袁鵬亮，史 朝

(1.慶陽職業(yè)技術學院 能源工程系，甘肅 慶陽745000； 2.西北工業(yè)大學 電子信息學院，陜西 西安 710129； 3.成都信息工程大學 電子工程學院，四川 成都 610103)

WOA算法的非均勻稀布陣列優(yōu)化方法

袁鵬亮1,2，史 朝3

(1.慶陽職業(yè)技術學院 能源工程系，甘肅 慶陽745000； 2.西北工業(yè)大學 電子信息學院，陜西 西安 710129； 3.成都信息工程大學 電子工程學院，四川 成都 610103)

鯨算法(Whale Optimization Algorithm，WOA)是最近新提出的一種仿生算法，具有操作簡便、搜索快速的突出特點，有非常優(yōu)異的應用前景。在陣列綜合方面，WOA算法還沒有引起重視，目前所知，還沒有具體的應用文獻記錄發(fā)表。就WOA在陣列綜合的非均勻線陣綜合方法進行了有益的探索，通過對算法的適當改進和拓展，將WOA應用到非均勻陣列的約束性問題的優(yōu)化上，主要實現(xiàn)了對非均勻陣列的陣元間距和數(shù)目約束的二元約束問題與主波束寬度的約束問題的優(yōu)化。仿真結(jié)果表明，WOA算法對于非均勻稀布陣列的約束性優(yōu)化問題是有效的，并且與GA和PSO算法等進化算法相比，WOA算法在計算速度和穩(wěn)健性上有更大的優(yōu)勢。

鯨算法；陣列綜合；非均勻線陣；稀布化

0 引言

陣列綜合是電磁場與電磁波理論研究的一個重要方向，多年以來，已經(jīng)廣泛應用到雷達、微波和遠程感知等諸多領域。在實際的工程應用當中，許多場合基于通信質(zhì)量以及功率等諸多方面的考量，往往對于陣列天線的遠場輻射方向圖會提出一些特殊的要求，例如，在雷達掃描中，更多時候需要的是扇形波面，而在衛(wèi)星通信領域，為了提高功率的節(jié)約和傳輸?shù)臏蚀_性，需要的輻射方向圖一般應該具有窄主瓣低旁瓣的特征，在地面的移動通信當中，則更多需要天線的遠場方向圖具有深零陷的特征，以便能夠更好地解決信道的擁塞、對消干擾等現(xiàn)實問題[1]。

迄今為止，伴隨各種通信技術的蓬勃發(fā)展和在生產(chǎn)生活的大量應用，廣泛的需求使得陣列天線的遠場輻射方向圖的旁瓣壓制成為陣列綜合的重要的研究方向之一。通過旁瓣的壓制手段使得旁瓣電平的峰值PSLL(Peak Sidelobe Level)減小，達到在某些干擾存在的掃描角度的干擾對消進而實現(xiàn)信道有效傳輸并且提高通信質(zhì)量等目的[2]。

在最初，陣列綜合的研究主要集中在均勻陣列上。而在文獻[3]，kumar利用分數(shù)階勒讓德變換法綜合了非均勻線陣，取得了較低的PSLL效果。由于采用的方法并非迭代搜索型方法，在計算時間和內(nèi)存節(jié)約上有了改善，尤其對于實際工程應用中的約束性問題適用，但文中沒有涉及到孔徑約束的問題研究。針對這一問題，在文獻[4]利用改進的GA算法進行了具體的研究，尤其是在孔徑約束和陣元個數(shù)約束的雙重條件的規(guī)范下，取得了較文獻[3]更好的結(jié)果，此后，在文獻[5]針對這一算法在陣列稀疏化方面進行了進一步的研究。類似的研究還出現(xiàn)在文獻[6-7]。隨新算法的不斷出現(xiàn)，對于一些類似GA的其他進化算法在陣列綜合中的應用研究開始出現(xiàn)[8-13]。文獻[14-17]就是利用PSO算法對文獻[4]中算例的優(yōu)化，結(jié)果表明可以優(yōu)化出更低PSLL所需要的陣元間距分布。值得一提的是，基于壓縮感知理論的陣列綜合方法在文獻[18-20]相繼研究，這種方法將陣列綜合理解為一概率性問題，利用快速相關向量機(RVM)來求解。目前數(shù)據(jù)表明，在計算效率上明顯改善。另外，凸優(yōu)化方法也被引入到陣列的綜合當中[21-24]。

雖然以前的文獻中已經(jīng)提出了陣列綜合的一些方法，但是對于時間和效率以及內(nèi)存的節(jié)省等方面的綜合考量，使得尋求一些新的算法顯得甚為必要。WOA算法是2016年新提出的一種算法[25]，計算快速便捷，目前所知還沒有該算法在陣列天線研究領域的文獻討論過，本文就WOA算法在含有約束性條件的非均勻稀布陣列綜合方面進行較為深入的研究。

1 陣列稀布化的模型建立

本文研究的陣列孔徑假設限定在2L范圍，若為奇數(shù)陣，則陣元的總數(shù)目可以寫為2N+1，陣元呈中心對稱分布且各向同性，陣元的激勵為均勻等幅激勵。當陣列孔徑尺寸的約束條件存在，為了維持孔徑長度，不妨可以取左右2個末端的陣元間距為dN=L，d-N=-L,進而通過算法來優(yōu)化獲取本算法最優(yōu)的陣元位置。對于一個線陣，其遠場輻射方向圖可以表示為:

(1)

式中，In為第n個陣元產(chǎn)生的激勵，在本文設定為1，不會對結(jié)果產(chǎn)生影響；θ為觀察角，θ∈[0，180],u=cosθ；k為波數(shù)，k=2πλ。由于陣元的分布是中心對稱，于是式(1)可以改寫為：

(2)

對于正半軸，de若為最小的孔徑約束長度，在半孔徑L上剩余的可用于優(yōu)化的有效孔徑空間為：

SP=L-(N-1)de。

(3)

若把正半軸每個陣元的坐標表示為：

d=[0,d1,d2,…,dN-2,L]，

(4)

那么，右半孔徑的陣元位置矢量就為：

(5)

目的就是優(yōu)化陣元位置矢量X，以得到PSLL較低的陣元位置矢量的分布。于是，針對X的約束條件可以描述為：

find{X|x1,x2,…,xN-2}
min‖F(xiàn)(θ)‖,θ∈ΘS
s.t.
di-dj≥de>0,i,j∈z,
-N≤j

(6)

式中，‖·‖為向量無窮范數(shù)；ΘM和ΘS分別為主波束、旁瓣波束的矢量空間。據(jù)此，算法的適應度函數(shù)可構(gòu)建為如下形式：

(7)

式中，F(xiàn)max為輻射方向圖的最大幅值。在此，按照最小化的目標方向構(gòu)造目標函數(shù)，目標函數(shù)則表示為:

f(di)=min{fitness(d1,d2,…,dN-1)}。

(8)

2 WOA算法流程

WOA算法是一種隨機的仿生優(yōu)化算法，基于模仿座頭鯨泡泡網(wǎng)獵食的反饋策略而形成的[22]。其數(shù)學模型主要有3個過程：包圍目標、螺旋形泡泡網(wