周利云　李建良

【摘 要】數(shù)學(xué)教學(xué)中存在著不少教師在“教”之前學(xué)生似乎已經(jīng)“知道”的知識點(diǎn)，如何尋找這些“知識點(diǎn)”的教學(xué)生長點(diǎn)和增長點(diǎn)，是教師必須直面的問題。以“三角形內(nèi)角和”這一課教學(xué)研究為例，教師在秉承實(shí)證精神對學(xué)情和教材編寫意圖作出科學(xué)分析的基礎(chǔ)上，作出“從猜想轉(zhuǎn)向直接驗(yàn)證”“從‘方法的簡單鋪陳轉(zhuǎn)向‘方法的融會貫通”“從簡單片面的經(jīng)驗(yàn)積累轉(zhuǎn)向?qū)Α季S嚴(yán)謹(jǐn)性的追求”的教學(xué)調(diào)整策略，從而為本課的教學(xué)尋找到增量。這種路徑的研究，可以為同類問題的教學(xué)提供有益的啟迪。

【關(guān)鍵詞】三角形內(nèi)角和 教材解讀 教學(xué)建議

平時的教學(xué)中，存在著不少在教師“教”之前學(xué)生似乎都已經(jīng)“知道”了的知識點(diǎn)，但這種“知道”是否“真知道”？且究竟又有多少學(xué)生“知道”？“知道”到了何種程度？等等。這些對于教師正確把握學(xué)情和遵循教材邏輯體系的關(guān)系，從而有針對性地展開教學(xué)會產(chǎn)生一定的干擾。因此，教師必須要做出正確的判斷，一是對所謂的“知道”不能做簡單判斷，而是應(yīng)通過一定方式的前測對學(xué)情做出相對準(zhǔn)確的分析，二是必須進(jìn)一步厘清教材編寫和知識本身的邏輯體系，找尋出所教知識和教學(xué)的生長點(diǎn)。并最終以此為基點(diǎn)，根據(jù)需要對教學(xué)目標(biāo)、重點(diǎn)以及教學(xué)方法做出適度的調(diào)整。

“三角形的內(nèi)角和”是第二學(xué)段有關(guān)“空間與圖形”領(lǐng)域的一個教學(xué)內(nèi)容。它是三角形的一個重要性質(zhì)，有助于學(xué)生理解三角形的三個內(nèi)角之間的關(guān)系，也是進(jìn)一步學(xué)習(xí)三角形相關(guān)知識點(diǎn)的基礎(chǔ)。然而，在實(shí)際教學(xué)中，正是源于上述提及的“知道”問題，教師常常會有挫敗感——教與不教，差異不大！

實(shí)際上，已經(jīng)有不少教師通過對這一課的研究，對“學(xué)生知道的知識，究竟該怎么教”這類命題提出思考。但究竟是“簡單教”還是“簡單問題復(fù)雜教”，并不能一概而論，還是應(yīng)該具體問題具體分析。基于上述考量，筆者對“三角形內(nèi)角和”這一課展開了研究。

一、教材編排情況

筆者主要選取了現(xiàn)行的四個版本的教材進(jìn)行比較，分別是：

盧江、楊剛主編的人民教育出版社2014年10月第1版教材（以下簡稱“人教版”）；

劉堅(jiān)、孔企平、張丹主編的北京師范大學(xué)出版社2014年12月第1版教材（以下簡稱“北師大版”）；

孫麗谷、王林主編的江蘇教育出版社2014年12月第1版教材（以下簡稱“蘇教版”）；

張?zhí)煨⒅骶幍恼憬逃霭嫔?010年10月第1版教材（以下簡稱“浙教版”）。

（一）各版本教材在年級、單元上的安排

從上表中可以發(fā)現(xiàn)，四套教材都將“三角形的內(nèi)角和”安排在四年級下冊進(jìn)行教學(xué)，都屬于三角形的認(rèn)識和特性的范疇。這與《課標(biāo)》（2011年版）第三部分“內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)”中第二學(xué)段（4～6年級）“二、圖形與幾何（一）圖形的認(rèn)識的具體要求之6.認(rèn)識三角形，通過觀察、操作，了解三角形兩邊之和大于第三邊、三角形內(nèi)角和是180°”相一致。

