高婷婷， 張明會(huì)

(隴南師范高等?？茖W(xué)校初等教育學(xué)院， 甘肅成縣 742500)

保險(xiǎn)產(chǎn)品設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型

高婷婷， 張明會(huì)

(隴南師范高等專科學(xué)校初等教育學(xué)院， 甘肅成縣 742500)

在已知投保人恰好k歲死亡的概率為pk的前提下，以保險(xiǎn)金本息和余額為隨機(jī)變量X，建立了保險(xiǎn)公司收益的數(shù)學(xué)期望Em(X)=∑k∈Λxkpk的概率模型．并給出了在投保人都是恰好滿m歲死亡時(shí)，保險(xiǎn)公司收益的數(shù)學(xué)期望的表達(dá)式，討論了保險(xiǎn)公司不盈不虧(即保險(xiǎn)公司收益的數(shù)學(xué)期望Em(X)=0時(shí))的概率p(Em(X)=0)．通過考慮年齡別死亡率等一些有用的數(shù)據(jù)，討論了確定合適的a，b，d和n值的一些思路和方法．

概率模型；概率分布列；數(shù)學(xué)期望；均勻分布

1 問題的提出和復(fù)述

某保險(xiǎn)公司擬設(shè)計(jì)一款新產(chǎn)品， 其思路是：投保人從一出生開始， 每月交納固定費(fèi)用a元， 交滿n年(n是正整數(shù))后停止交費(fèi)， 并從下一個(gè)月開始按月領(lǐng)取固定額度的工資b元， 直到投保人死亡.

為簡(jiǎn)單起見， 我們不需要考慮其他例外情況. 假設(shè)銀行的月利率為c， 且一直不變. 保險(xiǎn)公司只將投保人的交費(fèi)及時(shí)存入銀行， 不進(jìn)行其他投資.

由于人的死亡具有一定的隨機(jī)性， 若已知投保人恰好k歲死亡的概率為pk， 試建立合理的數(shù)學(xué)模型， 并解答如下的問題.

問題4： 從直覺上知道，a,n越小，b,d越大， 投保者越多. 但也可能使公司的風(fēng)險(xiǎn)增大. 根據(jù)以上模型， 探討如何確定合適的a,b,d,n(可以引入以上沒有提及的影響因素).

2 模型的假設(shè)與變量說明

為了簡(jiǎn)化模型， 便于討論和計(jì)算， 現(xiàn)對(duì)模型中的變量和符號(hào)進(jìn)行說明， 并做一些合理的假設(shè).

2.1 必要的假設(shè)

1. 當(dāng)投保人交滿n年保險(xiǎn)金后， 并在m年死去， 當(dāng)m>n時(shí)投保人除了按月領(lǐng)取b元固定工資外， 保險(xiǎn)公司不另行其他賠償； 當(dāng)m≤n時(shí)保險(xiǎn)公司全額退還投保人所有交費(fèi)(不付利息)， 并再按所有交費(fèi)的d倍賠付.

2. 月份按自然月計(jì)算， 每年12個(gè)月， 即不分大月和小月， 也不考慮閏年， 人在一年中的死亡率服從均勻分布.

3. 保險(xiǎn)公司每月月初將投保人的保險(xiǎn)金存入銀行.

4. 銀行的存款利息按復(fù)利計(jì)算， 即銀行在每月月底結(jié)息， 并自動(dòng)滾入下一月， 作為下一月的本金.

5. 投保人交滿n年保險(xiǎn)金后， 從第n+1年開始每月月初領(lǐng)取工資b元.

6. 投保人在m年死亡后， 其保險(xiǎn)金本息和的余額作為保險(xiǎn)公司的純收益， 不再考慮利息.

2.2 變量和符號(hào)說明

a 表示投保人每月交納的保險(xiǎn)金(元)；

b 表示投保人每月領(lǐng)取的工資(元)；

n 表示投保人交納保險(xiǎn)金的年限(年)；

m 表示投保人死亡的年限(年)；

c 表示銀行利率；

E(X)表示隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望；

[x]表示數(shù)x的取整函數(shù)；

∑表示求和符號(hào).

3 主要數(shù)據(jù)及公式的引用

第一階段在考慮復(fù)利的情況下， 討論了投保人保險(xiǎn)金本息和的計(jì)算及領(lǐng)取工資后保險(xiǎn)金本息和余額的計(jì)算， 現(xiàn)引述如下.

