李志朋

【摘 要】在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，設(shè)計(jì)好例證對(duì)于揭示數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)屬性和數(shù)學(xué)規(guī)則的表征意義有著非常重要的作用。文章揭示了小學(xué)數(shù)學(xué)教師在例證設(shè)計(jì)過程中存在的常見誤區(qū)，并提出了對(duì)應(yīng)的矯正策略：科學(xué)兼顧例證數(shù)量與質(zhì)量，合理選用肯定例證與否定例證，有效融通典型例證和變式例證。

【關(guān)鍵詞】例證設(shè)計(jì)；肯定例證；否定例證；典型例證；變式例證

【基金項(xiàng)目】本文系玉溪師范學(xué)院2016年校級(jí)教改項(xiàng)目“PCK視角下的小學(xué)教育專業(yè)師范生數(shù)學(xué)教學(xué)能力培養(yǎng)研究”（項(xiàng)目編號(hào)：201604）的階段性研究成果、玉溪師范學(xué)院轉(zhuǎn)型發(fā)展工程子項(xiàng)目——應(yīng)用型本科建設(shè)項(xiàng)目“教師資格證‘國考背景下師范生教育類課程改革與教學(xué)技能訓(xùn)練的實(shí)踐研究”的階段性研究成果。

中圖分類號(hào)：G623.5 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1671-0568（2017）24-0017-02

數(shù)學(xué)例證是指能夠說明或代表數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)屬性和數(shù)學(xué)規(guī)則的表征意義的例子。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，設(shè)計(jì)好例證具有非常重要的意義。然而，現(xiàn)實(shí)教學(xué)中，部分教師或源于對(duì)例證設(shè)計(jì)的重視不足，或源于對(duì)例證設(shè)計(jì)的某些原則的誤讀，導(dǎo)致小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)在例證選擇和使用方面存在一些誤區(qū)。本文主要對(duì)小學(xué)數(shù)學(xué)教師在例證設(shè)計(jì)過程中存在的常見誤區(qū)進(jìn)行分析并提出對(duì)應(yīng)的矯正策略，以提升小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)效能。

一、常見誤區(qū)

1. 重例證數(shù)量輕例證質(zhì)量

例證的數(shù)量影響學(xué)生對(duì)概念或規(guī)則屬性的概括程度。例證太少，學(xué)生對(duì)與概念或規(guī)則相關(guān)的屬性往往理解不夠充分，就難以分析、比較、區(qū)分同類對(duì)象的本質(zhì)屬性和非本質(zhì)屬性。然而，假如認(rèn)為只要在課堂上列舉大量例證就可以幫助學(xué)生形成概念或規(guī)則的豐富表象，從而使學(xué)生理解和掌握概念或規(guī)則，這種認(rèn)識(shí)同樣是片面的。

案例1：教學(xué)“交換律”時(shí)，教師先呈現(xiàn)兩個(gè)一位數(shù)加一位數(shù)的例子（3+4=4+3，6+5=5+6），由此引出課題——加法交換律。接著讓學(xué)生每人再列舉3個(gè)類似的例子，囿于教師所列舉例證的單一性，絕大多數(shù)學(xué)生只列舉了簡單的一位數(shù)加一位數(shù)和一位數(shù)加兩位數(shù)的整數(shù)加法運(yùn)算的例子。學(xué)生展示成果結(jié)束后，教師總結(jié)：“我發(fā)現(xiàn)每位同學(xué)列舉了3個(gè)例子，我們班一共有42名同學(xué)，加起來大家已經(jīng)列舉了120多個(gè)例子，這些例子都證明‘兩個(gè)加數(shù)交換位置，和不變。這個(gè)規(guī)律就叫作‘加法交換律?！?/p>

以上案例中的教師關(guān)注了例證的數(shù)量，讓學(xué)生運(yùn)用大量例證來證明數(shù)學(xué)規(guī)則，卻忽視了所列舉例證的質(zhì)量問題，忽視了例證的廣泛代表性。這一方面容易導(dǎo)致學(xué)生對(duì)概念或規(guī)則的理解產(chǎn)生窄化現(xiàn)象。比如，以上案例的教學(xué)可能會(huì)使學(xué)生誤以為加法交化律這一規(guī)則僅適用于整數(shù)的加法運(yùn)算之中；另一方面，這樣的教學(xué)不利于學(xué)生數(shù)理邏輯思維的發(fā)展，學(xué)生難以在學(xué)習(xí)過程中體會(huì)數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，不利于引導(dǎo)學(xué)生有邏輯、全面地思考問題。

2. 重肯定例證輕否定例證

所謂“肯定例證”，也就是日常生活中的正例，即屬于概念或規(guī)則所代表的一類事物的例子?！胺穸ɡC”也就是日常生活中的反例，即不屬于概念或規(guī)則所代表的一類事物的例子?；谛W(xué)生以具體形象思維為主這一認(rèn)知特點(diǎn)的考慮，小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中往往遵循“形象——抽象——形象”的教學(xué)模式，具體到數(shù)學(xué)概念或規(guī)則的教學(xué)中便為“例證——概念/規(guī)則——例證”的模式，這樣的教學(xué)模式對(duì)于小學(xué)生理解和掌握概念或規(guī)則有著非常重要的意義。然而，在實(shí)踐中，例證的選擇和使用方面也存在只重視肯定例證而忽視否定例證的現(xiàn)象，即更關(guān)注通過肯定例證幫助學(xué)生對(duì)概念或規(guī)則的本質(zhì)屬性的確證，而忽視通過否定例證對(duì)概念或規(guī)則的非本質(zhì)屬性的剔除。

重肯定例證輕否定例證的教學(xué)易導(dǎo)致學(xué)生對(duì)概念或規(guī)則作表面化、片面化的理解，學(xué)生往往在提取肯定例證的共同屬性時(shí)將一些概念或規(guī)則的非本質(zhì)屬性混雜其中，而忽視了概念或規(guī)則的本質(zhì)屬性的抽取。最典型的例子便是學(xué)生學(xué)習(xí)“圓”這一概念時(shí)，由于教師在教學(xué)過程中僅僅引導(dǎo)學(xué)生列舉生活中“圓”的肯定例證，如車輪、光盤等圓形物體表面，結(jié)果導(dǎo)致學(xué)生在頭腦中形成 “曲線圖形就是圓”這一片面化的理解。

3. 重典型例證輕變式例證

心理學(xué)研究表明：例證的典型性影響學(xué)生對(duì)概念屬性的發(fā)現(xiàn)。例證越典型，概念的本質(zhì)屬性越明顯，學(xué)生也越容易發(fā)現(xiàn)和概括?；诖?，教學(xué)中多數(shù)教師非常重視典型例證的使用，然而也有部分教師存在對(duì)這一發(fā)現(xiàn)的誤讀，只重視在教學(xué)中發(fā)揮典型例證的作用，而忽視變式例證的價(jià)值。

案例2：教學(xué)“垂直”這一概念時(shí)，一位教師先列舉生活中的“垂直”現(xiàn)象：書桌的一條邊與另一條邊互相垂直，黑板的一條邊與另一條邊互相垂直，墻面的一條邊和地板的一條邊互相垂直，等等。在所列舉現(xiàn)象的基礎(chǔ)上抽象出數(shù)學(xué)圖形“十”，讓學(xué)生形成“互相垂直”的兩條直線的表象，然后引導(dǎo)學(xué)生得出“互相垂直的兩條直線相交成90°”這一結(jié)論。

以上的教學(xué)中只關(guān)注了“垂直”的典型例證：水平方向的直線與鉛錘方向的直線互相垂直的現(xiàn)象，而忽視了“垂直”的變式例證：方向不是水平方向或鉛錘方向的兩條直線互相垂直的情況。這樣的教學(xué)容易限制學(xué)生的思維，使學(xué)生對(duì)概念或規(guī)則的理解狹隘化。如上述案例，在教學(xué)結(jié)束后，筆者訪談學(xué)生發(fā)現(xiàn)：大多數(shù)學(xué)生頭腦中對(duì)“垂直”的理解僅限于“水平方向與鉛錘方向的兩條直線的關(guān)系”，而未真正抓住“相交成90°”這一概念的本質(zhì)屬性。

二、矯正策略

1. 科學(xué)兼顧例證數(shù)量與質(zhì)量

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，為了幫助學(xué)生全面、深刻地理解概念或規(guī)則，在關(guān)注例證數(shù)量的同時(shí)也需要考慮例證的質(zhì)量，科學(xué)地兼顧數(shù)量與質(zhì)量。具體而言，在選擇和使用例證時(shí)，應(yīng)關(guān)注例證的代表性和全面性。同樣以“交換律”教學(xué)為例，有的教師讓學(xué)生舉例時(shí)就通過設(shè)計(jì)“例子比較”這一環(huán)節(jié)，讓學(xué)生體會(huì)例證的代表性和多樣性。

