周鳳麗+于海平+龔江河

摘 要：提出一種新的基于水平集的圖像分割方法，通過(guò)引入貝葉斯規(guī)則，設(shè)計(jì)一個(gè)可有效分割弱邊緣的非線性自適應(yīng)速度和概率加權(quán)停止函數(shù)。該方法包含如下特性：可以自動(dòng)決定曲線收縮或利用貝葉斯規(guī)則對(duì)涉及到的圖像區(qū)域特征進(jìn)行擴(kuò)展；以恰當(dāng)?shù)乃俣闰?qū)動(dòng)曲線演變，避免了弱邊緣的遺漏；降低了假邊緣的影響。最后將所提出的分割方法應(yīng)用于人工圖像、醫(yī)學(xué)圖像和自然圖像的定性和定量評(píng)估。對(duì)結(jié)果進(jìn)行比較可知，該方法相對(duì)于水平集方法和其代表的變體更加有效和實(shí)用。

關(guān)鍵詞：活動(dòng)輪廓；貝葉斯規(guī)則；有限差分；圖像分割；水平集；偏微分方程

DOIDOI：10.11907/rjdk.171233

中圖分類號(hào)：TP317.4

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1672-7800（2017）007-0191-04

0 引言

主動(dòng)輪廓模型（Active Contour Model，ACM）作為圖像分割的流行技術(shù)，受到了學(xué)者的廣泛關(guān)注，其建立了一個(gè)統(tǒng)一的分級(jí)ACM系統(tǒng)框架[1]。水平集方法（Level Set Method，LSM）作為隱式的ACM也被廣泛應(yīng)用于圖像分割[2]，它根據(jù)分割任務(wù)的類別跟蹤圖像的邊緣或標(biāo)記像素，分割出圖像的邊緣和區(qū)域。Li等[3]將懲罰項(xiàng)引入至能量泛函，使得水平集函數(shù)一直保持為符號(hào)距離函數(shù)，不用在曲線演化過(guò)程中重新初始化水平集函數(shù)。Chan和Vese[4]將圖像分為背景區(qū)域和目標(biāo)區(qū)域兩部分，使用簡(jiǎn)化的Mumford-Shah模型[5]逼近待分割圖像，在近似函數(shù)和原始圖像之間引入懲罰項(xiàng)，并將此方法擴(kuò)展應(yīng)用于張量圖像等特殊圖像分割中；隨后Roussonet、Chen和Tseng等[6-7]通過(guò)使用最大后驗(yàn)（Maximum a-Posterior）模擬外部能量設(shè)計(jì)了一種圖像分割方法。

為了得到圖像的正確分割結(jié)果并解決上述問(wèn)題，本文設(shè)計(jì)了一種新的圖像分割方法。該方法結(jié)合了以新的圖像邊緣和區(qū)域?yàn)榛A(chǔ)的混合停止力及文獻(xiàn)[3]中提出的能量泛函，具有以下優(yōu)點(diǎn)：①與文獻(xiàn)[3]和[4]提出的水平集方法相比，自適應(yīng)方向函數(shù)可自動(dòng)確定曲線進(jìn)化方向，并不容易受到曲線初始位置的影響；②該方法提供了非線性進(jìn)化速度函數(shù)，可避免邊緣泄漏和弱邊緣的出現(xiàn)；③該方法中所設(shè)計(jì)的概率加權(quán)停止力可抑制假邊緣（即遠(yuǎn)離待分割圖像的邊緣）的影響。最后將提出的方法與文獻(xiàn)[3]、[4]、[6]、[7]中提出的4種具有代表性的水平集方法應(yīng)用于人工圖像、自然圖像和醫(yī)學(xué)圖像的分割，并對(duì)圖像分割結(jié)果進(jìn)行比較。結(jié)果表明，本文所提出的圖像分割方法更加有效和實(shí)用。

