張宇慧+丁德銳+王建華+董曉光

摘 要：永磁同步電機(jī)（PMSM）是一個(gè)非線性、強(qiáng)耦合系統(tǒng)，如何兼顧PMSM速度控制系統(tǒng)的快速性和穩(wěn)定性一直備受關(guān)注。提出了一種新型的速度控制策略，可稱為串級(jí)PID技術(shù)與滑模切換的混合控制策略，提高了PMSM系統(tǒng)的運(yùn)行品質(zhì)。具體地，利用新型串級(jí)PID技術(shù)取代傳統(tǒng)PI調(diào)節(jié)器，提高系統(tǒng)的響應(yīng)速度。在此基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)了基于Sigmoid函數(shù)的指數(shù)趨近率的滑模控制器，在改善滑模趨近速度的同時(shí)抑制了滑模變結(jié)構(gòu)的抖振問(wèn)題。最后，借助于MATLAB仿真，驗(yàn)證了該控制方案，并與傳統(tǒng)PI速度控制系統(tǒng)、普通滑模速度控制進(jìn)行比較。結(jié)果表明該方案很好地兼顧了PMSM速度控制系統(tǒng)的快速性和穩(wěn)定性。

關(guān)鍵詞：串級(jí)PID；永磁同步電機(jī)；滑模控制系統(tǒng)；指數(shù)趨近率

DOIDOI：10.11907/rjdk.171340

中圖分類號(hào)：TP319

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)文章編號(hào)：1672-7800（2017）008-0086-05

0 引言

近年來(lái)，永磁同步電機(jī)（PMSM），因其結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、體積小、運(yùn)行效率高、功率大、無(wú)機(jī)械傳感器控制系統(tǒng)等優(yōu)點(diǎn)，逐步發(fā)展為市場(chǎng)的主流，廣泛應(yīng)用于城軌車輛、冰箱、空調(diào)、機(jī)器人等。由于PID控制系統(tǒng)具有算法簡(jiǎn)單、調(diào)節(jié)方便和可靠性高的優(yōu)點(diǎn)，在永磁同步電機(jī)的調(diào)速控制系統(tǒng)得到廣泛使用，但是由于PMSM是一個(gè)多變量、強(qiáng)耦合、非線性的復(fù)雜控制系統(tǒng)，使用常規(guī)PID的控制方法并不能滿足高性能的控制要求。

為了提高系統(tǒng)性能，各種各樣的高級(jí)算法被應(yīng)用到PMSM控制系統(tǒng)中，其中包括神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制、模型參考自適應(yīng)控制、模糊控制、滑?？刂芠1-4]。由文獻(xiàn)[5-6]可知，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在電機(jī)應(yīng)用中取得了良好的效果，但是神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練需要大量的樣本，并且對(duì)樣本的選取有較高的要求。而滑模控制系統(tǒng)的研究主要集中于快速性和穩(wěn)定性，如文獻(xiàn)[7]的速度控制系統(tǒng)采用指數(shù)趨近率，在一定程度上提高了PMSM的動(dòng)態(tài)品質(zhì)，但是系統(tǒng)的抖動(dòng)仍然很嚴(yán)重。文獻(xiàn)[8]設(shè)計(jì)了電流環(huán)與速度環(huán)的一體化滑?？刂破?，結(jié)果表明系統(tǒng)的穩(wěn)定性和快速性明顯增強(qiáng)，但由于參數(shù)的設(shè)定需要考慮眾多因素，因此不易實(shí)現(xiàn)。文獻(xiàn)[9]采用高階終端滑?？刂品椒?，提高了系統(tǒng)的魯棒性和快速性，同時(shí)也消除了抖振，但是這種控制方法使系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)變得復(fù)雜。

本文基于文獻(xiàn)[10]提出的切換控制思想，并結(jié)合文獻(xiàn)[11-13]的方法，設(shè)計(jì)了一種基于串級(jí)PID與Sigmoid函數(shù)指數(shù)趨近率的滑模速度控制系統(tǒng)。在系統(tǒng)啟動(dòng)和加速過(guò)程中采用串級(jí)PID控制系統(tǒng)，主要用于提高系統(tǒng)的快速性。當(dāng)系統(tǒng)趨近滑動(dòng)模態(tài)時(shí)切換到滑模運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，這樣可以縮短滑模運(yùn)動(dòng)趨近模態(tài)的時(shí)間。具體地，本文在常規(guī)滑模面中加入了積分項(xiàng)，有利于消除系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差[14]；在指數(shù)趨近率的滑?？刂葡到y(tǒng)中引入Sigmoid函數(shù)，有利于抑制負(fù)載引起的抖振，增強(qiáng)系統(tǒng)抗擾動(dòng)能力。

