劉曉威 張可燁

(華東師范大學(xué)物理與材料科學(xué)學(xué)院,上海 200062)

有效質(zhì)量法調(diào)控原子玻色-愛(ài)因斯坦凝聚體的雙阱動(dòng)力學(xué)?

劉曉威 張可燁?

(華東師范大學(xué)物理與材料科學(xué)學(xué)院,上海 200062)

(2017年4月14日收到;2017年5月12日收到修改稿)

操控原子玻色-愛(ài)因斯坦凝聚體在雙勢(shì)阱中的動(dòng)力學(xué)通常是通過(guò)改變勢(shì)阱深度來(lái)實(shí)現(xiàn),本文提出了一種基于調(diào)節(jié)原子有效質(zhì)量的控制方案,可以在不改變雙阱勢(shì)的前提下操控凝聚體的雙阱動(dòng)力學(xué).利用雙模近似,本文解析地導(dǎo)出了超冷原子在雙阱勢(shì)中的隧穿強(qiáng)度和相互作用強(qiáng)度對(duì)有效質(zhì)量的依賴(lài)關(guān)系,并基于平均場(chǎng)近似數(shù)值模擬了在有效質(zhì)量調(diào)節(jié)下的凝聚體動(dòng)力學(xué)演化,展示了隧穿振蕩和自束縛等典型的雙阱動(dòng)力學(xué)行為.此外,本文的研究還發(fā)現(xiàn),借助負(fù)有效質(zhì)量效應(yīng),這一方案甚至可以等效地實(shí)現(xiàn)對(duì)負(fù)散射長(zhǎng)度原子凝聚體雙阱動(dòng)力學(xué)行為的操控.

玻色-愛(ài)因斯坦凝聚,雙勢(shì)阱,有效質(zhì)量

1 引 言

原子的玻色-愛(ài)因斯坦凝聚作為一種宏觀量子力學(xué)效應(yīng),一直是物理領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)之一.其良好的量子相干性使它成為凝聚態(tài)物理、非線(xiàn)性物理、量子光學(xué)、量子信息與量子計(jì)算、精密測(cè)量等諸多基礎(chǔ)與應(yīng)用研究領(lǐng)域的共同熱點(diǎn),近年來(lái)更是成為了量子物理的研究工具,直接孕育出物質(zhì)波光學(xué)、原子芯片、量子模擬等新的研究方向.在這些研究中,通過(guò)電磁場(chǎng)構(gòu)建各種勢(shì)場(chǎng)來(lái)精密操控原子凝聚體是必不可少的研究手段.例如使用磁場(chǎng)在芯片表面構(gòu)建原子波導(dǎo)[1,2],利用攜帶角動(dòng)量的磁場(chǎng)或光場(chǎng)制備原子團(tuán)渦旋態(tài)[3,4],利用駐波光場(chǎng)作為原子分束器操縱凝聚體實(shí)現(xiàn)原子干涉儀或陀螺儀[5?7],或利用駐波光場(chǎng)實(shí)現(xiàn)光晶格勢(shì)來(lái)操控凝聚體模擬各種理想的量子多體模型[8?15]等.其中,利用束縛在雙阱勢(shì)場(chǎng)中的原子凝聚體來(lái)模擬約瑟夫森超導(dǎo)結(jié)效應(yīng)[16,17]是一個(gè)十分典型和基礎(chǔ)的量子模擬研究例子.傳統(tǒng)的研究方法一般通過(guò)操控形成雙阱勢(shì)的磁光場(chǎng)來(lái)改變勢(shì)阱深度,或利用費(fèi)許巴赫共振法(Feshbach resonance)調(diào)節(jié)原子的相互作用強(qiáng)度,可以使原子凝聚體展現(xiàn)量子隧穿振蕩或自束縛等典型的約瑟夫森結(jié)動(dòng)力學(xué)行為[18].