3.1 投保人n年共交納的保險(xiǎn)金及本息和[1]

由假設(shè)3和4， 投保人在交納保險(xiǎn)金的n年中各個(gè)月份(共12n個(gè)月)中， 所繳納的保險(xiǎn)金及本息和的計(jì)算， 可用表1表示.

為了以后計(jì)算和表示方便， 記

.

3.2 投保人開始領(lǐng)取工資后， 保險(xiǎn)金余額

由假設(shè)4和5， 投保人在交納完n年保險(xiǎn)金后的下一月月初開始領(lǐng)取固定工資b元， 并在第m年(m>n)死去， 共12(m - n)個(gè)月， 則其所交納的保險(xiǎn)金本息和余額的計(jì)算， 可用表2表示.

表2 領(lǐng)取工資后保險(xiǎn)金本息和余額表

為了方便討論， 記

這里A=A12n.

3.3 數(shù)據(jù)的化簡(jiǎn)和計(jì)算

在以上的表示中，

是以a1=a(1+c)為首項(xiàng)， 以q=(1+c)為公比的等比數(shù)列， 由等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式， 對(duì)上式求和就有

a(1+c)j+...+a(1+c)k

同理，

從以上可知，Bj為投保人領(lǐng)取工資到j(luò)個(gè)月時(shí)， 所交納的保險(xiǎn)金的余額在月底的本息和.

4 模型的建立及問題的解答

4.1 問題1的建模及解答

根據(jù)以上對(duì)表1和表2的討論和計(jì)算， 現(xiàn)對(duì)文中提出的問題1， 建立模型并解答.

k/年n+1n+2n+3…n+k…200XB12B24B36…B12(k-n)…B200ppn+1pn+2pn+3pn+k…p200

由于要保證保險(xiǎn)公司不盈不虧， 就是說如果投保人保在第m1年(n

(1+c)12(k-n))-b((1+c)12(k-n)-1)]pk=0

化簡(jiǎn)得

(1)

因此， 若(1)式成立， 則保險(xiǎn)公司不虧不贏的概率與投保人恰好m1歲死亡的概率一致為p(Em1(X)=0)=pm1.

下證(1)式成立

由第一階段的討論知， 領(lǐng)取工資后保險(xiǎn)金本息和余額Bj有如下的性質(zhì)

因此， 必存在一點(diǎn)m1∈[n+1,200]， 使得Em1(X)≥0而Em1+1(X)<0.

(1) 若Em1(X)=0， 則m1就是所求的年限；

(2) 若Em1(X)>0而Em1+1(X)<0， 這說明在m1年保險(xiǎn)公司略有盈余， 而在第m1+1年， 保險(xiǎn)公司略有虧損， 保守認(rèn)為m1就是所求的年限.

這就是說， 使(1)成立的m1是存在的.m1稱為盈虧平衡點(diǎn).

4.2 問題2的建模及解答

圖1 Em(X)與m的關(guān)系圖

k/年123…k…nXx1x2x3…xk…xnpp1p2p3pk…pn

則當(dāng)投保人保m 歲(m ≤ n， m 為整數(shù))死亡時(shí)， 保險(xiǎn)公司收益的數(shù)學(xué)期望為

由于要保證保險(xiǎn)公司不盈不虧， 就是說在第m2(m2

整理得

化簡(jiǎn)得

(2)

因此， 若(2)式成立， 則保險(xiǎn)公司不虧不贏的概率為p(Em2(X)=0)=pm2.(2)式成立的證明與(1)的證明相似， 不再贅述.

因此， 保險(xiǎn)公司不虧不贏的概率與投保人恰好m2歲死亡的概率一致為p(Em2(X)=0)=pm2.

