張文娟+張曉丹+張英晗

[摘 要]本文提出了一類分?jǐn)?shù)階的金融風(fēng)險(xiǎn)模型。首先，研究了風(fēng)險(xiǎn)模型對初始值的敏感依賴性；然后，研究了風(fēng)險(xiǎn)模型對風(fēng)險(xiǎn)傳遞效率及分?jǐn)?shù)階次的敏感性；最后，采用增加反饋增益矩陣的方法，構(gòu)造了風(fēng)險(xiǎn)模型的受控系統(tǒng)，數(shù)值模擬結(jié)果表明該控制方法可以有效地控制混沌。

[關(guān)鍵詞]一類分?jǐn)?shù)階；金融風(fēng)險(xiǎn)模型；混沌動力學(xué)行為

doi：10.3969/j.issn.1673 - 0194.2017.14.069

[中圖分類號]F832.5；O415.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識碼]A [文章編號]1673-0194（2017）14-0-02

0 引 言

混沌是由確定性系統(tǒng)產(chǎn)生的隨機(jī)現(xiàn)象，對初始條件的高度敏感性是其主要特征?；煦缃?jīng)濟(jì)學(xué)也叫非線性經(jīng)濟(jì)學(xué)，它是基于非線性動力學(xué)方法來解釋真實(shí)的經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象的。因?yàn)榻鹑陲L(fēng)險(xiǎn)總是存在于金融活動中，而且金融風(fēng)險(xiǎn)的存在會擾亂正常的金融秩序。所以，金融風(fēng)險(xiǎn)管理成為了一個(gè)熱門的研究課題。

近年來，已經(jīng)發(fā)表了不少關(guān)于金融風(fēng)險(xiǎn)管理的文章。然而，這些模型較少地考慮金融變量的長期記憶性，所以不能更好地反映風(fēng)險(xiǎn)管理過程的真實(shí)情況。與整數(shù)階微積分相比，分?jǐn)?shù)階微積分最大的優(yōu)勢在于具有記憶效應(yīng)。受此啟發(fā)，本文提出了一類分?jǐn)?shù)階的金融風(fēng)險(xiǎn)傳染模型。

1 分?jǐn)?shù)階金融風(fēng)險(xiǎn)模型的提出

其中，狀態(tài)變量R，U，V，W分別表示風(fēng)險(xiǎn)發(fā)生值，分析值，控制值和傳染值。而且R，U，V，W均是非負(fù)的。參數(shù)a>0表示風(fēng)險(xiǎn)分析效率，b>0表示風(fēng)險(xiǎn)傳遞效率，c∈R表示風(fēng)險(xiǎn)控制的失真系數(shù)，d>0表示風(fēng)險(xiǎn)強(qiáng)度和k∈R表示風(fēng)險(xiǎn)傳染系數(shù)。

2 風(fēng)險(xiǎn)模型對初值的敏感依賴性

現(xiàn)在討論模型（1）的初值敏感性。取分?jǐn)?shù)階次為α1=α2=α3=α4=0.95及參數(shù)為（a，b，c，d，k）=（10，28，8/3，36，0.5），當(dāng)初始值分別?。?0，10，10，10）和（10，10，10，10.001）時(shí)，模型（1）的時(shí)域圖（見圖1）。

由圖1可知，從兩個(gè)極其相近的初始值（10，10，10，10）和（10，10，10，10.001）出發(fā)而產(chǎn)生的兩條軌道，一開始基本是重合的，但隨著時(shí)間的不斷推進(jìn)，兩條軌道之間的差異便顯現(xiàn)出來并迅速分開。這說明風(fēng)險(xiǎn)模型（1）的動力學(xué)行為會隨著初始值的微小變化而產(chǎn)生巨大變化，因此該系統(tǒng)對初始值具有高度的敏感依賴性。

3 數(shù)值研究風(fēng)險(xiǎn)系統(tǒng)對參數(shù)及分?jǐn)?shù)階次的敏感性

3.1 風(fēng)險(xiǎn)系統(tǒng)對參數(shù)b的敏感性分析

由圖2a和圖2b可知，當(dāng)參數(shù)b<20時(shí)，模型（1）處于穩(wěn)定狀態(tài)；在2025時(shí)，模型（1）處于混沌狀態(tài)，此時(shí)，無法對風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行長期預(yù)測，市場風(fēng)險(xiǎn)處于一種失控的狀態(tài)，因而需要及時(shí)給予宏觀調(diào)控，以此來防止風(fēng)險(xiǎn)系統(tǒng)長期劇烈波動。

3.2 風(fēng)險(xiǎn)系統(tǒng)對分?jǐn)?shù)階次的敏感性

由圖3可知，當(dāng)α2<0.85時(shí)，風(fēng)險(xiǎn)模型（1）處于穩(wěn)定狀態(tài)；模型（1）在0.85<α2<0.9內(nèi)的分岔點(diǎn)處發(fā)生Hopf分岔；當(dāng)α2>0.9時(shí)，模型（1）處于混沌狀態(tài)。

4 分?jǐn)?shù)階金融風(fēng)險(xiǎn)系統(tǒng)的控制

4.1 受控系統(tǒng)的構(gòu)造

5 結(jié) 語

本文重點(diǎn)研究了金融風(fēng)險(xiǎn)隨著風(fēng)險(xiǎn)傳遞效率b以及分?jǐn)?shù)階次的變化規(guī)律。數(shù)值模擬結(jié)果表明，風(fēng)險(xiǎn)系統(tǒng)會隨著參數(shù)變化從穩(wěn)定狀態(tài)，通過Hopf分岔逐漸發(fā)生結(jié)構(gòu)性改變，最終進(jìn)入混沌狀態(tài)。本文還運(yùn)用增加反饋增益矩陣的方法，構(gòu)造了金融風(fēng)險(xiǎn)受控系統(tǒng)，并通過數(shù)值模擬證明了該受控系統(tǒng)的漸進(jìn)穩(wěn)定性，同時(shí)分析了增加控制器后的受控系統(tǒng)產(chǎn)生的變化，觀察混沌控制效果。

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