本文提出一種新的凝聚體雙阱動(dòng)力學(xué)操控方法,在不改變構(gòu)成雙阱勢(shì)的磁光場(chǎng)的前提下,通過(guò)額外施加一個(gè)光晶格勢(shì)場(chǎng)來(lái)調(diào)節(jié)凝聚體的有效質(zhì)量,也可以完成動(dòng)力學(xué)操控,使之展示各種典型的雙阱量子動(dòng)力學(xué)行為.有效質(zhì)量理論本來(lái)只是一種可以便捷地描述電子、原子等物質(zhì)波在周期勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的近似理論,但近年來(lái)借助飛速發(fā)展的光晶格實(shí)驗(yàn)技術(shù),原子有效質(zhì)量已經(jīng)成為一個(gè)可精密調(diào)節(jié)的物理量,并有希望發(fā)展成為一種可以改變?cè)幽垠w性質(zhì)的工具.依據(jù)光晶格勢(shì)的參量,原子有效質(zhì)量可大可小,可以顯著地偏離真實(shí)原子質(zhì)量值,導(dǎo)致其動(dòng)力學(xué)性質(zhì)與量子特性發(fā)生顯著改變.它甚至可以實(shí)現(xiàn)負(fù)質(zhì)量效應(yīng),導(dǎo)致凝聚體懸浮[19]、亮孤子凝聚體[20?22]、負(fù)溫度凝聚體[23]、量子測(cè)量反作用消除等[24]一些奇異的物理現(xiàn)象.本文借助平均場(chǎng)近似和數(shù)值模擬展示了有效質(zhì)量法對(duì)凝聚體雙阱動(dòng)力學(xué)的調(diào)控,分析了其內(nèi)在原因,并討論了負(fù)有效質(zhì)量情況下凝聚體動(dòng)力學(xué)與負(fù)散射長(zhǎng)度凝聚體動(dòng)力學(xué)的等效性.

2 系統(tǒng)哈密頓量與有效質(zhì)量近似

如圖1所示,一維對(duì)稱(chēng)雙阱勢(shì)場(chǎng)U(x)中囚禁的原子玻色-愛(ài)因斯坦凝聚體還受到波矢為kL的駐波光場(chǎng)形成的一維周期勢(shì)場(chǎng)V(x)=V0cos2(kLx)的操控,系統(tǒng)的完整哈密頓量為

其中M0是原子質(zhì)量,g=4π2a/M0則代表散射長(zhǎng)度為a的原子的碰撞相互作用強(qiáng)度,而(x)是玻色原子場(chǎng)的湮滅算符.雙阱勢(shì)U(x)的具體表達(dá)式為

式中參量b與d都是大于√零的實(shí)數(shù),該勢(shì)√阱的兩個(gè)最低點(diǎn)分別位于x1=處,因此雙阱的間距可以表示為D=,而雙阱之間的勢(shì)壘深度為L(zhǎng)=.如果光晶格勢(shì)V(x)的空間變化相對(duì)U(x)快得多,并且其勢(shì)深V0較小不至于使原子凝聚體發(fā)生絕緣態(tài)相變[14],那我們就可以用慢變包絡(luò)近似配合有效質(zhì)量理論來(lái)研究原子凝聚體在空間慢變勢(shì)場(chǎng)U(x)中的運(yùn)動(dòng)[19].原子場(chǎng)算符可以用布洛赫函數(shù)完備模式來(lái)展開(kāi)

圖1 (網(wǎng)刊彩色)裝置示意圖 原子玻色-愛(ài)因斯坦凝聚體除受到一個(gè)雙阱勢(shì)(紅)束縛外,還額外受到一個(gè)細(xì)密的可以調(diào)節(jié)其有效質(zhì)量的光晶格勢(shì)(藍(lán))的影響;雙阱的間距和阱間勢(shì)壘高度分別用D和L表示Fig.1.(color on line)ScheMatic diagraMof setup:The atoMic Bose-Einstein condensate is located in a doub le-well trap(red)With an ex tra fine-grained op tical lattice(b lue)to ad just its eff ectiveMass.The well interval and the barrier height of the doub le-well trap are labelled by D and L,respectively.

