雷亞慶

(南京市大廠高級中學(xué)，江蘇 南京 210000)

零點存在定理的理解與辨析

雷亞慶

(南京市大廠高級中學(xué)，江蘇 南京 210000)

很多同學(xué)在使用零點存在定理時都會產(chǎn)生錯誤，原因在于對零點存在定理的理解出現(xiàn)偏差.針對此問題，本文闡述了學(xué)習(xí)零點存在定理的必要性，用舉反例的形式使學(xué)生明白自己的錯誤在哪，從而進(jìn)一步準(zhǔn)確理解零點存在定理的本質(zhì)并會正確應(yīng)用.

零點，存在定理，產(chǎn)生背景，反例，正確理解與應(yīng)用

一、零點存在定理產(chǎn)生的背景

一般地，我們把使函數(shù)y=f(x)的值為0的實數(shù)x稱為函數(shù)y=f(x)的零點，因此函數(shù)y=f(x)的零點實際上就是方程f(x)=0的實數(shù)根，從圖象上看，函數(shù)的零點就是它與x軸的交點的橫坐標(biāo).函數(shù)零點可以從不同角度把函數(shù)與其他知識鏈接起來，如數(shù)與形，函數(shù)與方程，函數(shù)與不等式等，因此學(xué)好有關(guān)函數(shù)零點的問題能讓我們深刻理解函數(shù)在中學(xué)數(shù)學(xué)中的核心地位.

那么如何求函數(shù)的零點呢，很自然地我們會想到求方程f(x)=0的實數(shù)根，那么問題來了，方程f(x)=0有沒有實數(shù)根呢？有的話如何求呢？因為除了一元一次方程和一元二次方程外，許多方程的根以我們現(xiàn)有的知識是無法求出的，這就說明有些函數(shù)的零點并不是很好求.退而求其次，函數(shù)是否有零點，有的話在什么范圍內(nèi)就自然成為我們關(guān)注的話題.用圖形倒是一個較好的方法，但一來圖象法得到的結(jié)果誤差較大，有的函數(shù)的圖象也不太好畫.二來圖象法并不能作為推理的依據(jù).在這種背景下，零點存在定理的出現(xiàn)就顯得水到渠成了.蘇教版課本給出了函數(shù)零點存在定理：

一般地，若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是一條不間斷的曲線，且f(a)·f(b)<0，則函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)上有零點.

二、零點存在定理的正確理解

函數(shù)零點存在定理為我們判斷函數(shù)在某區(qū)間上是否有零點提供了理論依據(jù)，但很多同學(xué)對零點存在定理存在許多認(rèn)知上的偏差.下面我們不妨一一道來.

1.為什么要強(qiáng)調(diào)函數(shù)y=f(x)圖象閉區(qū)間[a,b]不間斷？

2.為什么強(qiáng)調(diào)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是一條不間斷的曲線？

由上例我們可以看出：如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是一條間斷的曲線，那么即使它滿足f(a)·f(b)<0,函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)上也不一定有零點(不代表一定沒有)，只有函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是一條不間斷的曲線，且f(a)·f(b)<0，函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)上才一定有零點.

3．是不是只有一個零點？

反例3 函數(shù)f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)在區(qū)間[0,4]上的圖象是一條不間斷的曲線，且f(0)·f(4)<0，但是函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(0,4)上有三個零點1，2，3.

從上例中可以看出.滿足函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是一條不間斷的曲線，且f(a)·f(b)<0，則函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)上至少有一個零點.

4.是不是f(a)·f(b)>0時，函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)上一定沒有零點？

反例4 函數(shù)f(x)=(x-2)(x-3)，在區(qū)間[1,4]上的圖象是一條不間斷的曲線，且f(1)·f(4)>0，但是函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,3)上有零點2，3.

從上例可以看出，“函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是一條不間斷的曲線，且f(a)·f(b)<0”只是函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)上有零點的一種情況，即滿足上述條件，該函數(shù)一定有零點，但它并不表示不滿足上述條件時，函數(shù)就沒有零點.也就是說零點存在定理只是給我們提供了眾多求函數(shù)零點的道路中的一條而已.

三、零點存在定理的應(yīng)用

例1 求證函數(shù)f(x)=lgx+x-3在(2，3)內(nèi)有零點.

例2 已知關(guān)于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.

若方程有兩根，其中一根在區(qū)間(-1,0)內(nèi)，另一根在區(qū)間(1,2)內(nèi)，求m的范圍；

(1)由已知可得拋物線f(x)=x2+2mx+2m+1與x軸的交點分別在區(qū)間(-1,0)和(1,2)內(nèi)，如圖1所示，得

[1]人民教育出版社，課程教材研究所，中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開發(fā)中學(xué).普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書(教學(xué)必修5)[J].北京：人民教育出版社，2004.

[責(zé)任編輯：楊惠民]

2017-05-01

雷亞慶(1972.3-)，男，陜西人，中學(xué)高級教師，本科，課堂教學(xué)與解題研究.

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