馬 旭 易 俗

(遼寧大學(xué)創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)學(xué)院 遼寧 沈陽(yáng) 110036)

二分搜索法求解懸鏈線問(wèn)題

馬 旭 易 俗

(遼寧大學(xué)創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)學(xué)院 遼寧 沈陽(yáng) 110036)

懸鏈線問(wèn)題是現(xiàn)代工程實(shí)踐中經(jīng)常遇到的問(wèn)題之一。分析懸點(diǎn)等高及不等高兩種情況下懸鏈系數(shù)、弛垂度、懸點(diǎn)水平坐標(biāo)的常規(guī)數(shù)學(xué)求解方式，基于其運(yùn)算量大，誤差難以把握的不足，提出應(yīng)用二份搜索程序設(shè)計(jì)思想輔助求解的具體思路。分別給出3種不同應(yīng)用的完整程序及數(shù)據(jù)，比較分析數(shù)學(xué)方式與程序設(shè)計(jì)求解方法。以吊桿架設(shè)工程應(yīng)用為實(shí)例，結(jié)合完整C語(yǔ)言程序及其主函數(shù)流程圖 ，較詳細(xì)地描述了相關(guān)各參數(shù)的程序求解過(guò)程。上述方法已多次應(yīng)用于實(shí)踐，是簡(jiǎn)單可行的。

二分搜索法 懸鏈線 懸鏈系數(shù) 弛垂度 誤差分析 C程序設(shè)計(jì)

0 引 言

懸索吊橋、雙曲拱橋、架空電纜、索道滑車(chē)等諸多實(shí)踐應(yīng)用中，都涉及到懸鏈線[1-6]。懸鏈線函數(shù)是超越函數(shù)，應(yīng)用中可以通過(guò)查雙曲函數(shù)表、拋物線逼近、級(jí)數(shù)展開(kāi)求解高次方程等數(shù)學(xué)方法近似求解[7-9]。在懸鏈線接近水平時(shí)，常規(guī)數(shù)學(xué)運(yùn)算可以滿足一般工程的需要，但針對(duì)傾斜度較大的懸鏈線，數(shù)學(xué)運(yùn)算計(jì)算繁雜，精度難以提高，更難以把握[10-12]。許多工程實(shí)踐中，在指定精度要求下，利用二分搜索程序輔助求解，更為簡(jiǎn)單實(shí)用[13]。

本文將就懸鏈線應(yīng)用中的多種實(shí)用形式，結(jié)合C語(yǔ)言描述，分別給出相關(guān)函數(shù)及應(yīng)用程序，求解懸鏈系數(shù)、弛垂度、懸索鏈長(zhǎng)及懸點(diǎn)水平坐標(biāo)，并給出工程應(yīng)用實(shí)例。

1 兩懸點(diǎn)高度相同的情況

如圖1所示，A、B兩懸點(diǎn)等高，水平距離為L(zhǎng)，懸鏈線鏈長(zhǎng)為S，懸點(diǎn)與最低點(diǎn)垂直距離(弛垂度)為D，懸鏈線最低點(diǎn)與橫軸垂直距離為a(懸鏈系數(shù))，x1、x2為兩懸點(diǎn)的水平坐標(biāo)。

圖1 兩懸點(diǎn)等高的懸鏈線坐標(biāo)圖

懸鏈線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：

(1)

實(shí)際應(yīng)用中，兩懸點(diǎn)間水平距離一般可以預(yù)知，無(wú)論是已知鏈長(zhǎng)求弛垂度，還是已知弛垂度求鏈長(zhǎng)，還是在工程實(shí)踐中分析懸點(diǎn)的受力，首要解決的問(wèn)題就是求懸鏈系數(shù)a。

1.1 已知鏈長(zhǎng)及兩懸點(diǎn)間水平距離求弛垂度

1.1.1 常規(guī)數(shù)學(xué)方式求解弛垂度

弛垂度的標(biāo)準(zhǔn)方程為：

(2)

參考圖1求解D，利用曲線積分可以得出下列結(jié)果：

(3)