4.3 問題3的解答

1.k≤12n時(shí)， 當(dāng)投保人在第k個(gè)月死亡(k≤12n，k為整數(shù))時(shí)， 保險(xiǎn)公司的余額為

于是以余額為隨機(jī)變量X， 其概率分布為

k/月123…k…12nXx1x2x3…xk…x12np112p1112p1112p1112p1+k-112[]…112pn

從而當(dāng)投保人保在m 個(gè)月(m ≤12 n， m 為整數(shù))死亡時(shí)， 保險(xiǎn)公司收益的數(shù)學(xué)期望為

2.k>12n時(shí)， 當(dāng)投保人在第k個(gè)月死亡(k>12n，k為整數(shù))時(shí)， 保險(xiǎn)公司的余額為xk=B12(k-n)， 于是以余額為隨機(jī)變量X， 其概率分布為

k/月12n+112n+212n+3…12n+k…2400XB1B2B3…Bk…B2400-12np112pn+1112pn+1112pn+1112p1+k-112[]…112p200

從而當(dāng)投保人保m個(gè)月(m> 12n， m為整數(shù))死亡時(shí)， 保險(xiǎn)公司收益的數(shù)學(xué)期望為

于是， 保險(xiǎn)公司收益的數(shù)學(xué)期望

由于要保證保險(xiǎn)公司不盈不虧， 就是說在第m3(或M3)個(gè)月末， 公司收益的數(shù)學(xué)期望為零， 于是就有Em3(X)=0(或EM3(X)=0)， 也就是

(3)

4.4 問題4的解答

在a,b,c,d,n和m這些數(shù)據(jù)中，c和m是保險(xiǎn)公司不能隨便改變的， 而a,b,d和n是保險(xiǎn)公司在制定新產(chǎn)品時(shí)主要考慮的因素. 從第一階段和以上的討論可以發(fā)現(xiàn)，a,n越小，b,d越大， 對(duì)投保者來說越有利， 投保者也就越多， 但也可能使公司的風(fēng)險(xiǎn)增大.

圖2 余額xm、 d 和n 之間的關(guān)系圖

就是說， a,b,c,d,n和m的值是相互制約的， 從投保人的角度來看， a值和n值越小越好， a值和n值過高， 雖然保險(xiǎn)工資b值會(huì)相應(yīng)提高， 但投保人在經(jīng)濟(jì)上的壓力增大； d和m越大越好， 但保險(xiǎn)公司的風(fēng)險(xiǎn)又會(huì)增大. 從保險(xiǎn)公司的角度看， 當(dāng)然希望a, n的值高一些， b， d的值低一些， 保險(xiǎn)公司的風(fēng)險(xiǎn)就小一些， 但這對(duì)投保人又會(huì)不利. 因此， 確定a,b,c,d,n和m的值需要綜合考慮.

1. m的確定. 世界衛(wèi)生組織公布《2008年世界衛(wèi)生組織報(bào)告》， 報(bào)告顯示， 我國男性平均壽命70歲， 女性平均壽命74歲， 人均壽命72歲[3]. 對(duì)保險(xiǎn)公司來說， 可以作為m的參考值；

3.a的確定. 要確定合理的a值， 需要考慮當(dāng)?shù)厝藗兊娜司杖搿?人均可支配支出、 可支配指出占實(shí)際收入的比例、 人們的參保意識(shí)、 投保人的保險(xiǎn)收益以及保險(xiǎn)公司的收益等多種因素. 其中人均收入是需要參考的重要因素， 這些數(shù)據(jù)可以根據(jù)當(dāng)?shù)氐那闆r， 通過調(diào)查、 問卷、 統(tǒng)計(jì)等數(shù)學(xué)方法或通過網(wǎng)絡(luò)搜索取得. 統(tǒng)計(jì)顯示， 2010年中國農(nóng)村居民人均純收入5919元， 比上年增長(zhǎng)14.9%， 扣除價(jià)格因素實(shí)際增長(zhǎng)10.9%； 中國城鎮(zhèn)居民全年人均可支配收入19109元， 增長(zhǎng)11.3%， 實(shí)際增長(zhǎng)7.8%.[4]

5.d的確定. 余額xm、d和n之間的關(guān)系見圖2. 從中可以看出，d的值不能大， 否則余額為負(fù)值， 若以n=20為例，d的值宜在0.3到0.5之間選擇， 過大可能虧損， 過小投保人的利益得不到很好的保護(hù).

6. 年齡別死亡率. 年齡別死亡率(也稱生命表)， 也就是在某年齡段死亡人數(shù)與該年齡段總?cè)藬?shù)的比例， 也是必須考慮的因素之一. 2005年聯(lián)合國衛(wèi)生組織公布了我國生命表[5](見表3).

表3 聯(lián)合國衛(wèi)生組織公布的我國2005年生命表

從表中可以看到， 年齡別死亡率呈U字形， 在1歲以前死亡率較高， 然后逐年降低， 到10歲達(dá)到最低點(diǎn)， 以后又逐年增加. 這一點(diǎn)在制定保險(xiǎn)方案時(shí)應(yīng)充分考慮.