下文對(duì)于串級(jí)PID技術(shù)與滑?？刂频腜MSM速度控制系統(tǒng)進(jìn)行設(shè)計(jì)，并通過(guò)系統(tǒng)仿真及實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證所設(shè)計(jì)的系統(tǒng)在快速性、穩(wěn)定性、抗斗振等方面的優(yōu)勢(shì)。

1 滑?？刂圃?/p>

滑?？刂剖亲兘Y(jié)構(gòu)控制系統(tǒng)的一種控制策略。這種控制策略與常規(guī)的控制的根本區(qū)別在于控制的不連續(xù)性，即一種系統(tǒng)結(jié)構(gòu)隨時(shí)間變化的開(kāi)關(guān)特性。這種特性可以使系統(tǒng)在一定條件下沿規(guī)定狀態(tài)軌跡作小幅度、高頻率的上下運(yùn)動(dòng)，這就是所謂的“滑動(dòng)模態(tài)”。這種滑動(dòng)模態(tài)是可以設(shè)計(jì)的，并且與系統(tǒng)的參數(shù)和擾動(dòng)無(wú)關(guān)[15]。因此，處于滑動(dòng)模態(tài)的系統(tǒng)具有很好的魯棒性。

滑模變結(jié)構(gòu)控制系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)由兩部分組成（見(jiàn)圖1）：第一部分AB是位于滑模面外的正常運(yùn)動(dòng)，它是趨近滑模面直到達(dá)到趨近運(yùn)動(dòng)階段；第二部分BC是在滑模面附近并沿著滑模面s（x，t）=0的運(yùn)動(dòng)。

按照滑模控制理論的基本原理，正常運(yùn)動(dòng)階段必須滿足滑動(dòng)模態(tài)的可達(dá)性條件ss′<0，才能實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的狀態(tài)空間變量由任意未知的初始狀態(tài)在有限時(shí)間內(nèi)達(dá)到滑模面。因此，可以設(shè)計(jì)各種趨近率函數(shù)來(lái)保證正常運(yùn)動(dòng)階段的品質(zhì)。

2 永磁同步電機(jī)速度控制系統(tǒng)

2.1 基于Sigmoid函數(shù)的指數(shù)趨近率的設(shè)計(jì)技術(shù)

到目前為止，在幾乎所有關(guān)于電機(jī)控制的文獻(xiàn)中，滑?？刂破骶峭ㄟ^(guò)符號(hào)函數(shù)或Sigmoid函數(shù)實(shí)現(xiàn)的。這兩類函數(shù)的采用使得切換操作簡(jiǎn)單并易于實(shí)施。然而，在響應(yīng)速度、抖振與超調(diào)量方面還存在很大改進(jìn)空間。為此，本文采用指數(shù)趨近率滑模變結(jié)構(gòu)控制器，結(jié)合已有研究成果，給出這一新穎的切換規(guī)則。

眾所周知，Sigmoid函數(shù)為：

F（x）=21+e-ax-1，a>0（1）

其中a為正常數(shù)，用于調(diào)節(jié)Sigmoid函數(shù)的斜率。當(dāng)a無(wú)窮大時(shí)，Sigmoid函數(shù)可轉(zhuǎn)化為符號(hào)函數(shù)。Sigmoid函數(shù)具有一定的抗抖振性，但是它的響應(yīng)速度較慢。為了在保證抗抖振性的同時(shí)提高響應(yīng)速度，本文采用如下切換函數(shù)：

=-εF（s）-qs，q>0，s>0（2）

其中s代表滑模面，q和ε是兩個(gè)待設(shè)計(jì)的參數(shù)。式（2）被稱為基于Sigmoid函數(shù)的指數(shù)趨近率。

值得進(jìn)一步指出的是，上述指數(shù)趨近率由兩項(xiàng)組成：其中-qs是指數(shù)趨近項(xiàng)，q展現(xiàn)了指數(shù)級(jí)趨近速度，q越大速度越快，趨于滑模面的耗時(shí)越短；-εF項(xiàng)主要用來(lái)消除抖振[16]。此外，如果增加常數(shù)ε，正常運(yùn)動(dòng)階段收斂速度加快，但滑動(dòng)模態(tài)階段的抖振將加強(qiáng)；如果減少常數(shù)ε，滑動(dòng)模態(tài)階段的抖振減弱[17]，但正常運(yùn)動(dòng)階段收斂速度變慢。明顯地，減少抖振與增強(qiáng)收斂速度存在矛盾，在電機(jī)啟動(dòng)階段或變速階段，這一矛盾特別突出。因此，如何有效地權(quán)衡這兩個(gè)性能指標(biāo)，是一個(gè)非常重要的問(wèn)題，在下文中將提出一種切實(shí)可行的解決方案。

