Zhiwu2, YANG Liu1

(1.CMCUEngineeringCorporation,Chongqing400000,China; 2.SchoolofMechanicsandEngineering,SouthwestJiaotongUniversity,Chengdu610031,Sichuan,China)

The freezing process of artificial frozen soil is divided into thermal loss of soil surface and freezing of freezing pipes; and the relationship between freezing influencing range and freezing time is analyzed by thermal potential and equilibrium equation of thermal potential consumption process. And then, the thermal potential theory is introduced; the equivalent thermal resistance is calculated; the freezing time equation of micro unit under impact of multiple freezing pipes is established; and the calculation method for relationship between freezing influencing range and freezing time and the deciding method for spacing between freezing pipes are proposed. Finally, the calculation method for the depth of artificial frozen soil is analyzed by case studies; and the influence of different spacings between freezing pipes on freezing times is compared by numerical simulation method. The study results can deepen the relationship between theoretical study and practice of artificial frozen soil.

artificial frozen soil; freezing process; thermal potential; spacing between freezing pipes

2016-09-30;

2017-05-14

國家自然科學(xué)基金面上項目(11672253)

馬悅(1988—)，男，四川成都人，2014年畢業(yè)于西南交通大學(xué)，固體力學(xué)專業(yè)，碩士，工程師，從事凍土力學(xué)性能的研究及結(jié)構(gòu)工程的設(shè)計工作。E-mail: 13818897914@hotmail.com。

10.3973/j.issn.1672-741X.2017.08.015

U 45

A

1672-741X(2017)08-1011-07