求解上述超越方程，可以經(jīng)過(guò)冪級(jí)數(shù)展開(kāi)、麥克勞林展開(kāi)、麥克勞林系數(shù)求解等一系列代數(shù)運(yùn)算，在忽略高于二次的級(jí)數(shù)項(xiàng)后，可以近似得出下列結(jié)果[14]。

設(shè)：

(4)

(5)

則：

(6)

(7)

此公式在常規(guī)實(shí)踐中是可以應(yīng)用的，但在誤差精度要求更高，尤其在誤差精度要求隨應(yīng)用而調(diào)整的情況下，就很難適用了。

1.1.2 二分搜索法求解弛垂度

設(shè)有函數(shù)y=f(x)，與數(shù)學(xué)求解函數(shù)的方式不同，利用二分搜索程序設(shè)計(jì)思想，預(yù)先編制搜索原函數(shù)double fun(double x)和二分搜索函數(shù)double dichotomy (double (*fp)(), double x1, double x2, double y)，在一定范圍(x1,x2)、一定精度要求下，即可通過(guò)二分搜索法搜索到指定函數(shù)值y對(duì)應(yīng)的x(x=f-1(y))，可以有效地解決上述實(shí)際問(wèn)題[15-16]。

設(shè)：

(8)

(9)

化簡(jiǎn)后可得：

(10)

基于函數(shù)y=sinh(x)/x建立搜索原函數(shù)如下：

double funz( double x )

{ double y;

y=sinh(x)/x;

return y;

}

基于指定搜索原函數(shù)fp()、指定函數(shù)值y，在(x1,x2)區(qū)間，按指定精度要求AC，進(jìn)行二分搜索，返回搜索點(diǎn)近似值x，二分搜索函數(shù)如下：

double dichotomy (double (*fp)(),double x1, double x2, double y)

{ double x, p;

do { x=(x1+x2)/2;

p=fp(x);

if (p>y) x2=x;

if (p

} while ( fabs(p-y) > AC );

return x;

}

由懸鏈線實(shí)踐確定的數(shù)據(jù)范圍可預(yù)先設(shè)定3>t>0，設(shè)Z=S/L，調(diào)用二分搜索函數(shù)dichotomy( funz, 0, 3, Z )可以搜索求得原函數(shù)Z=sinh(t)/t中t值，再利用下面公式即可求得懸鏈系數(shù)a及垂弛度D：

(11)

1.1.3 實(shí) 例

例1：給定一組鏈長(zhǎng)S、懸點(diǎn)間距離L，利用二分搜索法，在誤差δ<10-3條件下，求懸鏈系數(shù)a及弛垂度D，主函數(shù)程序描述如下：

#include ″stdio.h″

#include ″math.h″

#define AC 1e-3

main()

{ double s[5]={25,35,45,55,65},

l[5]={20,30,40,50,60},

a[5],d[5];

int i;

for ( i=0; i<5; i++)

{ double t,p;

t=dichotomy( funz, 0, 3, s[i]/l[i] );

a[i]=l[i]/(2*t);

p=l[i]/(2*a[i]);

d[i]=a[i]*cosh(p)-a[i];

}

for ( i=0; i<5; i++)

printf(″ L=%6.3f, S=%6.3f, a=%6.3f, D=%6.3f ″, l[i],s[i],a[i],d[i]);

}

1.1.4 數(shù)學(xué)求解與程序求解的比較

指定精度要求為δ<10-5、δ<10-4，分別利用1.1.3節(jié)中程序求解得懸鏈線的弛垂度為D2、D3，通過(guò)MATLAB按1.1.1節(jié)中數(shù)學(xué)方法求得懸鏈線的弛垂度為D1，它們對(duì)比如表1所示。

表1 二分搜索法與常規(guī)數(shù)學(xué)方法求解馳垂度對(duì)比

參考表1可見(jiàn)，利用1.1.1節(jié)中數(shù)學(xué)解法求得的弛垂度D介于二分搜索程序誤差設(shè)置在10-5與10-4之間。

實(shí)踐中，可以在指定精度要求下，預(yù)先確定鏈長(zhǎng)S與懸點(diǎn)距離L的比值表。具體工程中即可通過(guò)查表方式確定t值，再通過(guò)上面所述的公式求系數(shù)a、弛垂度D。查表求解更為簡(jiǎn)單實(shí)用。表2為δ<10-6時(shí)鏈長(zhǎng)S與懸點(diǎn)距離L的比值表。

