喬少華， 李潤鑫， 劉 輝， 尚振宏

(昆明理工大學 信息工程與自動化學院，云南 昆明 650500)

基于統(tǒng)計量的加權(quán)函數(shù)圖像重建方法*

喬少華， 李潤鑫， 劉 輝， 尚振宏

(昆明理工大學 信息工程與自動化學院，云南 昆明 650500)

針對圖像重建的問題，提出了一種基于統(tǒng)計量的加權(quán)函數(shù)圖像重建方法?？紤]到退化圖像不僅含有高斯噪聲，且含有拉普拉斯噪聲，利用最大似然估計的思想估計高斯噪聲和拉普拉斯噪聲的方差構(gòu)造基于統(tǒng)計量的高斯和拉普拉斯權(quán)重函數(shù)；由于在圖像重建過程中，噪聲分布發(fā)生變化，整合L1，L2范數(shù)，設(shè)計了一種自適應(yīng)加權(quán)函數(shù)；結(jié)合雙邊全變差(BTV)正則化算法，設(shè)計了一種自適應(yīng)加權(quán)函數(shù)圖像恢復方法。實驗結(jié)果表明：相比基于L1-L2混合誤差模型(HEM)，方法的峰值信噪比(PSNR)和結(jié)構(gòu)相似度(SSIM)分別平均提高了約2.07 dB，0.02, 對含有多種噪聲的退化圖像能夠取得比較理想的結(jié)果。

統(tǒng)計量； 自適應(yīng)； 加權(quán)函數(shù)； 方差； 雙邊全變差

0 引 言

圖像重建是指利用信號處理和圖像處理的方法，通過軟件計算的方式將退化的低分辨率(LR)圖像轉(zhuǎn)化成高分辨率(HR)圖像的技術(shù)[1～7]。圖像重建主要方法有：凸集投影(projection onto convex sets,POCS)方法[8]、迭代反投影(iterative back projection,IBP)方法[9]、最大后驗概率(maximum a posteriori,MAP)估計方法[10]和最大似然(maximum likelihood,ML)估計[10]。其中，最大似然估計是基于最大后驗概率估計的一種方法，基于概率的算法框架。這類方法較為靈活，特別是它的正則項，可以自由加入對具體問題的具體約束。在提出最大后驗概率方法之后，對于如何設(shè)計一個有效的正則項成為圖像處理領(lǐng)域的研究熱點和難點[1]。比較常用的正則化方法有Tikhonov[11]正則項、全變差(total variation,TV)[12]正則項、雙邊全變差(bilateral total variation,BTV)[13]正則項、Student-t正則化[14]?；贐TV正則化算法能夠得到比較理想的稀疏解，同時具有良好的邊緣信息保持和平滑效果，本文采用BTV作為正則項。

實際上,許多退化的圖像不僅含有高斯噪聲，而且含有拉普拉斯噪聲，無論選擇L1范數(shù)模型，還是選擇L2范數(shù)模型，都不能得到比較理想的重建結(jié)果。針對這一問題，SongH H等人[3]提出了一種基于L1-L2混合誤差模型(hybird error model,HEM)的超分辨率圖像重建算法，由于噪聲分布比列發(fā)生變化，該模型采用的權(quán)重函數(shù)不能完整地詮釋噪聲分布關(guān)系，不是最優(yōu)權(quán)重函數(shù)，為此，本文設(shè)計了一種基于統(tǒng)計量的自適應(yīng)加權(quán)函數(shù)。

在圖像重建的迭代過程中，噪聲分布會發(fā)生變化，本文設(shè)計的自適應(yīng)加權(quán)函數(shù)圖像重建方法，利用最大似然估計的思想，通過估計高斯和拉普拉斯噪聲方差，構(gòu)造基于統(tǒng)計量的權(quán)重函數(shù)，根據(jù)噪聲分布比例賦予L1，L2范數(shù)相應(yīng)的權(quán)重，起到自動加權(quán)，并結(jié)合雙邊全變差正則化算法。實驗結(jié)果表明：本文方法可以有效地去除圖像噪聲，并且在圖像平滑區(qū)域、邊緣保持等細節(jié)方面具有更好的重建效果。

1 方 法

1.1 圖像退化

圖像退化是指圖像在獲取、傳輸和存儲的過程中，因各種不確定因素影響導致圖像質(zhì)量的下降。通常，圖像退化數(shù)學模型可以用一個線性過程來表達，其定義式為

zk=DkHkFkX+Nk,k=1,…,K

(1)