式中εn(k)是布洛赫能量,n,k分別標(biāo)示能帶和布洛赫波矢,φn,k(x)滿(mǎn)足正交條件

假設(shè)凝聚體質(zhì)心與光晶格勢(shì)之間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)波矢為k0,則通過(guò)布洛赫波函數(shù)的慢變包絡(luò)近似φn,k≈ e i(k?k0)xφn,k0,我們就可以將原子場(chǎng)算符(3)式近似表示為一個(gè)中心波矢為k0的空間慢變包絡(luò)和描述由光晶格引起的快速空間振蕩的布洛赫函數(shù)的乘積[24],

其中包絡(luò)場(chǎng)算符

滿(mǎn)足玻色場(chǎng)算符對(duì)易關(guān)系

簡(jiǎn)便起見(jiàn),在下文中我們僅考慮原子波被激發(fā)到最低能帶(即n=1)的情況,因此可以將下標(biāo)n與k0都省去.將場(chǎng)算符的近似表達(dá)式(6)代入系統(tǒng)哈密頓量(1),通過(guò)一些計(jì)算[見(jiàn)附錄A]我們可以得到凝聚體包絡(luò)場(chǎng)的有效哈密頓量:

其中m?= ?2/ε′′(k0)是原子包絡(luò)場(chǎng)的有效質(zhì)量,ε′(k0)和 ε′′(k0)分別是第一能帶布洛赫能量在波矢k=k0處的一階和二階導(dǎo)數(shù).該哈密頓量意味著調(diào)節(jié)布洛赫能量ε(k)就可以改變?cè)影j(luò)場(chǎng)的有效質(zhì)量,進(jìn)而調(diào)控凝聚體在雙阱勢(shì)U(x)中的動(dòng)力學(xué).對(duì)布洛赫能量的調(diào)節(jié)可以通過(guò)改變光晶格勢(shì)深來(lái)實(shí)現(xiàn),而k0值的調(diào)節(jié)則可以通過(guò)控制光晶格相對(duì)凝聚體質(zhì)心的移動(dòng)速度來(lái)實(shí)現(xiàn)[24].如圖2所示,當(dāng)k0=0或kL時(shí),即在第一布里淵區(qū)的中心或邊界上,哈密頓量(9)中布洛赫能量的一階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)?iε′(k0)?為零,改變光晶格勢(shì)的深度V0就可以顯著調(diào)節(jié)有效質(zhì)量的大小.這種調(diào)節(jié)甚至可以使有效質(zhì)量為負(fù),從而導(dǎo)致與正常情況完全相反的動(dòng)力學(xué)行為.為了方便研究有效質(zhì)量對(duì)雙阱系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的影響,我們引入?yún)⒘喀?m?/M0來(lái)代表有效質(zhì)量與真實(shí)質(zhì)量的比值.

圖2 (網(wǎng)刊彩色)(a)原子在光晶格勢(shì)中的第一布洛赫能帶圖,布洛赫波矢k0和能量ε(k0)分別以形成光晶格勢(shì)的駐波光場(chǎng)的波矢kL和原子反沖能量EL=2k2L/2M0為單位;(b)反有效質(zhì)量比λ?1=M0/m?隨k0的變化.黑色圓圈線(xiàn),藍(lán)色虛線(xiàn)和紅色實(shí)線(xiàn)分別對(duì)應(yīng)晶格勢(shì)深度V0=7EL,4EL,1EL的情況Fig.2.(color on line)(a)The fi rst-band B loch energy for the atoMs trapped in the op tical lattice With the B loch wave vector k0;(b)the inverted eff ective Mass ratio,λ?1=M0/m?,as a function of k0,the b lack circle,the b lue dashed curves and the red solid curves are for the cases of lattice dep th V0=7EL,4EL,1EL,respectively.the B loch wave vector and the energy are norMalized by the wave vector of the op tical lattice kLand the atoMic recoil energy EL=?2k2L/2M0,respectively.