表2 鏈長(zhǎng)S與懸點(diǎn)距離L的比值表

1.2 已知弛垂度及兩懸點(diǎn)間水平距離求鏈長(zhǎng)

1.2.1 二分搜索法求鏈長(zhǎng)

設(shè)：

(12)

(13)

化簡(jiǎn)后可得：

(14)

基于函數(shù)y=(cosh(x)-1)/x建立搜索原函數(shù)如下：

double funv(double x)

{ double y;

y=(cosh(x)-1)/x;

return y;

}

參照例1，在3>t>0范圍內(nèi)，設(shè)V=D/(L/2)，調(diào)用二分搜索函數(shù)dichotomy(funv,0,3,V)搜索求解原函數(shù)V=(cosh(t)-1)/t中t值，再利用下面公式可以求得懸鏈系數(shù)a和鏈長(zhǎng)S：

(15)

1.2.2 實(shí) 例

例2：給定一組弛垂度D，懸點(diǎn)距離L。利用二分搜索法，在誤差δ<10-3條件下，求懸鏈系數(shù)a及鏈長(zhǎng)S，主函數(shù)程序描述如下：

#include ″stdio.h″

#include ″math.h″

#define CC 1e-3

main()

{ double l[5]={20.000,30.000,40.000, 50.000,60.000},

d[5]={6.636,7.924,9.030,10.015,10.911},a[5], s[5];

int i;

for ( i=0; i<5; i++)

{ double t,v,p,y;

v=2*d[i]/l[i];

t=dichotomy( funv,0,3,v );

a[i]=l[i]/(2*t);

p=l[i]/(2*a[i]);

s[i]=2*a[i]*sinh(p);

}

for ( i=0; i<5; i++)

printf(″L=%6.3f, D=%6.3f, a=%6.3f, S=%6.3f ″, l[i],d[i],a[i],s[i]);

}

上述程序設(shè)定的初始弛垂度D為表1中的D2。指定不同精度要求(δ<10-3，δ<10-5)利用二分搜索程序求解的懸鏈線鏈長(zhǎng)(S1，S2)與表1中初始S對(duì)比如表3所示。

表3 二分搜索法所求鏈長(zhǎng)S與真實(shí)鏈長(zhǎng)對(duì)比

參考表3可見(jiàn)，搜索程序精度設(shè)為10-3時(shí)，誤差已經(jīng)可以在許多實(shí)踐環(huán)境中被接受，當(dāng)搜索程序精度設(shè)為10-5時(shí)，誤差就更小了。

2 兩懸點(diǎn)高度不同的情況

2.1 二分搜索法求懸點(diǎn)橫坐標(biāo)及弛垂度

如圖2所示，A、B兩懸點(diǎn)水平距離為L(zhǎng)，懸鏈線鏈長(zhǎng)為S。較低的懸點(diǎn)A與最低點(diǎn)的垂直距離(弛垂度)為D，兩懸點(diǎn)的垂直距離為H，懸鏈線最低點(diǎn)與橫軸垂直距離為a，x1、x2為兩懸點(diǎn)的水平坐標(biāo)。

圖2 兩懸點(diǎn)不等高的懸鏈線坐標(biāo)圖

由懸鏈線標(biāo)準(zhǔn)方程，可知：

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

即:

(22)

通過(guò)上式可知，在給定L、S、H時(shí)，可以通過(guò)將sinh(x)級(jí)數(shù)展開(kāi)，再解高次方程求得懸鏈系數(shù)a，進(jìn)而求得x1及弛垂度D(公式推導(dǎo)略)。

考慮到高次方程運(yùn)算的復(fù)雜度限制，在級(jí)數(shù)展開(kāi)時(shí)通常只能選取前2至3項(xiàng)。上述解法不但誤差不好調(diào)整，在一些實(shí)際操作中也不夠靈活、方便。

設(shè)：

(23)

化簡(jiǎn)上式可得：

(24)

