章傳銀，蔣 濤，柯寶貴，王 偉

中國(guó)測(cè)繪科學(xué)研究院，北京 100830

高程系統(tǒng)定義分析與高精度GNSS代替水準(zhǔn)算法

章傳銀，蔣 濤，柯寶貴，王 偉

中國(guó)測(cè)繪科學(xué)研究院，北京 100830

從高程系統(tǒng)定義出發(fā)，探討高程基準(zhǔn)面的重力等位性質(zhì)，測(cè)試分析不同類(lèi)型高程系統(tǒng)地面點(diǎn)高程之間的差異，考察GNSS代替水準(zhǔn)與實(shí)際水準(zhǔn)測(cè)量成果的一致性，進(jìn)而提出新的GNSS代替水準(zhǔn)算法。主要結(jié)論包括：①當(dāng)精度要求達(dá)到厘米級(jí)水平時(shí)，正常高的基準(zhǔn)面也應(yīng)是大地水準(zhǔn)面。中國(guó)國(guó)家1985高程基準(zhǔn)采用正常高系統(tǒng)，其高程基準(zhǔn)面是過(guò)青島零點(diǎn)的大地水準(zhǔn)面。②近地空間中等解析正高面與大地水準(zhǔn)面平行，GNSS代替水準(zhǔn)能直接測(cè)定地面點(diǎn)的解析正高，但正常高系統(tǒng)更有利于描述地勢(shì)和地形起伏。③本文給出的GNSS代替水準(zhǔn)測(cè)定近地點(diǎn)正常高算法，大地高誤差對(duì)正常高結(jié)果的影響比大地水準(zhǔn)面誤差大，前者影響約為后者的1.5倍。

GNSS代替水準(zhǔn)；高程系統(tǒng)；高程基準(zhǔn)面

1 若干定義

1.1 正(常)高的力學(xué)定義

地面點(diǎn)的正高h(yuǎn)定義為

(1)

(2)

式中，g0為地面點(diǎn)的實(shí)測(cè)重力；G為萬(wàn)有引力常數(shù)；ρ為地殼密度；?γ/?h為正常重力梯度。

在式(1)中，將流動(dòng)點(diǎn)重力g用流動(dòng)點(diǎn)正常重力γ替換，得到正常高h(yuǎn)*定義如下[1，2，7]

(3)

1.2 解析正高與Molodensky正常高

1.2.1 解析正高

若直接由地球外部重力場(chǎng)數(shù)據(jù)，按解析延拓法計(jì)算地面點(diǎn)到大地水準(zhǔn)面間的流動(dòng)點(diǎn)重力g，則平均重力可按式(4)確定

(4)

(5)

與Helmert正高相比，解析正高可適用于近地空間的非地面點(diǎn)，利用解析正高公式，易于建立不同類(lèi)型高程之間的重力學(xué)關(guān)系。

1.2.2Molodensky正常高

設(shè)U0=W0，由Molodensky基本條件U0-UQ=W0-W得

(6)

式中，U0、UQ分別為地球橢球面和Q點(diǎn)的正常重力位；W為A點(diǎn)的重力位。

式(6)中，通過(guò)引入Molodensky基本條件，只是將計(jì)算重力位數(shù)c的積分變量由難以測(cè)定的實(shí)際重力g變換為可解析計(jì)算正常重力γ，但仍然有c=W0-W。

由式(5)和式(6)可得

(7)

式中，H為A點(diǎn)的大地高；ζ為A點(diǎn)的高程異常；N為A點(diǎn)處的大地水準(zhǔn)面高。

(8)

本文測(cè)試不同類(lèi)型高程系統(tǒng)地面點(diǎn)高程之間的差異，分析GNSS代替水準(zhǔn)與實(shí)際水準(zhǔn)測(cè)量成果的一致性，研究高精度GNSS代替水準(zhǔn)算法。

2 高程基準(zhǔn)面的重力等位性質(zhì)