2.2 基于Sigmoid函數(shù)的指數(shù)趨近率滑模速度控制

2.2.1 永磁同步電機(jī)數(shù)學(xué)模型endprint

假設(shè)PMSM的輸入電流為三相對(duì)稱正弦電流，忽略電機(jī)鐵心飽和，不計(jì)鐵心渦流，轉(zhuǎn)子上無(wú)阻尼，轉(zhuǎn)子與定子共同作用的磁場(chǎng)為正弦波，根據(jù)表貼式PMSM的電機(jī)特性[11]，d-q坐標(biāo)下的定子電壓與轉(zhuǎn)矩方程為[18]：

ud=Rsid+Lsdiddt-pnwLqiquq=Rsiq+Lsdiqdt+pnwLdid+pnwψfJdwdt+Bw+TL=TeTe=32pnψfiq（3）

其中：ud、uq分別為定子電壓在d、q軸上的分量，id、iq分別為定子電流在d、q軸上的分量，Rs和Ls為定子的電阻和電感，w為角速度，TL和Te分別為負(fù)載和電磁轉(zhuǎn)矩，J為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，B為摩擦系數(shù)，Pn為轉(zhuǎn)子極對(duì)數(shù)。當(dāng)采用id=0的轉(zhuǎn)子磁場(chǎng)定向控制方法時(shí)，式（3）可以推導(dǎo)出PMSM的狀態(tài)方程為[17]：

diqdt=1Ls（-Riq-pnψfw+uq）dwdt=1J（-TL+3pnψf2iq）（4）

2.2.2 滑模控制器設(shè)計(jì)

定義PMSM系統(tǒng)的狀態(tài)變量：

x1=-wx2=1=-w′（5）

式（5）中為給定轉(zhuǎn)速，w為實(shí)際轉(zhuǎn)速。由式（4）和式（5）得系統(tǒng)狀態(tài)空間方程：

x′1=-w′1=1J（TL-3pnψf2iq）x′2=-w″2=3pnψf2Ji′q（6）

令a=3pnψf2J，u=i′q，則式（3）-式（6）可簡(jiǎn)化為：

x′1x′2=0100x1x2+0-au（7）

定義滑模函數(shù)為：

s=cx1+x2（8）

其中c>0為待定參數(shù)。

常用的趨近率函數(shù)有等速趨近、指數(shù)趨近、冪次趨近等，但是它們都不能同時(shí)具備縮短到達(dá)滑模面的時(shí)間和消除抖動(dòng)。為此，基于Sigmiod函數(shù)并結(jié)合式（2）、式（7）和式（8），本文提出如下指數(shù)趨近率的控制器：

u=（cx2+εF（s）+qs）/D（9）

進(jìn)而根據(jù)積分公式，可得輸出電流iq為：

iq=∫t01Dcx2+εF（s）+qsdτ（10）

從式 （10）可以看出，系統(tǒng)的被控輸出中含有積分項(xiàng)和Sigmoid函數(shù)，積分項(xiàng)可以有效地消除穩(wěn)態(tài)誤差，Sigmoid函數(shù)可以抑制滑模面上的抖振現(xiàn)象，從而有利于提高系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)品質(zhì)。

2.3 串級(jí)PID速度控制系統(tǒng)

在三相永磁交流調(diào)速矢量控制系統(tǒng)中，速度控制器普遍采用傳統(tǒng)的PI調(diào)節(jié)器，其具有算法簡(jiǎn)單、可靠性高及參數(shù)整定方便等特點(diǎn)。然而PMSM是一個(gè)非線性、強(qiáng)耦合的多變量控制系統(tǒng)，當(dāng)控制系統(tǒng)受到外界擾動(dòng)的影響或者電機(jī)內(nèi)部參數(shù)發(fā)生變化時(shí)，傳統(tǒng)PI控制算法并不能滿足實(shí)際要求。

此外，單級(jí)PID控制不能滿足其控制精度。因此，本文提出串級(jí)PID控制方案，如圖2所示。

在圖2中，內(nèi)環(huán)的PD控制為加速度控制回路，外環(huán)PI控制為速度控制回路。值得一提的是，在PD控制環(huán)，有別于現(xiàn)有的控制方案，在PSMS系統(tǒng)中引入角加速度的反饋信號(hào)，調(diào)節(jié)外環(huán)回路的輸出大小，進(jìn)一步改進(jìn)系統(tǒng)的控制品質(zhì)。由于采用速度回路和加速度回路的雙閉環(huán)系統(tǒng)，串級(jí)PID控制系統(tǒng)提高了速度控制系統(tǒng)的啟動(dòng)和加速過(guò)程的快速性。然而由于PID控制的固有缺點(diǎn)，不可能同時(shí)提高快速性和降低超調(diào)量。