設(shè)Z=sqrt(S×S+H×H)/L，調(diào)用二分搜索函數(shù)dichotomy(funz,0,3, Z)可搜索求解t，從而求得懸鏈系數(shù)a(函數(shù)funz()定義參照1.1.2節(jié))。已知懸點(diǎn)垂直距離H推導(dǎo)公式：

(25)

可以參見(jiàn)例1、例2，建立搜索函數(shù)如下：

double funh(double x)

{ double y1,y2,x1,x2,t;

x1=(x+l[i]) / a[i];

x2=x/a[i];

t=a[i]*( cosh(x1)-cosh(x2) );

return t;

}

調(diào)用進(jìn)行二分搜索dichotomy(funh,-3×a,3×a,H)，即可求得x1，進(jìn)而弛垂度D可求。

2.2 實(shí) 例

例3：給定一組鏈長(zhǎng)S，懸點(diǎn)距離L，懸點(diǎn)高度差H，求解懸鏈系數(shù)a、弛垂度D與低點(diǎn)的橫坐標(biāo)X1，主函數(shù)程序描述如下:

#include ″stdio.h″

#include ″math.h″

#define CC 1e-3

double s[5]={ 30.000, 30.000, 30.000, 90.000, 90.000 },l[5]={ 20.000, 20.000, 20.000, 60.000, 60.000 },h[5]={ 0.000, 5.000, 10.000, 0.000, 30.000 },a[5], x[5], d[5];

int i;

main()

{ double t,z;

for ( i=0; i<5; i++)

{ z=sqrt( s[i]*s[i]-h[i]*h[i] ) / l[i];

t=dichotomy( funz,0,3,z );

a[i]=l[i]/(2*t);

x[i]=dichotomy( funh, -3*a[i], 3*a[i], h[i] );

d[i]=a[i]*( cosh(x[i]/a[i])-1 );

}

for ( i=0; i<5; i++)

printf(″ L=%6.3f, S=%6.3f, H=%6.3f, a=%6.3f, x=%6.3f, D=%6.3f ″,l[i], s[i], h[i], a[i], x[i], d[i]);

}

可以借助MATLAB，按2.1節(jié)中描述的數(shù)學(xué)方法求解懸鏈系數(shù)a。利用二分搜索程序在δ<10-2和δ<10-3精度要求下求解的懸鏈系數(shù)a2和a3。與MATLAB求解的懸鏈系數(shù)a1對(duì)比如表4所示。

表4 二分搜索法與常規(guī)數(shù)學(xué)法求解懸鏈系數(shù)對(duì)比

參考表4可見(jiàn)，利用數(shù)學(xué)解法求得的懸鏈系數(shù)a介于二分搜索程序誤差設(shè)置在10-2與10-3之間。表中省略了弛垂度D與低點(diǎn)的橫坐標(biāo)X1的輸出。

3 懸鏈線應(yīng)用實(shí)例

3.1 懸點(diǎn)受力分析

懸鏈線應(yīng)用實(shí)踐中，懸點(diǎn)的受力情況是首要考慮的問(wèn)題，如圖3所示。

圖3 懸點(diǎn)B受力分析

設(shè)鏈索線密度為ρ，則懸點(diǎn)B水平、垂直及切線方向受力Tx、Ty、T可表示如下：

(26)

(27)

(28)

(29)

在式(26)、式(28)中代入鏈長(zhǎng)：

(30)

則：

(31)

(32)

式(26)、式(28)、式(29)、式(31)和式(32)經(jīng)常在懸鏈線應(yīng)用中被選擇使用。

3.2 懸鏈線應(yīng)用實(shí)例—吊桿架設(shè)

在特定的地區(qū)、地勢(shì)、地理等多種環(huán)境下，無(wú)法使用現(xiàn)代化的塔吊設(shè)施，完成貨物的定點(diǎn)吊運(yùn)只能采用傳統(tǒng)的架設(shè)吊桿方法。

已知預(yù)吊起的貨物重量WG，已具備的吊桿長(zhǎng)度HL，吊桿重量為HG，兩根鏈索的線密度ρ，怎樣架設(shè)吊桿才能準(zhǔn)確地將貨物吊運(yùn)到指定位置P處。工程實(shí)踐中，可以通過(guò)多種方式將吊桿固定在兩根鏈索的同一平面上，本例只探討吊桿及兩根鏈索所在平面的架設(shè)問(wèn)題，圖4為吊桿架設(shè)的平面圖。