3 雙阱動(dòng)力學(xué)調(diào)控

以下我們展示有效質(zhì)量對(duì)凝聚體在雙阱勢(shì)中動(dòng)力學(xué)行為的調(diào)控.對(duì)于一維雙勢(shì)阱U(x),當(dāng)勢(shì)阱較深時(shí)我們可以采用雙模近似,構(gòu)建左右阱的局域波函數(shù)來(lái)近似描繪凝聚體的運(yùn)動(dòng)[10].包絡(luò)場(chǎng)算符可表示成兩個(gè)局域模的疊加形式:

式中?代表原子在雙阱之間的遂穿率,而κ代表同一阱中原子的碰撞率.為了便于比較,我們引入未經(jīng)有效質(zhì)量調(diào)控時(shí)(即λ=1時(shí))的雙阱隧穿率?0=exp(?d/2b)以及相互作用率κ0=作為參考值,g′代表一維有效原子相互作用強(qiáng)度,則有關(guān)系

其中正負(fù)號(hào)取決于有效質(zhì)量比λ的符號(hào),即有效質(zhì)量的正負(fù).方程(12)和(13)說(shuō)明可以通過(guò)調(diào)控有效質(zhì)量來(lái)改變隧穿率和碰撞率.我們先考慮有效質(zhì)量為正的一般情況,為負(fù)的情況將在本文末尾討論.

為了對(duì)凝聚體的動(dòng)力學(xué)演化做數(shù)值模擬,我們根據(jù)一些典型的實(shí)驗(yàn)參數(shù)來(lái)估計(jì)隧穿率和碰撞率的取值.以磁光阱束縛的堿金屬原子凝聚體為例,實(shí)驗(yàn)中雙阱間距D的尺度可在1—100μm之間調(diào)節(jié),而光晶格勢(shì)的每個(gè)格點(diǎn)尺度則在約0.1μm量級(jí),完全可以滿(mǎn)足之前我們對(duì)晶格勢(shì)空間變化率遠(yuǎn)大于雙阱勢(shì)的假設(shè).按照文獻(xiàn)[26]中的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù),雙阱寬度D=13μm,勢(shì)壘深度L=h×4.7 kHz(h為普朗克常數(shù)),對(duì)應(yīng)d=h×2.2×1014Hz/m2和b=h×2.6×1025Hz/m4.以87Rb原子為例,單原子質(zhì)量M0=87×1.7×10?27kg,原子s波散射長(zhǎng)度a=5.7 nm[27],由此可估算出原始遂穿率?0=2π×28.2 kHz,碰撞率κ0=2π×0.5 Hz.如圖3所示,在固定雙阱勢(shì)參量的情況下,凝聚體隧穿率?和碰撞率κ隨有效質(zhì)量的改變展示出相反的變化趨勢(shì).以無(wú)光晶格調(diào)控有效質(zhì)量時(shí)的值為參考,碰撞率隨有效質(zhì)量的增大而增大,而隧穿強(qiáng)度則變小.這也符合量子特征隨質(zhì)量增加而減弱這一通常的規(guī)律.

圖3 原子遂穿率? (實(shí)線(xiàn))和相互作用率κ(虛線(xiàn))隨著有效質(zhì)量比λ的變化,計(jì)算所使用的雙阱勢(shì)和原子參數(shù)詳見(jiàn)正文Fig.3.The atoMic tunneling rate?(solid line)and the interaction rateκ(dashed line)as functions of the eff ective Mass ratioλ.See the Main tex t for the detailed paraMeters used in the calculation.

在總原子數(shù)較大且碰撞相互作用較弱的情況下,我們可以安全地忽略所有的量子漲落和量子關(guān)聯(lián)效應(yīng),用平均場(chǎng)近似理論來(lái)描述雙阱系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)[28].將原子產(chǎn)生湮滅算符用它們的平均值代替,L(R)≈L(R)〉=e i?L(R)(t),式中N L(R)和?L(R)分別代表左(右)阱中原子的平均布居數(shù)和相位,再代入(11)式中就可以獲得描述雙阱系統(tǒng)的經(jīng)典哈密頓量.如果進(jìn)一步定義兩個(gè)新的自由度,雙阱之間的相位差?=?L??R和歸一化的原子布居差ρ=(NL?NR)/N取值范圍分別為[?π,π]和[?1,1],則經(jīng)典哈密頓量簡(jiǎn)化為