傳統(tǒng)的高程基準(zhǔn)由水準(zhǔn)原點(diǎn)(高程基準(zhǔn)零點(diǎn))和高程控制網(wǎng)實(shí)現(xiàn)，水準(zhǔn)點(diǎn)正(常)高的起算面稱(chēng)為高程基準(zhǔn)面或零高程面。為保證GNSS代替水準(zhǔn)測(cè)定的正(常)高與水準(zhǔn)測(cè)量成果一致，要求GNSS代替水準(zhǔn)中采用的高程基準(zhǔn)面與水準(zhǔn)點(diǎn)正(常)高的起算面完全一致。

2.1 由高程系統(tǒng)定義分析高程基準(zhǔn)面的等位性質(zhì)

在區(qū)域高程基準(zhǔn)中，水準(zhǔn)點(diǎn)的重力位數(shù)cR等于高程基準(zhǔn)零點(diǎn)重力位WR與該點(diǎn)重力位W之差，水準(zhǔn)點(diǎn)高程的起算重力位等于高程基準(zhǔn)零點(diǎn)重力位WR，水準(zhǔn)點(diǎn)零高程面的重力位唯一，處處都等于WR，因此，區(qū)域高程的零高程面(高程起算面)是過(guò)高程基準(zhǔn)零點(diǎn)的重力等位面。

對(duì)于任一地面點(diǎn)，不論是用正高、正常高還是力高來(lái)表示其海拔高程，該點(diǎn)的重力位數(shù)c或cR都是唯一的，高程基準(zhǔn)面的重力位處處都等于高程基準(zhǔn)零點(diǎn)重力位，高程基準(zhǔn)面的這種重力等位性質(zhì)與采用的高程系統(tǒng)類(lèi)型無(wú)關(guān)。

總之，不論是正高系統(tǒng)、正常高系統(tǒng)、力高系統(tǒng)，還是重力位數(shù)系統(tǒng)，高程基準(zhǔn)面是唯一不變的，都是過(guò)高程基準(zhǔn)零點(diǎn)的大地水準(zhǔn)面。

2.2 非地面點(diǎn)的高程異常及其正常高起算面

由式(3)或式(6)可知，正常高定義適合非地面點(diǎn)，而由重力方法確定的似大地水準(zhǔn)面是相對(duì)計(jì)算者選定、用于表示地面的特定數(shù)字高程模型而言。設(shè)在似大地水準(zhǔn)面模型計(jì)算時(shí)用2′×2′數(shù)字高程模型代表地面，若某地面點(diǎn)A的正常高為h，由2′×2′數(shù)字高程模型內(nèi)插得到該點(diǎn)在數(shù)字高程模型面上的正常高為h0，由對(duì)應(yīng)的2′×2′似大地水準(zhǔn)面模型內(nèi)插得到該點(diǎn)在數(shù)字高程模型面上的高程異常為ζ0，則A點(diǎn)的實(shí)際高程異常ζ為[1]

(9)

式中，T、δg、γ分別為地面點(diǎn)到對(duì)應(yīng)數(shù)字高程模型面間流動(dòng)點(diǎn)的擾動(dòng)位、擾動(dòng)重力和正常重力。

中國(guó)大陸2′×2′數(shù)字高程模型的高程最大值一般只有6 km，而珠峰地區(qū)的實(shí)際地面高程超過(guò)8 km。若令δg=-100 mGal，γ≈10 m/s2，Δh=2000 m，則Δζ=100×10-5/10×2000 m=20 cm。即在珠峰地區(qū)，若將2′×2′重力似大地水準(zhǔn)面直接作為正常高的基準(zhǔn)面，則由GNSS代替水準(zhǔn)測(cè)定的正常高要比實(shí)際正常高大20 cm。

當(dāng)A點(diǎn)不在地面上，如在地面下方或低空高度上，Δζ的絕對(duì)值還會(huì)進(jìn)一步增大。因此，將似大地水準(zhǔn)面作為正常高的起算面是不嚴(yán)密的。

綜上所述，在嚴(yán)格意義上所有類(lèi)型高程系統(tǒng)的基準(zhǔn)面都是重力等位面。中國(guó)國(guó)家1985高程基準(zhǔn)采用正常高系統(tǒng)，高程基準(zhǔn)面是過(guò)青島零點(diǎn)的大地水準(zhǔn)面。