式中X為原始高分辨率圖像;z為退化圖像;Dk為第k模糊算子；Hk為第k幅圖像的下采樣算子;Fk為第k幅圖像的幾何運動算子;Nk為加性噪聲。

目前，圖像重建均以退化模型式為理論依據(jù)，通過已知的LR圖像z，對式(1)反向求解，得到HR圖像X，與此同時，該求解過程往往忽略一些問題：由于LR圖像數(shù)量不足以及病態(tài)的模糊因子D，往往導致解的不唯一性。為了解決這一系列問題，通常采用正則化方法對其解空間加以限制。加入正則項的代價函數(shù)如下

(2)

式中 l通常取1或2; λ為正則參數(shù);Xr為正則項。對式(2)進行最優(yōu)化求解就可以完成圖像的重建。對于Xr，本文選擇BTV作為圖像重建正則項。

1.2 BTV正則化算法

同時利用空間距離與灰度差值對圖像進行重建，圖像噪聲抑制效果比較明顯，還能很好地保持邊緣信息。其正則項表達式為

(3)

1.3 加權(quán)函數(shù)圖像重建方法

為了同時兼顧L1，L2范數(shù)特點，文獻[3]提出了自適應(yīng)范數(shù)HEM，其目標函數(shù)如下

(4)

通過觀察HEM算法的權(quán)重函數(shù)，其分布圖如圖1所示，可知，該權(quán)重函數(shù)使得兩種噪聲比例在0～1之間,未完全覆蓋，例如,拉普拉斯噪聲權(quán)重無法取到0.2，即當拉普拉斯噪聲權(quán)重小于0.3時，對應(yīng)的權(quán)重函數(shù)只能取到0.3。

圖1 HEM權(quán)重函數(shù)H(γ)曲線

為了克服這一缺陷，本文考慮利用最大似然估計，構(gòu)造基于統(tǒng)計量的拉普拉斯權(quán)重函數(shù)，其定義為

(5)

(6)

同理，高斯權(quán)重函數(shù)為1-S(v)。

如圖2所示，當v=0.5時，高斯噪聲和拉普拉斯噪聲分布趨于相等；當v≥0.5時，混合噪聲偏向于拉普拉斯分布，加權(quán)函數(shù)自主選擇L1范數(shù)；當v≤0.5時，混合噪聲偏向于高斯分布加權(quán)函數(shù)自主選擇L2范數(shù)。相比HEM算法的權(quán)重函數(shù)，本文方法權(quán)重函數(shù)的2種噪聲分布所占比例全覆蓋，即S(v)∈[0,1]，1-S(v)∈[0,1]，而文獻[3]的2種噪聲分布所占比例分布非全覆蓋，即H(γ)∈(0,0.681 4)，1-H(γ)∈(0.318 6,1) 。

圖2 本文方法權(quán)重函數(shù)曲線S(v)

理論上,圖像噪聲可以理解為不可預測，隨機發(fā)生，是一個多維隨機過程，因此，可以利用概率密度分布函數(shù)描述，則高斯和拉普拉斯的概率密度分布函數(shù)定義如下

(7)

(8)

式中r為N維噪聲向量;σG，mG，σL和mL分別為高斯和拉普拉斯對應(yīng)的方差和均值。

計算拉普拉斯概率密度分布函數(shù)的最大似然估計(MAP)，對式(8)兩邊取對數(shù)

(9)

對式(9)分別求mL和σL的偏導數(shù)

(10)

(11)

由式(10)、式(11)計算拉普拉斯的均值和方差

(12)

(13)

同理，可得高斯均值和方差

(14)

(15)

則本文自適應(yīng)加權(quán)函數(shù)為

(16)

綜合式(3)、式(16)，最終的圖像重建目標函數(shù)為

(17)

針對式(17)使用標度共軛梯度(scaled conjugate gradient，SCG)優(yōu)化，在計算過程中，通常要考慮迭代的次數(shù)以及連續(xù)2次迭代相減的絕對值是否滿足給定的閾值。在迭代的過程中，噪聲分布比S(v)會發(fā)生變化，求取連續(xù)2次v相減的絕對值，如果絕對值小于給定的閾值，則終止迭代，否則繼續(xù)迭代，直到達到所設(shè)定的迭代次數(shù)為止。通過Matlab平臺計算，本文方法在迭代次數(shù)將近50時趨于穩(wěn)定，終止迭代，如圖3所示。

圖3 迭代過程

2 實驗與分析

圖4 Lena退化圖像

利用峰值信噪比(peak signal to noise ratio,PSNR)和結(jié)構(gòu)相似度(structural similarity,SSIM)作為圖像重建質(zhì)量評估標準如下

(18)

(19)

第一組實驗，在退化的Lena圖像中添加密度為0.08的拉普拉斯噪聲，選擇比較常見的椒鹽噪聲。如圖5所示，其中，基于L2BTV算法對拉普拉斯噪聲抑制效果不理想，而基于L1BTV的抑制效果相比于L2范數(shù)更好，圖5(c)較圖5(b)的去噪效果好，但是相比于圖5(d)，圖5(c)有塊狀效應(yīng)，圖5(d)的去噪效果明顯好于圖5(c)，比較圖5(d)和圖5(e)，發(fā)現(xiàn)，后者的去噪效果明顯好于前者，通過表1發(fā)現(xiàn)，相比于HEM，本文方法PSNR提高了1.85dB，SSIM提高了0.02。

第二組實驗，在退化的Foreman圖像中添加方差為0.1的高斯噪聲，如圖6所示，對比基于L2范數(shù)和L1范數(shù)對高斯噪聲和拉普拉斯噪聲的去噪能力，發(fā)現(xiàn)圖6(b)去噪效果明顯較圖6(c)好，而相比于圖6(d)，圖6(b)有棋盤效應(yīng)。再比較圖6(d)和圖6(e)，通過表1發(fā)現(xiàn)，相對比HEM，本文方法PSNR提高了2.28dB，SSIM提高了0.02。

3 結(jié) 論

本文在HEM算法的基礎(chǔ)上，設(shè)計了一種基于統(tǒng)計量的加權(quán)函數(shù)圖像重建方法。考慮到在圖像重建過程中噪聲分布比例發(fā)生變化的問題，基于統(tǒng)計量思想與L1，L2范數(shù)，設(shè)計了一種自適應(yīng)加權(quán)函數(shù),有效地解決了此問題。關(guān)于正則項，本文選取BTV正則化算法，實驗結(jié)果表明：本文方法可以獲得比較理想的重建結(jié)果。同時，存在以下問題：1)關(guān)于正則項算法需要做更深入的研究。2)選取SCG作為目標優(yōu)化函數(shù)，表現(xiàn)出迭代次數(shù)偏多。后期將針對以上問題開展研究。

表1 不同算法的PSNR與SSIM值

圖5 添加椒鹽噪聲不同算法重建效果

圖6 添加高斯噪聲不同算法重建效果

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李潤鑫，通訊作者，E—mail:rxli@kmust.edu.cn。

DOI:10.13873/J.1000—9787(2017)09—0057—04

Study on weighting function image reconstruction method based on statistic*

QIAO Shao-hua, LI Run-xin, LIU Hui, SHANG Zhen-hong

(School of Information Engineering and Automation,Kunming University of Science and Technology,Kunming 650500,China)

Aiming at image reconstruction problem,an image reconstruction method based on weighting function with statistic is proposed.Regarding as degraded images not only have Gaussian noise but also have Laplacian noise ,the idea of the maximum likelihood estimation is adopted to estimate the variance of Gaussian noise and Laplacian noise; Because,in reconstruction process,the distribution of noise change,the weighting function of Gussian and Laplace is constructed based on statistic,which integrates L1and L2norm,and design an adaptive weighting function.Combine with bilateral total variation(BTV) regularization algorithm,an adaptive image restoration method is designed by weighting function.Experimental results show that in comparision with hybrid errors model(HEM) based on L1-L2norm,peak signal to noise ratio(PSNR) and structural similarity(SSIM) are increased by an average of about 2.07 dB,0.02,for degraded image with different noise，can achieve more satisfied result.

statistic; adaptive; weighting function; variance; bilateral total variation

10.13873/J.1000—9787(2017)09—0053—04

2016—09—08

國家自然科學基金資助項目(61462052);云南省人才培養(yǎng)基金資助項目(KKSY201403049)

TP 391

A

1000—9787(2017)09—0053—04

喬少華(1986-)，男，碩士研究生，主要研究方向為圖像處理與模式識別。