其中,EJ=EJ0exp(?(? 1)d/2b)和Es=Es0λ1/4分別代表受有效質(zhì)量調(diào)控的隧穿和相互作用能量,而EJ0= ??0N/4和Es0= ?κ0N2/2則分別對(duì)應(yīng)未受調(diào)控時(shí)的值.原子凝聚體的良好相干性使我們可以在短時(shí)間(約1 s量級(jí))內(nèi)安全地忽略各種損耗效應(yīng),通過(guò)哈密頓正則方程來(lái)描述體系的動(dòng)力學(xué),

該方程組說(shuō)明雙阱動(dòng)力學(xué)演化對(duì)應(yīng)一個(gè)擺角為?、擺幅為ρ、并且擺長(zhǎng)非線(xiàn)性變化的經(jīng)典單擺.很容易發(fā)現(xiàn)它有兩個(gè)不依賴(lài)于隧穿能量EJ和相互作用能Es的穩(wěn)態(tài)解,{ρ =0,? =0}和{ρ=0,? = π},對(duì)應(yīng)左右阱原子數(shù)和相位完全相同或原子數(shù)相同而相位完全相反.除了這兩個(gè)平庸穩(wěn)態(tài)之外,當(dāng)相互作用能較大時(shí),即|Es|＞EJ,它還有兩組原子數(shù)非對(duì)稱(chēng)的穩(wěn)態(tài)解,{ρ2=1?E2J/E2s,? =0,π},其中?=0對(duì)應(yīng)Es＜0的情況而?=π對(duì)應(yīng)Es＞0.而系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特征則取決于相互作用能量與隧穿能量的比值Es/EJ以及系統(tǒng)的初始條件ρ(0)和?(0)的選取,可分為簡(jiǎn)諧振蕩、非諧振蕩、自束縛等一些類(lèi)型[28].通常的雙阱動(dòng)力學(xué)操控是通過(guò)調(diào)節(jié)外場(chǎng)以改變雙阱勢(shì)U(x)的形狀[29],或者通過(guò)費(fèi)許巴赫共振法調(diào)節(jié)原子間的散射長(zhǎng)度以改變相互作用強(qiáng)度來(lái)實(shí)現(xiàn)[30],最終都落實(shí)到改變Es0/EJ0的比值上.而現(xiàn)在我們可以通過(guò)光晶格勢(shì)來(lái)操縱凝聚體的有效質(zhì)量,即改變?chǔ)?同樣也可以實(shí)現(xiàn)對(duì)Es/EJ的值以及對(duì)應(yīng)的雙阱動(dòng)力學(xué)的操控.

圖4 (網(wǎng)刊彩色)有效質(zhì)量比為(a)λ=1,(b)λ=0.1,(c)λ=1.28,(d)λ=10情況下左右阱中原子凝聚體的歸一化粒子數(shù)差ρ(藍(lán)色實(shí)線(xiàn))和相位差?(紅色虛線(xiàn))隨時(shí)間的演化,時(shí)間單位為?/EJ0 (e),(f),(g),(h)是與(a),(b),(c),(d)對(duì)應(yīng)的在{ρ,?}相空間中的能量等高圖,如標(biāo)尺所示顏色越深能量越低,能量值以EJ0為單位;所有情況下原子凝聚體的初始條件相同(ρ(0)=0.55,?(0)=0,對(duì)應(yīng)能量圖中的白點(diǎn))雙阱勢(shì)U(x)也相同,其余參量與圖3一致Fig.4.(color on line)Left coluMn:The tiMe evolu tion of the popu lation diff erenceρ(b lue solid lines)and the phase diff erence ?(red dashed lines)of the atoMic condensate in the doub le-well trap With diff erent eff ective Mass ratios(a)λ=1,(b)λ=0.1,(c)λ=1.28,(d)λ=10.The initial cond itions for all the cases areρ(0)=0.55 and?(0)=0 and the paraMeters of the trap potential are the saMe as Fig.3.Right coluMn:The energy contou r p lots of the systeMin space of{ρ,?}With lower energy labeled in deeper color.(e),(f),(g),and(h)correspond to the HaMiltonian of(a),(b),(c),and(d),respectively.The comMon initial cond itions are Marked by the White points.The tiMe and the energy are norMalized by h/EJ0and EJ0,respectively.