5 模型的評(píng)價(jià)與改進(jìn)

最后， 在考慮了年齡別死亡率等一些有用的數(shù)據(jù)后， 討論了確定合適的a, b,d和 n值的一些思路. 模型具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單， 計(jì)算方便等優(yōu)勢(shì). 有較好的推廣和應(yīng)用價(jià)值.

模型存在的不足之處：

(1) 沒有考慮利率的變化. 在模型中， 銀行的利率c一直沒有變化， 這是不夠完善的. 事實(shí)上， 銀行的利率經(jīng)常是變化的， 如2011年我國對(duì)銀行利率進(jìn)行了4次調(diào)整. 在實(shí)際應(yīng)用時(shí)， 應(yīng)該考慮到利率的變化對(duì)其他變量的影響；

(2) 沒有考慮壽命的延長(zhǎng)對(duì)模型的影響. 事實(shí)上， 人的壽命會(huì)隨著生活條件的改善而延長(zhǎng)；

(3) 沒有考慮物價(jià)的上漲和貨幣貶值對(duì)保險(xiǎn)業(yè)務(wù)的影響；

(4) 在模型中假設(shè)了人的死亡率服從均勻分布， 這是不夠合理的. 事實(shí)上， 老年人在11月到2月份， 由于氣候等因素的影響， 死亡率比較高， 而在其他月份相對(duì)較低.

以上這些情況都對(duì)模型有一定的影響， 在處理實(shí)際問題時(shí)都應(yīng)予以考慮.

[1] 孔麗娜， 王芳君， 白博博. 保險(xiǎn)產(chǎn)品的設(shè)計(jì)方案[Z].第四屆數(shù)學(xué)中國數(shù)學(xué)建模網(wǎng)絡(luò)挑戰(zhàn)賽， 2011.4.22.

[2] 袁長(zhǎng)迎，等.掌握和精通Mathcad2000[M].北京: 機(jī)械工業(yè)出版社，2011.

[3] 百度知道.人的壽命[EB/OL]. (2011-04-22).http://zhidao.baidu.com/question/77238412.html.

[4] 天津網(wǎng). 2010年中國城鎮(zhèn)居民全年人均可支配收入19109元[EB/OL]. (2011-05-22).http://www.tianjinwe.com/hotnews/txjj/201102/t20110204_3354975.html.

[5] 新浪網(wǎng)．資料分類．聯(lián)合國衛(wèi)生組織公布的我國2005年生命表[EB/OL]．(2011-05-21).http://ishare.iask.sina.com.cn/f/4943272.html．

[6] 周義倉， 赫孝良.數(shù)學(xué)建模實(shí)驗(yàn)[M].西安:西安交通大學(xué)出版社，2005.12.

[7] 姜啟源， 謝金星， 葉俊.數(shù)學(xué)建模[M].北京:高等教育出版社，2005.12.

[責(zé)任編輯 胡廷鋒]

Mathematical Modal of Insurance Product Design

GAO Ting-ting, ZHANG Ming-hui

(College of Primary Education, Longnan Teachers College, Cheng County 742500, China)

On the premise that the probabilitypkof that the insured dies atkyears of age, when X is the random variable of the premium principal, interest and balance, the probability model of the expectation of insurer’s revenue is established. The formula of the insurer’s revenue when the insured happen to die atmyears of age is established as follows: Whenm>n， Whenm≤n， On the assumption of uniform distribution, the formula of the insurer’s expected revenue when the insured happen to die atmyears of age is: On the basis of the above formulae, the probability of expected break-even point of the insurer is discussed.

probability model; probability distribution series; mathematical expectation; uniform distribution

2017-02-27

隴南師范高等專科學(xué)?？蒲许?xiàng)目； 隴南師范高等?？茖W(xué)校教學(xué)改革項(xiàng)目； 隴南師專教改項(xiàng)目《數(shù)學(xué)建模教學(xué)方法改革與學(xué)生賽前訓(xùn)練》檢驗(yàn)成果

高婷婷(1979—)， 女， 甘肅禮縣人， 講師. 研究方向：基礎(chǔ)數(shù)學(xué).

F840．48

A

1009-4970(2017)08-0063-07