（二）通過不同素材設(shè)計各類活動來幫助學(xué)生深入探究

通過對比羅列不難發(fā)現(xiàn)，各套教材在引導(dǎo)學(xué)生開展操作驗(yàn)證時都有以下一些特點(diǎn)。

1.情境創(chuàng)設(shè)符合學(xué)生年齡特點(diǎn)

無論是猜想式還是動手操作式，都能積極引發(fā)學(xué)生的探究欲望，從而為后面探究活動的深入奠定了一定的基礎(chǔ)。

2.素材提供盡量不偏而全

即便是從特殊的三角形導(dǎo)入，之后也隨之跟上其他非特殊類三角形的研究。而學(xué)生自己畫或是準(zhǔn)備時，更是要求是幾個不同類型的三角形。

3.操作驗(yàn)證提供的方法以量、拼為主

仔細(xì)觀察會發(fā)現(xiàn)，前三個版本教材幾乎是量和拼，即便浙教版教材開始是觀察發(fā)現(xiàn)規(guī)律為主，后面也安排了撕拼環(huán)節(jié)。

教材之所以這樣編排，主要還是基于學(xué)生現(xiàn)實(shí)情況的考慮：就小學(xué)幾何而言更多的是“經(jīng)驗(yàn)幾何”“實(shí)驗(yàn)幾何”，提供的素材及解決問題的方法是要符合四年級學(xué)生的心理年齡特點(diǎn)的，同時也應(yīng)為學(xué)生積累基本活動經(jīng)驗(yàn)提供有效的實(shí)踐平臺。因此常規(guī)教學(xué)也是基本遵循了教材原有的呈現(xiàn)順序來依次進(jìn)行各個環(huán)節(jié)的展開。實(shí)際上，數(shù)學(xué)教學(xué)中，在落實(shí)知識點(diǎn)的同時，指向基本活動經(jīng)驗(yàn)的積累是重要使命之一，這在某種程度上也為教師從“教知識”中適度解放出來提供了依據(jù)。

二、教學(xué)前學(xué)生情況

（一）前測安排

對于“三角形內(nèi)角和”的學(xué)習(xí)，學(xué)生學(xué)習(xí)之前會有怎樣的認(rèn)知基礎(chǔ)和生活經(jīng)驗(yàn)？筆者對四年級共126名學(xué)生進(jìn)行了前測。為了避免干擾，前測分第一輪和第二輪，知道三角形內(nèi)角和是180°的孩子方可進(jìn)入第二輪測試。主要以筆試為主。

（二）學(xué)生情況

選取了部分典型試題作了相關(guān)的統(tǒng)計，具體情況如下：

從最后學(xué)生前測的情況來看，我們不難發(fā)現(xiàn)以下幾點(diǎn)。

1.將近100%的學(xué)生已知“三角形內(nèi)角和就是180°”

參加測試的學(xué)生中只有2個孩子對該題處于空白，另外124名孩子都知道了“三角形內(nèi)角和就是180°”。知道的途徑有很多：有書上看來的，家長告知的，通過課外班學(xué)來的，也有舉例特殊三角形從而推斷的等。

2.將近15%的學(xué)生不明確研究材料的全面性

從問題3的選擇情況來看，學(xué)生對于“實(shí)驗(yàn)研究應(yīng)注意材料的全面性，否則容易犯以偏概全的錯誤”這一點(diǎn)認(rèn)知嚴(yán)重不足，即沒有意識到在本課試驗(yàn)中，不能只研究一個或一類三角形就得出所有三角形內(nèi)角和是180°的結(jié)論。

3.將近73%的學(xué)生知道會用測量求和的方法來驗(yàn)證

對124位已經(jīng)知道結(jié)論的學(xué)生進(jìn)行了第二輪的測試，第一個問題便是“驗(yàn)證180°，你有哪些方法？”從最終的統(tǒng)計結(jié)果來看，各版本上預(yù)測的“量”“撕”“折”等方法，學(xué)生幾乎都有涉及，尤其是“測量求和”的方法，幾乎成為了學(xué)生的首選。