在圖4中我們通過(guò)模擬動(dòng)力學(xué)方程(15)在同一初始條件但不同λ值下的演化,來(lái)展示有效質(zhì)量法對(duì)雙阱中凝聚體動(dòng)力學(xué)的調(diào)控.此外我們還通過(guò)分析有效質(zhì)量比λ對(duì)哈密頓量(14)的影響來(lái)分析動(dòng)力學(xué)發(fā)生顯著改變的原因.圖4的左列與右列分別展示了系統(tǒng)在同一初始條件但不同有效質(zhì)量情況下,左右阱粒子數(shù)差ρ與相位差?隨時(shí)間的演化和哈密頓量即系統(tǒng)總能量在{ρ,?}參量空間的等高圖.由于忽略了所有的損耗效應(yīng),系統(tǒng)在演化過(guò)程中總能量守恒,所以其瞬時(shí)狀態(tài)點(diǎn){ρ(t),?(t)}始終位于初態(tài)(ρ=0.55,?=0)對(duì)應(yīng)能量值所在的等高線(xiàn)上.然而當(dāng)有效質(zhì)量改變引起隧穿率和碰撞率變換時(shí),能量等高線(xiàn)結(jié)構(gòu)本身會(huì)發(fā)生對(duì)應(yīng)的扭曲變形,導(dǎo)致系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)發(fā)生顯著的改變.當(dāng)沒(méi)有用有效質(zhì)量法調(diào)控時(shí),即圖4(a)和圖4(e)中λ=1的情況,凝聚體初態(tài)所在的能量等高線(xiàn)呈一個(gè)兩頭尖的橄欖形,狀態(tài)點(diǎn)沿這一形狀運(yùn)動(dòng)時(shí),ρ展現(xiàn)出三角波形的非諧振蕩,而?則為簡(jiǎn)諧振蕩.當(dāng)有效質(zhì)量比λ=0.1時(shí),即有效質(zhì)量遠(yuǎn)小于真實(shí)質(zhì)量,按照前文的分析隧穿率將會(huì)被放大而碰撞率變小,其能量等高線(xiàn)變?yōu)橐粋€(gè)規(guī)則的橢圓,如圖4(f)所示.狀態(tài)點(diǎn)沿這一橢圓運(yùn)動(dòng)時(shí),ρ與?對(duì)應(yīng)的動(dòng)力學(xué)演化是振幅不同但周期相同的簡(jiǎn)諧振蕩,如圖4(b)所示.而當(dāng)λ=1.28時(shí),有效質(zhì)量大于真實(shí)質(zhì)量,情況則相反,碰撞增強(qiáng)而隧穿減弱,原來(lái)橄欖形的能量等高線(xiàn)在尖端處進(jìn)一步扭曲.此時(shí)?的運(yùn)動(dòng)變?yōu)榻凭匦尾ǖ姆侵C振蕩,而ρ的運(yùn)動(dòng)則在振蕩之間展示出奇異的平坦段,這對(duì)應(yīng)著非線(xiàn)性單擺的臨界減慢效應(yīng)[31].隨著有效質(zhì)量進(jìn)一步變大,非線(xiàn)性效應(yīng)顯著地增強(qiáng).當(dāng)λ=10時(shí),能量等高線(xiàn)趨向平直,?的運(yùn)動(dòng)變成了高度非諧的鋸齒波振蕩,而ρ則不再振蕩意味著左右阱原子數(shù)不同但差值固定,這對(duì)應(yīng)著由高度非線(xiàn)性引起的自束縛效應(yīng)[32].

4 負(fù)質(zhì)量情況

費(fèi)許巴赫共振法不但可以調(diào)節(jié)原子相互作用強(qiáng)度g的大小,還可以改變其正負(fù)使相互作用由排斥變?yōu)槲?從而使得雙阱系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)發(fā)生顯著改變.有效質(zhì)量法雖然不能直接改變?cè)娱g的相互作用性質(zhì),但卻可以利用負(fù)質(zhì)量物體的力學(xué)響應(yīng)與正質(zhì)量物體完全相反這一特性,實(shí)現(xiàn)與改變?cè)酉嗷プ饔眯再|(zhì)等效的操控.