1 水平集方法

大多數(shù)傳統(tǒng)的水平集方法需要通過(guò)在曲線演化過(guò)程中求解PDE重構(gòu)水平集函數(shù)，每隔幾個(gè)迭代步驟就會(huì)執(zhí)行重新初始化水平集函數(shù)，導(dǎo)致計(jì)算量過(guò)大。為解決這個(gè)問(wèn)題，Li等[3]在能量泛函中引入了懲罰項(xiàng)，定義為：

其中Ω表示圖像域；是水平集函數(shù)；μ、λ、ν是常系數(shù)；H（-）是Heaviside函數(shù)；δ（-）是Dirac函數(shù)；g為基于圖像邊緣的停止函數(shù)，定義為：

其中，Gσ是標(biāo)準(zhǔn)方差為σ的Gaussian函數(shù)；I表示帶分割圖像；停止函數(shù)g是一個(gè)正單調(diào)遞減函數(shù)，隨著圖像灰度的增加其值逐漸趨近于0。但該方法存在兩個(gè)缺陷：①該方法對(duì)曲線的初始位置敏感；②圖像噪聲魯棒性不夠。Chan和Vese通過(guò)利用分段常函數(shù)逼近待分割圖像提出了一種基于區(qū)域的水平集方法[4]，將能量泛函的外部能量作為擬合誤差，定義為：

其中，c1和c2分別表示閉合曲線內(nèi)部和外部像素的灰度平均值；Chen和Tseng對(duì)文獻(xiàn)[4]的方法進(jìn)行了擴(kuò)展，設(shè)計(jì)了一種基于貝葉斯最大后驗(yàn)（MAP）的水平集方法[7]，其能量泛函定義為：

其中，ω1和ω2分別表示閉合曲線的內(nèi)部和外部區(qū)域，假設(shè)式（4）中的條件概率呈高斯分布，可定義為：

當(dāng)每個(gè)高斯分布的標(biāo)準(zhǔn)偏差為1（σi=1）時(shí)，貝葉斯項(xiàng)退化為式（3）的簡(jiǎn)化形式，因此式（4）也可看作是對(duì)式（3）泛化能力的統(tǒng)計(jì)。上述基于區(qū)域的水平集方法均使用圖像的區(qū)域特征作為曲線演化的停止條件，可以有效防止邊緣泄漏，但在分割圖像中不均勻的部分，其表現(xiàn)有所欠缺。

2 非線性自適應(yīng)水平集方法

2.1 自適應(yīng)方向函數(shù)

為了讓曲線演化不必過(guò)分依賴于曲線的初始位置，可利用全局統(tǒng)計(jì)特征確定曲線的演化方向，假設(shè)表示圖像區(qū)域的公式為：Ω=Ω1+Ω2，其中Ω1和Ω2分別表示目標(biāo)和背景，這樣曲線的演化方向可以通過(guò)式（6）確定。

與文獻(xiàn)[4]中所提出的函數(shù)相比，該函數(shù)提供了曲線演化的新規(guī)則。為加快曲線演化，文獻(xiàn)[3]和[4]均提出將一個(gè)常量速度合并至演化方程，該常量的值較大時(shí)，弱邊界易于遺漏，而值較小時(shí)，收斂速度會(huì)變慢。為了解決此問(wèn)題，將自適應(yīng)方向函數(shù)作進(jìn)一步改進(jìn)，即：

其中，κ為常量參數(shù)，控制曲線演化速度的幅度，本文實(shí)驗(yàn)中假設(shè)κ=15；ζ也是一個(gè)常量參數(shù)，表示曲線演化的非線性程度，本文實(shí)驗(yàn)中假設(shè)ζ=2。

2.2 概率加權(quán)停止函數(shù)

基于邊緣的水平集方法中通常使用基于圖像灰度的停止函數(shù)對(duì)圖像邊緣進(jìn)行標(biāo)識(shí)，而基于區(qū)域的水平集方法中所采用的停止函數(shù)是基于區(qū)域信息設(shè)計(jì)而成。本文將圖像的局部和全局特征結(jié)合，設(shè)計(jì)了一個(gè)新的基于邊緣和區(qū)域的停止函數(shù)，即概率加權(quán)停止函數(shù)：