從上述現(xiàn)實(shí)情況來看，教材原本設(shè)定的教學(xué)目標(biāo)之“讓學(xué)生探索并發(fā)現(xiàn)三角形內(nèi)角和等于180°”與學(xué)情相比是有沖突的，具體來講就是：目標(biāo)顯然已經(jīng)滯后于學(xué)生的已有學(xué)習(xí)起點(diǎn)。相反，學(xué)生在真正用實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證時對于材料的全面性的認(rèn)識是不夠清晰的，而這一點(diǎn)似乎在常規(guī)的教學(xué)目標(biāo)中沒有被體現(xiàn)及提及。

三、教學(xué)建議及思考

鑒于對教材與學(xué)情的綜合分析，筆者認(rèn)為，對于本課的教學(xué)目標(biāo)不應(yīng)再停留于探索發(fā)現(xiàn)結(jié)論，而是驗(yàn)證已有結(jié)論；對于本課的教學(xué)重點(diǎn)也應(yīng)從“通過多種方法歸納得到該結(jié)論”轉(zhuǎn)而向“經(jīng)歷探究過程且注重多種方法之間的溝通與聯(lián)系”邁進(jìn)；而本課的教學(xué)難點(diǎn)則應(yīng)聚焦于操作驗(yàn)證上的一系列問題，如如何面對和理解操作中的誤差問題，如何讓學(xué)生體會實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證的嚴(yán)謹(jǐn)?shù)取Ｏ旅娼o出具體教學(xué)建議。

（一）直面學(xué)情，開門見山奔主題——從猜想轉(zhuǎn)向直接驗(yàn)證

從各版本教材來看，幾乎一開始都以為學(xué)生處于“未知空白”階段。但從之后的前測來看，反差非常大，學(xué)生不僅知道，而且?guī)捉耆?。因此從某種意義上來說，一開始的猜想環(huán)節(jié)已經(jīng)形同虛設(shè)。鑒于上述種種，筆者建議教師在執(zhí)教該課時不妨改猜想為驗(yàn)證，開門見山，直奔主題，將學(xué)生的注意力集中到如何驗(yàn)證上來。

師：關(guān)于三角形內(nèi)角和的知識，你知道些什么？

生：三角形內(nèi)角和是180°。

師：你們都同意么？你們是怎么知道的?。?/p>

生：書上看來的。

師：（肯定）的確，這個結(jié)論是正確的，并且是數(shù)學(xué)家們在很久以前就已經(jīng)驗(yàn)證了的。今天，咱們也來當(dāng)一回小小數(shù)學(xué)家。那么，作為數(shù)學(xué)家的你，可能會用哪些方法來驗(yàn)證呢？

當(dāng)然，這里絕不是簡單地為“迎合”學(xué)情而轉(zhuǎn)向了驗(yàn)證，而是由 “驗(yàn)證”本身在本課例中舉足輕重的地位所決定，即本課的重心就是在驗(yàn)證中培養(yǎng)學(xué)生多種基本素養(yǎng)，那么開門見山直奔主題的高效做法自然也就順理成章。

（二）高于教材，把握目標(biāo)找增量——從“方法”的簡單介紹轉(zhuǎn)向有機(jī)聯(lián)系

上述四個版本教材在“操作驗(yàn)證”環(huán)節(jié)中都預(yù)設(shè)了“測量求和”“撕拼法”“折拼法”等操作實(shí)驗(yàn)。而從學(xué)生的前測情況來看，也或多或少地想到這些方法。那么在執(zhí)教該環(huán)節(jié)時，假如我們的教學(xué)要點(diǎn)仍僅僅只是停留在各類操作方法“走馬觀花”式的介紹上的話，那學(xué)生的學(xué)習(xí)增量又會在哪里？因此，筆者建議，在各類方法展示之后，教師還有必要穿插以下環(huán)節(jié)。

在有序呈現(xiàn)了撕拼法、折拼法以及3個全等三角形的擺拼法之后。

師：對比回顧剛才的這些方法，有沒有找到共同點(diǎn)？

生：做法有點(diǎn)不太一樣，但道理是一樣的，都是要把三個內(nèi)角拼成一個平角。

（師借助課件將上述共同點(diǎn)再次凸顯）

師：那這三種方法與之前的測量求和法有什么聯(lián)系？

生：測量時是得出180°，而拼在一起是得到一個平角，而平角就是180°。

師：是的，無論是180°還是平角，本質(zhì)上是一樣的。

師：但是，上述四種方法都屬于操作實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，只要是操作的，那么就會不可避免存在一個問題，那就是都會產(chǎn)生誤差。