當(dāng)有效質(zhì)量為負(fù)時(shí),勢(shì)能最高處才是凝聚體運(yùn)動(dòng)的基態(tài)所在,因此只要完全翻轉(zhuǎn)雙阱勢(shì),即將哈密頓量(1)中的U(x)變?yōu)?U(x),就仍可以采用雙模近似來(lái)描述凝聚體的動(dòng)力學(xué),所獲得的動(dòng)力學(xué)方程組如下:

與方程組(15)相比只是隧穿能量EJ的值變?yōu)樨?fù)數(shù).而另一方面,當(dāng)原子質(zhì)量為正而相互作用為吸引時(shí),其動(dòng)力學(xué)方程的改變則體現(xiàn)在Es值變負(fù),

比較這兩種情況下的動(dòng)力學(xué)方程組不難發(fā)現(xiàn),只要將負(fù)質(zhì)量動(dòng)力學(xué)方程組中的ρ變?yōu)?ρ而?不變,或者將?變?yōu)??而ρ不變,就可以使兩組方程完全一致.因此,當(dāng)凝聚體的有效質(zhì)量為負(fù)而原子相互作用為正時(shí),只要完全翻轉(zhuǎn)雙阱勢(shì),并在制備系統(tǒng)初態(tài)時(shí)注意將原子數(shù)差ρ的定義中的左右順序反過(guò)來(lái)或賦予相位差?一個(gè)額外的π相移,就完全可以模擬質(zhì)量為正而相互作用為負(fù)的原子凝聚體在雙阱勢(shì)中的動(dòng)力學(xué)行為.

5 結(jié) 論

本文提出了通過(guò)光晶格調(diào)節(jié)原子凝聚體有效質(zhì)量,從而控制凝聚體在雙阱勢(shì)中的動(dòng)力學(xué)行為的方案.借助雙模近似與平均場(chǎng)近似,我們導(dǎo)出了雙阱中凝聚體的隧穿率與原子相互作用率對(duì)有效質(zhì)量值的依賴(lài)關(guān)系,并通過(guò)數(shù)值模擬展示了有效質(zhì)量發(fā)生改變時(shí),凝聚體在雙阱中的動(dòng)力學(xué)行為由量子隧穿占主導(dǎo)的簡(jiǎn)諧振蕩到原子碰撞占主導(dǎo)的自束縛的轉(zhuǎn)變.此外,我們還指出通過(guò)使有效質(zhì)量變負(fù)的方法可以模擬吸引型原子相互作用的凝聚體的雙阱動(dòng)力學(xué).與直接調(diào)整形成雙阱勢(shì)的磁光場(chǎng)或用費(fèi)許巴赫共振法調(diào)節(jié)原子相互作用的傳統(tǒng)方案不同,本文的方案不改變?cè)惺`場(chǎng)而是通過(guò)額外施加一個(gè)駐波光場(chǎng)來(lái)實(shí)現(xiàn),對(duì)一些要求固定外場(chǎng)束縛條件的原子凝聚體應(yīng)用研究或是對(duì)磁場(chǎng)調(diào)節(jié)不敏感的原子較有意義.此外盡管我們只分析了外場(chǎng)是雙阱勢(shì)的情況,但只要這些束縛勢(shì)的空間變化率遠(yuǎn)小于用來(lái)調(diào)節(jié)有效質(zhì)量的光晶格勢(shì),該方案對(duì)其他形狀的束縛勢(shì)同樣有效.未來(lái)我們希望將有效質(zhì)量法進(jìn)一步拓展到對(duì)凝聚體原子量子多體動(dòng)力學(xué)與量子關(guān)聯(lián)的操控上.