3 不同類(lèi)型高程系統(tǒng)地面點(diǎn)高程之間的差別測(cè)試分析

3.1 地面點(diǎn)正常高h(yuǎn)*與Molodensky正常高h(yuǎn)γ的差別

任意地面點(diǎn)的正常高h(yuǎn)*與Molodensky正常高h(yuǎn)γ的差異可表示為

(10)

式中，?γ/?h=0.308 6×10-5s-2為正常重力梯度。

在一定海拔高度的大陸地區(qū)，ζ<0，因此似地形面在地面上方，由式(10)可得：hγ>h*。

令ζ=-50 m，h*=6000 m，則h*-hγ=-0.308 6×10-6×50×6000 m≈-0.09 m。Molodensky正常高h(yuǎn)γ與正常高h(yuǎn)*的差異在中國(guó)大陸東部地區(qū)約為0～3 cm，中部2～5 cm，西部4～10 cm。

在中國(guó)《國(guó)家一、二等水準(zhǔn)測(cè)量規(guī)范》中，用于計(jì)算兩水準(zhǔn)點(diǎn)i、i+1間水準(zhǔn)高差正常水準(zhǔn)面不平行改正ε的平均正常重力公式為[8]

(11)

3.2 解析正高h(yuǎn)′與H-N的差別測(cè)試分析

由圖3可知，在整個(gè)中國(guó)大陸地區(qū)，GNSS直接代替水準(zhǔn)測(cè)定的正高h(yuǎn)=H-N與解析正高h(yuǎn)′相差不到2mm。忽略由地球重力場(chǎng)模型計(jì)算其對(duì)應(yīng)大地水準(zhǔn)面上重力位W0的計(jì)算誤差，則有：h′=H-N?？梢?jiàn)，等解析正高面與大地水準(zhǔn)面平行，GNSS代替水準(zhǔn)能直接測(cè)定地面點(diǎn)的解析正高。

采用同樣方法，可以測(cè)試驗(yàn)證：hγ=H-ζ。

3.3Molodensky正常高h(yuǎn)γ與H-N的差別測(cè)試分析

顧及地面點(diǎn)解析正高h(yuǎn)′=H-N，則h=H-N與Molodensky正常高h(yuǎn)γ的差異可表示為

(12)

由圖4可知，h-hγ隨高度增大而增大，在大地水準(zhǔn)面附近接近零，在中國(guó)西部北方超過(guò)0.5m；在中國(guó)東部地區(qū)，h-hγ一般小于0.15m。

實(shí)際上，由式(7)可得

h-hγ=ζ-N

(13)

4 不同類(lèi)型高程的水準(zhǔn)面不平行性

4.1GNSS代替水準(zhǔn)中水準(zhǔn)面不平行改正的通用形式

設(shè)GNSS定位測(cè)得地面點(diǎn)大地高為H，地面點(diǎn)到大地水準(zhǔn)面的大地高差為h=H-N，由地球重力場(chǎng)知識(shí)可知，該點(diǎn)的重力位W=T+U=ζγ+U，其中，T、ζ、U分別為地面點(diǎn)的擾動(dòng)位、高程異常和正常重力位，顧及通用高程定義hG=c/G，得

(14)

令

(15)

類(lèi)比水準(zhǔn)測(cè)量中正常高的水準(zhǔn)面不平行改正，這里仍將∈作為GNSS代替水準(zhǔn)中通用高程的水準(zhǔn)面不平行改正。

由于不能測(cè)量地球內(nèi)部重力，Helmert正高h(yuǎn)H的水準(zhǔn)面不平行改正也難以準(zhǔn)確計(jì)算。

若用GNSS代替水準(zhǔn)傳遞高差，也需對(duì)高差增加水準(zhǔn)面不平行改正Δ∈。即

ΔhG=ΔH-ΔN+Δ∈

(16)

4.2 地面點(diǎn)正高與正常高力學(xué)性質(zhì)的差異

由圖2可知，等解析正高面相互之間平行，且都與大地水準(zhǔn)面平行；但由圖3可以看出，等正常高面相互之間不平行，等正常高面與大地水準(zhǔn)面也不平行。利用等高程面上的重力位差大小和空間分布情況可以評(píng)價(jià)高程系統(tǒng)的力學(xué)性質(zhì)。圖5是用Eigen6C4重力場(chǎng)模型計(jì)算的3000 m等正高面的重力位(圖5(a))和3000 m等正常高面的重力位(圖5(b))。