不難發(fā)現(xiàn)，這里的增量部分其實(shí)就是“各方法之間的聯(lián)系溝通學(xué)習(xí)”。不聯(lián)系，不溝通，對于已知結(jié)論并不會產(chǎn)生什么影響，但是教師在這里看似簡潔的幾筆卻真正起到了畫龍點(diǎn)睛的作用，也正是因?yàn)檠a(bǔ)充了這樣的教學(xué)操作才讓學(xué)生有了更高層次的理解和感悟。

（三）追求“科學(xué)”，全面呈現(xiàn)出結(jié)論——從動手操作的一般關(guān)注轉(zhuǎn)向不完全歸納的思維訓(xùn)練

現(xiàn)階段小學(xué)的課堂主要有操作驗(yàn)證和推理論證兩大類。而通過之前的分析我們不難發(fā)現(xiàn)各版本教材在編寫上深刻地體現(xiàn)出了讓學(xué)生操作探究的特點(diǎn)，即通過動手操作、小組合作探究，發(fā)現(xiàn)三角形內(nèi)角和為180°。相比推理論證，操作驗(yàn)證的確顯得不夠嚴(yán)謹(jǐn)，但是就小學(xué)而言，這樣的“實(shí)驗(yàn)幾何”是符合四年級學(xué)生的心理年齡特點(diǎn)的，同時也為學(xué)生積累基本活動經(jīng)驗(yàn)提供了有效的實(shí)踐平臺。但不可避免的是操作驗(yàn)證有其局限性——操作不僅會產(chǎn)生誤差，同時更容易因?yàn)椴僮鞑牧系钠嫘詫?dǎo)致不科學(xué)的結(jié)論。再次回顧教材后，我們會發(fā)現(xiàn)不管是人教版的“畫幾個不同類型的三角形”還是浙教版的“從特殊直角三角形到普通的不等邊三角形”，其實(shí)質(zhì)都指向一處——教學(xué)時應(yīng)重視操作實(shí)驗(yàn)的科學(xué)性，盡量做到材料的全面典型，以此方能通過不完全歸納法最終得出結(jié)論。

師：量這種方法，大家都想到了，那么就請你借助手中的點(diǎn)子圖，畫任意三角形，量一量、算一算，把結(jié)論寫在下面。

反饋：先投影只畫一個三角形的學(xué)生的作品，再反饋三類三角形都畫出來再測量的。

師：對比兩位同學(xué)的研究思路，你有什么要說的？

生：一個不能說明全部，應(yīng)該三類三角形都研究。

師：是的，我們在實(shí)驗(yàn)研究時，研究的材料必須要全面性，這樣研究得出的結(jié)果才會更具有科學(xué)性，否則就會犯以偏概全的錯誤。

學(xué)生的動手操作是直觀的，也是感性的，尤其是四年級學(xué)生，還處于從形象思維向邏輯抽象思維過渡的初級階段，因此借助上述環(huán)節(jié)，讓學(xué)生在懂得“實(shí)驗(yàn)科學(xué)性”的同時也體會了“思維的嚴(yán)謹(jǐn)性”。

總而言之，類似“三角形內(nèi)角和”這一類型的課，教師必須著眼于學(xué)情——找準(zhǔn)教學(xué)起點(diǎn)，讓學(xué)生已有的知識起點(diǎn)與數(shù)學(xué)邏輯教學(xué)起點(diǎn)銜接得更為自然；著手于教材——明確教學(xué)目標(biāo)的同時也能靈活適度地調(diào)整重難點(diǎn)讓學(xué)生真正學(xué)有所獲；著力于過程——讓即便是操作的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證也同樣做到無懈可擊，并從中讓學(xué)生學(xué)會科學(xué)的實(shí)驗(yàn)態(tài)度。

（浙江省杭州市富陽永興學(xué)校 311400）

（浙江省杭州市蕭山區(qū)益農(nóng)鎮(zhèn)中心小學(xué) 311200）