附錄A 包絡(luò)場(chǎng)哈密頓量(8)的導(dǎo)出

式中,V(x)是光晶格勢(shì),U(x)是雙阱勢(shì)場(chǎng),M0是原子真實(shí)質(zhì)量.對(duì)布洛赫函數(shù)φk(x)進(jìn)行慢變包絡(luò)近似后,原子場(chǎng)算符(x)可近似表示為

k是準(zhǔn)動(dòng)量波矢,而k0代表BEC的質(zhì)心動(dòng)量波矢,k是原子在布洛赫模式上的湮滅算符,滿(mǎn)足玻色對(duì)易關(guān)系.為簡(jiǎn)便起見(jiàn)我們只討論第一布洛赫能帶的情況.包絡(luò)場(chǎng)算符(x)與k間有傅里葉逆變換關(guān)系,

其中有效質(zhì)量m?=

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PACS:03.75.Kk,05.30.Jp,03.75.lm,67.85.JkDOI:10.7498/aps.66.160301

*Pro ject supported by the National Natu ral Science Foundation of China(G rant Nos.11574086,91436211,11234003),the National Key Research and DevelopMent PrograMof China(G rant No.2016YFA 0302001),the Ma jor Research P lan of the National Natural Science Foundation of China(G rant No.11654005),and the Shanghai Rising-Star Program,China(G rant No.16QA 1401600).

?Corresponding author.E-Mail:kyzhang@phy.ecnu.edu.cn

E ff ective-Mass app roach to controlling doub le-Well dynaMics of atoMic Bose-Einstein condensates?

Liu Xiao-Wei Zhang Ke-Ye?
(DepartMent of Physics and Material Science,East China NorMal University,Shanghai 200062,China)

14 Ap ril 2017;revised Manuscrip t

12 May 2017)

The realization of Bose-Einstein condensation in dilute atoMic gases opens an exciting way to quantuMMechanics and begins a neWarea of quantuMsimu lation.As aMacroscopic quantuMob ject and aMany-body bosonic system,the Bose-Einstein condensates can shoWnumerous exotic quantuMeff ects and have naturally attracted great attention.One of the siMp lest quantuMMany-body systeMs to be realized experiMentally and studied theoretically is u ltra-cold atoMs in a doub le-well potential.This systeMcan exhibit a great variety of quantuMinterference phenoMena such as tunneling oscillation,self-trapping and the entanglement of macroscopic superpositions.Specifically,the double-well potentials built by optical or Magnetic fields are easy to change and theMany-body interaction between ultra-cold atoMs can be changed by themethod of Feshbach resonance,enabling the precise quantuMcontrol of the double-well dynaMics of the condensates.

In the present work,we study the dynaMics of a condensate in Atrapping potential consisting of an unalterable double-well trap and an additionalmoving optical lattice.If the lattice space ismuch smaller than the size of the doublewell trap,the systeMcan be siMp lified into a double-well trapped condensate With Atunable eff ectiveMass.Using the Mean-field factorization assuMption,together With Atwo-Mode approxiMation,we obtain the analytic exp ressions for the dependence of the tunneling rate and the self-collision strength on the eff ectivemass.The tunneling rate decays and the collision strength groWs up With the increase of the eff ectiveMass.As a consequence of their diff erent changes,we conclude that the ad justMent of the eff ectiveMass of the ultra-cold atoMs,rather than the changing of the trap barrier or ad justing of the atoMic scattering length,is an alternative approach to controlling the double-well dynaMics of the condensate.V ia nuMerical simulations of the Mean-field dynaMical equations With soMe realistic paraMeters,we shoWthat Atransition between the quantuMcoherent tunneling and the self-trapping behaviors is experimentally realizable With the Mass-control approach.Specifi cally,we shoWthat the app roach is still valid for the case of negative Mass.Moreover,we find that the negative-Mass case can be used even to stimulate the doub le-well dynaMics of the condensate With a negative atoMic scattering length.

Bose-Einstein condensation,doublewell,eff ectivemass

10.7498/aps.66.160301

?國(guó)家自然科學(xué)基金(批準(zhǔn)號(hào):11574086,91436211,11234003)、國(guó)家重點(diǎn)研發(fā)計(jì)劃(批準(zhǔn)號(hào):2016YFA 0302001)、國(guó)家自然科學(xué)基金委應(yīng)急管理項(xiàng)目(批準(zhǔn)號(hào):11654005)和上海市啟明星人才計(jì)劃(批準(zhǔn)號(hào):16QA 1401600)資助的課題.

?通信作者.E-Mail:kyzhang@phy.ecnu.edu.cn

?2017中國(guó)物理學(xué)會(huì)C h inese P hysica l Society

http://Wu lixb.iphy.ac.cn