由圖5可知，等正高面的重力位(已扣除了平均值)隨空間變化復(fù)雜，等正常高面沿卯酉圈方向具有等位性質(zhì)。考察卯酉圈上正常高等于3000 m的兩點(diǎn)A、B，其重力位差ΔWAB≈0.308 6×10-5ΔNABh*≈9.2×10-3ΔNABm2/s2(ΔNAB為兩點(diǎn)處大地水準(zhǔn)面高之差)，是小量。圖5(b)中各卯酉圈方向的重力位標(biāo)準(zhǔn)差均小于0.03 m2/s2?？梢?jiàn)，正常高系統(tǒng)更有利于描述地勢(shì)和地形起伏。

5 GNSS代替水準(zhǔn)測(cè)定正常高的新算法

5.1 GNSS代替水準(zhǔn)測(cè)定近地點(diǎn)正常高的統(tǒng)一算法

當(dāng)忽略大陸水負(fù)荷、非潮汐海平面和非潮汐大氣負(fù)荷等變化引起的大地水準(zhǔn)面形變(GRACE監(jiān)測(cè)結(jié)果顯示，非潮汐大地水準(zhǔn)面形變達(dá)到厘米量級(jí))時(shí)，大地水準(zhǔn)面高不隨時(shí)間變化，是穩(wěn)態(tài)的。本文只討論穩(wěn)態(tài)大地水準(zhǔn)面情況下GNSS代替水準(zhǔn)測(cè)定正常高算法。

圖1 Molodensky正常高的幾何意義Fig.1 Geometric interpretation for Molodensky normal height

圖2 地面點(diǎn)Molodensky正常高h(yuǎn)γ與正常高h(yuǎn)*之差Fig.2 Differences between Molodensky normal height hγ and normal height h* at ground points

圖3 GNSS直接代替水準(zhǔn)測(cè)定的正高h(yuǎn)與解析正高h(yuǎn)′的差別Fig.3 Differences between orthometric height h determined by GNSS replacing leveling and actual orthometric height h′

圖4 Molodensky正常高h(yuǎn)γ與(H-N)的差別Fig.4 Differences between Molodensky normal height hγ and (H-N)

設(shè)GNSS測(cè)定近地點(diǎn)A(可以是地面點(diǎn)，也可以是非地面點(diǎn))的大地高為H，忽略厘米量級(jí)的地心運(yùn)動(dòng)影響，則GNSS代替水準(zhǔn)測(cè)定正常高h(yuǎn)*(或hγ)的公式可統(tǒng)一寫(xiě)為如下形式

(17)

實(shí)際作業(yè)中，可不額外計(jì)算水準(zhǔn)面不平行改正∈，直接由正常高定義導(dǎo)出GNSS代替水準(zhǔn)測(cè)定A點(diǎn)正常高h(yuǎn)α的統(tǒng)一算法公式為

(18)

式中，W0為大地水準(zhǔn)面重力位；γ、U分別為A點(diǎn)正常重力與正常重力位；ζ為A點(diǎn)高程異常，能由大地水準(zhǔn)面模型按Possion公式精確計(jì)算。GNSS大地高H以ζ、γ、U自變量的形式代入。

不難發(fā)現(xiàn)，式(18)也適合于GNSS代替水準(zhǔn)測(cè)定力高h(yuǎn)d的高精度計(jì)算。

5.2 高精度GNSS代替水準(zhǔn)測(cè)定正常高的誤差分析

(19)

對(duì)于誤差分析目的，不失一般性，可采用如下線(xiàn)性近似

(20)

(21)

(22)

(23)

式(23)中，GNSS代替水準(zhǔn)測(cè)定正常高(h*或hγ)的誤差δhα由兩項(xiàng)構(gòu)成：大地高誤差δH和大地水準(zhǔn)面誤差δN，誤差影響因子分別為τH≈1.5(<1.5)和τN≈1(<1)。這表明，1倍大地高誤差會(huì)導(dǎo)致近1.5倍的正常高誤差，1倍大地水準(zhǔn)面誤差會(huì)導(dǎo)致近1倍的正常高誤差。