圖4 吊桿架設(shè)平面圖及受力分析

實(shí)踐中常規(guī)的吊桿架設(shè)方式可有如下3種：

(1) 已知左右兩根鏈索的長(zhǎng)度Sl與Sr，AB兩點(diǎn)已選定，水平距離2L，吊桿架設(shè)的支點(diǎn)O為AB中點(diǎn)，求解吊桿的水平夾角α，從而確定吊桿基點(diǎn)O與指定吊點(diǎn)P的水平距離OP，可以驗(yàn)證鏈索長(zhǎng)度是否合適。

(2) 已知左右兩根鏈索的長(zhǎng)度Sl與Sr，吊桿的基點(diǎn)位置O已選定，求解AB兩點(diǎn)的水平距離2L，從而確定AB兩點(diǎn)的固定位置，在選定處固定鏈索即可。

(3) 吊桿的基點(diǎn)位置O已固定，AB兩點(diǎn)也已選定，已知一條鏈索的長(zhǎng)度，求解另一條鏈索的長(zhǎng)度，按要求配置鏈索即可。

下面僅就上述第一種架設(shè)方法給以實(shí)例說(shuō)明，另外兩種架設(shè)方法與之相似，本文略。

例4：已知左右兩側(cè)鏈索線密度ρ，A、B兩點(diǎn)的水平距離2L，架設(shè)的吊桿長(zhǎng)度HL，重HG。輸入兩根鏈索長(zhǎng)度Sl、Sr，預(yù)吊起的貨物重WG，求吊桿水平夾角α及貨物吊點(diǎn)與吊桿支點(diǎn)水平距離PX。

分析圖4可知，左右兩側(cè)懸鏈線懸點(diǎn)水平距離Ll、Lr及懸點(diǎn)垂直距離H分別為：

Ll=L+HL×cos(α)

Lr=L-HL×cos(α)

H=HL×sinα

兩側(cè)懸鏈線系數(shù)分別為al、ar，懸點(diǎn)C在兩側(cè)懸鏈線上的水平坐標(biāo)為Xl、Xr，則懸點(diǎn)C水平及垂直作用力Tl、Tr、Vl、Vr分別為：

Tl=al×ρTr=ar×ρ

懸點(diǎn)C處順時(shí)針力矩MS與逆時(shí)針力矩MN分別為：

MS=Tr×HL×sinα+(Vl+Vr+0.5×HG+WG)×

HL×cos(α)

MN=Tl×HL×sin(α)

吊桿平衡時(shí)MS=MN，可以整理等式為：

(Vl+Vr+0.5×HG+WG)×HL×cos(α)=

(Tl-Tr)×HL×sin(α)

下面程序中設(shè)置：

M1=(Tl-Tr)×HL×sin(α)

M2=(Vl+Vr+0.5×HG+WG)×HL×cos(α)

圖5為兩根鏈索分別拉直時(shí)的吊桿平面圖。

圖5 吊桿角度分析圖

通過(guò)余弦定理可求吊桿極限角度α1與α2：

吊桿水平角度α實(shí)際取值范圍應(yīng)在α1與α2之間，即α1<α<α2。

例4采用二分搜索法在α1與α2之間搜索α(本例中為變量c)，函數(shù)funz()、funh()、dichotomy()可以參見(jiàn)前文，圖6為主函數(shù)程序流程圖。

圖6 例4主函數(shù)流程圖

例4程序描述如下：

/* a、s、l、x各數(shù)組0、1元素(例如：a[0]、a[1]、s[0]、s[1]…)分別表示左[右]側(cè)懸鏈線對(duì)應(yīng)值，h為兩條懸鏈線共同的懸點(diǎn)高度差，函數(shù)funz()與funh()定義參照例1與例3。 */

#include ″stdio.h″

#include ″math.h″

#define CC 1e-3

double s[2], h, l[2], a[2], x[2];

int i;

double funz(double x) /*略*/

double funh(double x) /*略*/

double dichotomy(double (*fp)(),double x1,double x2,double p1) /*略*/

main()