2.4 串級(jí)PID控制器與滑模速度控制器之間切換

上文詳細(xì)敘述了本文的兩大主要?jiǎng)?chuàng)新模塊。接下來(lái)，筆者將依據(jù)電機(jī)速度的變化，構(gòu)造串級(jí)PID控制器與滑模速度控制器的切換方案。這將使其同時(shí)擁有串級(jí)PID技術(shù)與具有指數(shù)趨近率的滑?？刂频膬?yōu)點(diǎn)，即在消除抖振的同時(shí)提高趨于滑模面的轉(zhuǎn)速。具體地，在電機(jī)啟動(dòng)、加速和受到較大擾動(dòng)時(shí)采用串級(jí)PID，當(dāng)轉(zhuǎn)速達(dá)到設(shè)定值的95%后采用滑模控制技術(shù)。

圖3為串級(jí)PID與滑模控制器切換框圖，其中wr為電機(jī)的速度設(shè)定值，w為電機(jī)的實(shí)際速度。w經(jīng)控制器來(lái)控制切換開(kāi)關(guān)，當(dāng)|wr-w|小于速度設(shè)定值wr的95%時(shí)，PMSM速度控制系統(tǒng)采用串級(jí)PID控制；當(dāng)|wr-w|大于速度設(shè)定值wr的95%時(shí)，PMSM速度控制系統(tǒng)采用滑?？刂?。

3 PMSM系統(tǒng)仿真與實(shí)驗(yàn)

3.1 串級(jí)PID及仿真結(jié)果分析

為了驗(yàn)證串級(jí)PID的效果，在給定轉(zhuǎn)速為1 000r/min時(shí)，分別進(jìn)行串級(jí)PID和傳統(tǒng)PID的PMSM速度控制系統(tǒng)仿真。圖4和圖5分別給出了串級(jí)PID系統(tǒng)模型及其仿真結(jié)果。

在圖5中，圖5（a）代表串級(jí)PID控制作用下的PMSM的轉(zhuǎn)速圖，從中不難發(fā)現(xiàn)在運(yùn)行 0.015s后，PMSM的轉(zhuǎn)速基本穩(wěn)定在1 000r/min；圖5（b）代表傳統(tǒng)PID控制作用下的轉(zhuǎn)速圖。從仿真結(jié)果來(lái)看，系統(tǒng)在運(yùn)行0.022s后才能基本穩(wěn)定在1 000s/min。通過(guò)對(duì)比，不難發(fā)現(xiàn)串級(jí)PID控制系統(tǒng)不僅具有較小的超調(diào)量，還擁有較快的響應(yīng)速度。

3.2 基于Sigmoid函數(shù)的指數(shù)趨近率的滑模速度控制模型搭建

3.2.1 基于Sigmoid函數(shù)的指數(shù)趨近率模型搭建

由式（1）、式（10）分別可搭建基于Sigmoid函數(shù)仿真模型、指數(shù)趨近率仿真模型，如圖6、圖7所示。

3.2.2 切換模型搭建

為了協(xié)調(diào)PMSM速度控制系統(tǒng)的快速性和穩(wěn)定性，本文提出如圖8所示的基于指數(shù)趨近率的滑模速度控制器與串級(jí)PID控制器的切換控制策略。當(dāng)速度設(shè)定值與反饋值誤差的絕對(duì)值大于切換閾值時(shí)，switch1輸出第1路信號(hào)，此時(shí)串級(jí)PID起作用；當(dāng)誤差絕對(duì)值小于切換閾值時(shí)，Switch1輸出為第2路信號(hào)，此時(shí)指數(shù)趨近率的滑模速度控制器起作用。