其中，Gσ*I表示對(duì)圖像I進(jìn)行高斯平滑處理；m為一個(gè)正常數(shù)且在本文所有實(shí)驗(yàn)中設(shè)置為2，當(dāng)圖像灰度的乘積范數(shù)和P（Ω1|I）P（Ω2|I）較大時(shí)，式（16）將取較小值。

2.3 非線性自適應(yīng)水平集方法

水平集函數(shù)中能量泛函的定義是水平集圖像分割方法的核心，本文在文獻(xiàn)[3]的基礎(chǔ)上，加入上述非線性自適應(yīng)方向函數(shù)和概率加權(quán)停止函數(shù)，重新將能量泛函定義為：

其中，d為一個(gè)正常數(shù)；Ω表示圖像區(qū)域；Ω0表示被初始閉合曲線Ω0封閉的區(qū)域；常數(shù)λ用于控制加權(quán)長(zhǎng)度項(xiàng)的影響且取值范圍為[1，10]，其值越大，曲線越平滑。endprint

通過(guò)將Euler-Lagrange方程應(yīng)用于能量泛函并人為引入時(shí)間變量t，可以得到如下演化方程：

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

為了驗(yàn)證所提出方法的有效性，一共進(jìn)行了3組實(shí)驗(yàn)，每組實(shí)驗(yàn)將該方法與文獻(xiàn) [3]、[4]、 [6]、[7]中提出的方法分別應(yīng)用于人工圖像、自然圖像以及醫(yī)學(xué)圖像的分割。在所有實(shí)驗(yàn)中，本文所提出方法設(shè)定時(shí)間步長(zhǎng)Δt迭代至10，式（16）中的m=2，式（17）中的μ=0.2/Δt，式（6）中的TP=0.5，式（15）中的κ和ζ分別設(shè)置為15和2。

實(shí)驗(yàn)1：將5種方法應(yīng)用于包含3種不同灰度值形狀的人工圖像中，如圖1所示。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，本文所提出方法可以檢測(cè)到3種形狀，但因?yàn)槠洳捎萌纸y(tǒng)計(jì)特征確定曲線演化方向，不必考慮曲線的起始位置，且可以避免錯(cuò)過(guò)局部邊緣。

實(shí)驗(yàn)2：將5種方法應(yīng)用于包含腫塊且邊界模糊的乳腺x線圖像，如圖2所示。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，本文所提出的方法正確地捕獲到了所期望腫塊邊緣的輪廓，因?yàn)槠浠旌贤Ｖ沽梢詫?duì)弱邊界進(jìn)行很好的處理。

實(shí)驗(yàn)3：將5種方法應(yīng)用于包含灌木叢的自然圖像，如圖3所示。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，本文所提出的方法可以有效抑制圖像邊緣遠(yuǎn)處區(qū)域的灰度變化，不用考慮曲線的起始位置，最終都能得到正確的目標(biāo)區(qū)域輪廓。

4 結(jié)語(yǔ)

本文結(jié)合圖像的局部和全局特征，構(gòu)造了一種新的非線性自適應(yīng)速度和加權(quán)概率停止力，速度的符號(hào)可自動(dòng)決定曲線收縮或膨脹，速度梯度大小的非線性變化可有效避免圖像邊緣泄漏；概率加權(quán)停止力可有效抑制錯(cuò)誤圖像邊緣的影響并改善對(duì)噪聲的魯棒性。由于非線性自適應(yīng)速度基于兩相假設(shè)而設(shè)計(jì)，若要對(duì)圖像作多相分割，需要使用多個(gè)水平集函數(shù)，未來(lái)考慮將貝葉斯規(guī)則與先驗(yàn)信息合并解決此問(wèn)題。

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