δhd=δH-δN

(24)

6 小 結(jié)

本文從高程系統(tǒng)定義出發(fā)，探討高程基準(zhǔn)面的重力等位性質(zhì)，測(cè)試分析不同類(lèi)型高程系統(tǒng)地面點(diǎn)高程之間的差異，考察GNSS代替水準(zhǔn)與實(shí)際水準(zhǔn)測(cè)量成果的一致性，進(jìn)而提出新的GNSS代替水準(zhǔn)算法。主要結(jié)論包括：

(1) 當(dāng)精度要求達(dá)到厘米級(jí)水平時(shí)，正常高的基準(zhǔn)面也應(yīng)是大地水準(zhǔn)面。中國(guó)國(guó)家1985高程基準(zhǔn)采用正常高系統(tǒng)，其高程基準(zhǔn)面是過(guò)青島零點(diǎn)的大地水準(zhǔn)面。

(2) 近地空間中等解析正高面與大地水準(zhǔn)面平行，GNSS代替水準(zhǔn)能直接測(cè)定地面點(diǎn)的解析正高，但正常高系統(tǒng)更有利于描述地勢(shì)和地形起伏。

(3) 本文給出的GNSS代替水準(zhǔn)測(cè)定近地點(diǎn)正常高算法，大地高誤差對(duì)正常高結(jié)果的影響比大地水準(zhǔn)面誤差大，前者影響約為后者的1.5倍。

致謝：本文是在許厚澤院士、寧津生院士、晁定波教授、魏子卿院士、楊元喜院士、李建成院士、吳曉平教授、黃謨濤高工、李斐教授、翟國(guó)君高工、張傳定教授、申文斌教授、羅志才教授與幾位審稿專(zhuān)家的許多建設(shè)性意見(jiàn)基礎(chǔ)上逐步完善的，在此特別致謝。

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(責(zé)任編輯：陳品馨)

The Analysis of Height System Definition and the High Precision GNSS Replacing Leveling Method

ZHANG Chuanyin,JIANG Tao,KE Baogui,WANG Wei

Chinese Academy of Surveying and Mapping, Beijing 100830, China

Based on the definition of height system, the gravitational equipotential property of height datum surface is discussed in this paper, differences of the heights at ground points that defined in different height systems are tested and analyzed as well. A new method for replacing leveling using GNSS is proposed to ensure the consistency between GNSS replacing leveling and spirit leveling at mm accuracy level. The main conclusions include:①For determining normal height at centimeter accuracy level, the datum surface of normal height should be the geoid. The 1985 national height datum of China adopts normal height system, its datum surface is the geoid passing the Qingdao zero point.②The surface of equi-orthometric height in the near earth space is parallel to the geoid. The combination of GNSS precise positioning and geoid model can be directly used for orthometric height determination. However, the normal height system is more advantageous for describing the terrain and relief.③Based on the proposed method of GNSS replacing leveling, the errors in geodetic height affect more on normal height result than the errors of geoid model, the former is about 1.5 times of the latter.

GNSS replacing leveling; height system; height datum surface

The National Natural Science Foundation of China (Nos. 41374081；41674024)

ZHANG Chuanyin(1968—)，male, PhD,researcher, majors in geodesy.

JIANG Tao

章傳銀，蔣濤，柯寶貴，等.高程系統(tǒng)定義分析與高精度GNSS代替水準(zhǔn)算法[J].測(cè)繪學(xué)報(bào)，2017,46(8)：945-951.

10.11947/j.AGCS.2017.20170058. ZHANG Chuanyin,JIANG Tao,KE Baogui,et al.The Analysis of Height System Definition and the High Precision GNSS Replacing Leveling Method[J]. Acta Geodaetica et Cartographica Sinica,2017,46(8):945-951. DOI:10.11947/j.AGCS.2017.20170058.

P228.4

A

1001-1595(2017)08-0945-07

國(guó)家自然科學(xué)基金(41374081；41674024)

2017-02-10

章傳銀(1968—)，男，博士，研究員，研究方向?yàn)榇蟮販y(cè)量學(xué)。

E-mail： zhangchy@casm.ac.cn

蔣濤

E-mail： jiangtao@casm.ac.cn

修回日期： 2017-07-21