3.3 串級(jí)PID控制器與滑模速度控制器的切換控制策略及仿真結(jié)果分析

3.3.1 仿真系統(tǒng)平臺(tái)搭建endprint

根據(jù)上一章節(jié)介紹的相關(guān)理論，筆者在Simulink中搭建PMSM的調(diào)速模型（見(jiàn)圖9），主要包括串級(jí)PID控制算法、基于Sigmoid函數(shù)指數(shù)趨近率的滑模速度控制算法、開(kāi)關(guān)切換模塊、CLARKE變換及其逆變換、PARK變換及其逆變換、SVPWM 計(jì)算、逆變器、電機(jī)本體及檢測(cè)等部分，采用 Sim Power Systems 庫(kù)中的永磁同步電機(jī)模型作為被控制對(duì)象，控制系統(tǒng)整體仿真模型如圖4所示。PMSM主要仿真參數(shù)為：極對(duì)數(shù)pn=4，定子電感Ls=8.5mH，定子電阻Rs=2.875Ω，磁鏈ψf=0.175Wb，轉(zhuǎn)動(dòng)慣J=0.003kg·m2，PWM開(kāi)關(guān)頻率設(shè)置為fpwm=10kHz，采用變步長(zhǎng)Ode32tb算法，相對(duì)誤差設(shè)置為0.0001，仿真時(shí)間設(shè)置成0.2s。

3.3.2 仿真結(jié)果與分析

根據(jù)如圖9所示的仿真系統(tǒng)，檢驗(yàn)所提出的控制策略在快速性以及抗擾動(dòng)性方面的改進(jìn)。在仿真中，負(fù)載給定值都在0.1s時(shí)由1N·m突變?yōu)?5N·m，速度設(shè)定值均為1 000r/min，仿真時(shí)間為 0.2s。圖10給出了傳統(tǒng)符號(hào)函數(shù)的滑模速度控制系統(tǒng)速度響應(yīng)曲線。對(duì)應(yīng)地，本文的結(jié)果展現(xiàn)在圖11中。通過(guò)對(duì)比不難發(fā)現(xiàn)：①當(dāng)速度上升到950r/min后，速度控制系統(tǒng)由串級(jí)PID切換到Sigmoid函數(shù)指數(shù)趨近率的滑模速度控制系統(tǒng)；②當(dāng)0.1s系統(tǒng)受到擾動(dòng)過(guò)大時(shí)速度控制系統(tǒng)由串級(jí)PID與Sigmoid函數(shù)指

數(shù)趨近率的滑模速度控制系統(tǒng)之間進(jìn)行相互切換。整個(gè)切換過(guò)程沒(méi)有明顯的抖動(dòng)，系統(tǒng)響應(yīng)良好。

更細(xì)致地對(duì)比可以看出：①在0.1s時(shí)當(dāng)負(fù)載發(fā)生突變時(shí)本文新型速度控制系統(tǒng)很快趨近滑模面，遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于符號(hào)函數(shù)的滑模速度控制系統(tǒng)；②經(jīng)過(guò)串級(jí)PID切換的改進(jìn)滑?？刂破髟?.01s時(shí)趨近滑模面，不經(jīng)過(guò)串級(jí)PID切換的普通滑?？刂破髟?.03s時(shí)趨近滑模面，由此可得經(jīng)過(guò)串級(jí)PID切換的滑模控制遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于不經(jīng)過(guò)串級(jí)PID切換的滑?？刂?。因此，基于串級(jí)PID與Sigmoid函數(shù)的指數(shù)趨近率滑?？刂破餍阅茏顑?yōu)。

為了進(jìn)一步驗(yàn)證Sigmoid函數(shù)在指數(shù)趨近率的滑模控制系統(tǒng)中具有消除抖振的作用，本文分別給出了Sigmoid與符號(hào)函數(shù)的指數(shù)趨近率的速度波形圖，它們分別對(duì)應(yīng)圖12（a）和圖12（b）。圖12為轉(zhuǎn)速的設(shè)定值與轉(zhuǎn)速的實(shí)際值相減得到，對(duì)比可知經(jīng)過(guò)Sigmoid函數(shù)的PMSM的輸出速度抖振現(xiàn)象可以被消除。

4 結(jié)論

本文設(shè)計(jì)的PMSM速度控制系統(tǒng)適于在實(shí)際生活中應(yīng)用。該系統(tǒng)基于串級(jí)PID技術(shù)與指數(shù)趨近率的滑?？刂萍夹g(shù)，繼承了串級(jí)PID技術(shù)的快速響應(yīng)、滑?？刂萍夹g(shù)的抗干擾能力、指數(shù)趨近率的滑模速度控制對(duì)干擾的快速響應(yīng)[19]，以及Sigmoid函數(shù)在滑模中使用的抗抖動(dòng)性，從而提高了PMSM速度控制系統(tǒng)的快速性和穩(wěn)定性。仿真結(jié)果表明串級(jí)PID與基于Sigmoid函數(shù)指數(shù)趨近率的滑模速度控制有效提高了PMSM轉(zhuǎn)速系統(tǒng)性能，為提高PMSM調(diào)速系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)品質(zhì)提供了一種有效的方法。

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