{ double c1, c2, c, ss, p, wg, hl, hg, z, h, m1, m2, px;

double t[2],v[2];

ss=100;

hl=40, hg=200, p=10;

printf(″Enter SL & SR :″); scanf(″%lf %lf″,&s[0],&s[1]);

printf(″Enter WG= ″);

scanf(″%lf″,&wg);

c1=3.14-acos( (hl*hl+ss*ss/4-s[0]*s[0]) / (hl*ss) );

c2=acos( (hl*hl+ss*ss/4-s[1]*s[1]) / (hl*ss) );

do { double temp;

c=(c1+c2)/2;

l[0]=ss/2+hl*cos(c);

l[1]=ss/2-hl*cos(c);

h=hl*sin(c);

for(i=0;i<2;i++)

{ z=sqrt(s[i]*s[i]-h*h)/l[i];

temp=dichotomy(funz,0,3,z);

a[i]=l[i]/(2*temp);

x[i]=dichotomy(funh, -3*a[i], 3*a[i],h);

t[i]=a[i]*p;

v[i]=temp*sinh((x[i]+l[i]) / a[i]);

}

m1=(t[0]-t[1])*hl*sin(c);

m2=(v[0]+v[1]+hg/2+wg)*hl*cos(c);

if (m1>m2) c1=c;

else c2=c;

} while ( fabs(c1-c2)>1e-6);

px=hl*cos(c);

printf( ″C=%6.2f,PX=%6.2f″, c/3.14*180,px);

}

【程序輸入】

Enter SL & SR ：70 60

Enter WG ：500

【程序輸出】

C=78.55 PX=7.97

程序中已賦值A(chǔ)、B兩點(diǎn)距離SS=100 m，吊桿長(zhǎng)度HL=40 m、吊桿重量HG=200 kg、吊桿線密度P=10 kg/m，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如表5所示。

表5 吊桿架設(shè)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

實(shí)踐中亦可以構(gòu)造更詳細(xì)的表5，根據(jù)貨物重量的不同，查表調(diào)整兩根鏈索的長(zhǎng)度，實(shí)現(xiàn)吊桿的架設(shè)。

4 結(jié) 語(yǔ)

懸鏈線問(wèn)題核心是超越函數(shù)的求解。無(wú)論是怎樣的代數(shù)轉(zhuǎn)換，運(yùn)算量和精度要求都難以把握。實(shí)踐證明，通過(guò)二分搜索程序設(shè)計(jì)輔助求解可以有效地解決上述問(wèn)題，在實(shí)踐中是簡(jiǎn)單可行的。

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BINARYSEARCHMETHODFORSOLVINGCATENARYPROBLEM

Ma Xu Yi Su

(SchoolofInnovationandEntrepreneurship,LiaoningUniversity,Shenyang110036,Liaoning,China)

Catenary problem is one of the problems often encountered in modern engineering practice. In the two cases that two hanging points at the same height and different heights, the paper analyzes the conventional mathematical methods for solving the catenary coefficient, sag and the abscissa of the hanging points. Due to the large amount of calculation and the error is difficult to grasp, the paper proposes the binary search programming specific ideas to assist in solving, and offers three complete programs and data for different applications, compares and analyzes the mathematical methods and programming methods. Taking the boom erection project as an example, the paper provides a complete C program and the main function flowchart, and describes in more detail the procedures to solve the relevant parameters. The above method has been applied to practice many times, and it is simple and feasible.

Binary search method Catenary Catenary coefficient Sag Error analysis C programming

TP39

A

10.3969/j.issn.1000-386x.2017.09.011

2016-11-28。國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(11304135)；遼寧省自然科學(xué)基金項(xiàng)目(201602345)；沈陽(yáng)市應(yīng)用基礎(chǔ)研究專項(xiàng)項(xiàng)目(F15-199-1-04)。馬旭，高級(jí)實(shí)驗(yàn)師，主研領(lǐng)域：計(jì)算機(jī)應(yīng)用，人工智能。易俗，實(shí)驗(yàn)師。