案例3：教師呈現(xiàn)兩個(gè)學(xué)生所舉例子，問學(xué)生：“一位同學(xué)舉了8個(gè)例子，另一位同學(xué)只舉了3個(gè)例子，你們覺得老師更喜歡哪種呢？”endprint

學(xué)生在比較中發(fā)現(xiàn)：第二位同學(xué)雖然舉的例子數(shù)量少，但是較為豐富、全面。在此基礎(chǔ)上，教師又引導(dǎo)學(xué)生列舉分?jǐn)?shù)加法運(yùn)算和小數(shù)加法運(yùn)算的例子，以此引導(dǎo)學(xué)生感受：在驗(yàn)證數(shù)學(xué)概念或規(guī)則時(shí)，所舉的例子應(yīng)具有代表性和全面性，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生感悟：數(shù)學(xué)是一門嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科。

2. 合理選用肯定例證與否定例證

在教學(xué)中，將肯定例證與否定例證相結(jié)合，有利于學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)概念或規(guī)則。在教學(xué)“圓”這一概念時(shí)，如果列舉了一些“圓”的肯定例證之后，教師能適時(shí)地引入“橢圓”這一否定例證，就有助于學(xué)生剔除“曲線”這一非本質(zhì)屬性，從而進(jìn)一步把握“圓”這一概念的本質(zhì)屬性。

在將肯定例證與否定例證相結(jié)合時(shí)，需要注意否定例證的呈現(xiàn)時(shí)機(jī)。一般而言，否定例證在學(xué)生對(duì)概念或規(guī)則有了一定理解的基礎(chǔ)上呈現(xiàn)，效果較好。如果在學(xué)生初步接觸概念或規(guī)則時(shí)就呈現(xiàn)否定例證，有可能使錯(cuò)誤觀念先入為主，對(duì)概念或規(guī)則的理解產(chǎn)生干擾。除此之外，選擇和使用否定例證時(shí)，還需注意應(yīng)盡可能選擇和使用那些具有一定迷惑性的否定例證，因?yàn)檫@樣的否定例證更容易產(chǎn)生認(rèn)知沖突，能幫助學(xué)生剔除概念或規(guī)則中的非本質(zhì)屬性，進(jìn)一步把握其本質(zhì)屬性。

3. 有效融通典型例證和變式例證

典型例證重在讓學(xué)生把握概念的內(nèi)涵，變式例證更有利于幫助學(xué)生拓展概念的外延。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，先呈現(xiàn)若干典型例證，保證其相同的屬性；再呈現(xiàn)若干變式例證，使無關(guān)特征在不斷變化的同時(shí)總保持本質(zhì)特征不變。這樣的教學(xué)有利于學(xué)生把握概念的本質(zhì)屬性和規(guī)則的運(yùn)用范圍。例如，教學(xué)“垂直”這一概念時(shí)，學(xué)生建立了“十”的表象之后，呈現(xiàn)方向不是水平方向或鉛錘方向的兩條直線互相垂直的情況，提出疑問：“這樣的兩條是否互相垂直？”引導(dǎo)學(xué)生思考：判斷兩條直線是否互相垂直的標(biāo)準(zhǔn)是“兩條直線是否相交成90°”。在學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生不被圖像的表象所迷惑，而關(guān)注事物的本質(zhì)特征，達(dá)到對(duì)概念或規(guī)則全面、深刻的理解。

例證是影響學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念、規(guī)則的重要因素，它是學(xué)生感知、概括數(shù)學(xué)概念和規(guī)則的重要載體。因此，在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，需要教師根據(jù)數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)屬性、數(shù)學(xué)規(guī)則的表征意義，科學(xué)地選擇和設(shè)計(jì)呈現(xiàn)給學(xué)生的例證，兼顧例證的數(shù)量和質(zhì)量，充分選用肯定例證、否定例證、典型例證和變式例證，以此提升數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的效能。

參考文獻(xiàn)：

[1] 黃偉星.數(shù)學(xué)概念教學(xué)過程中的例證設(shè)計(jì)[J].教育研究與評(píng)論（小學(xué)教育教學(xué)），2010，（4）：27-29.

[2] 林武.小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)——行與思[M].北京：教育科學(xué)出版社，2014：159.

（編輯：易繼斌）endprint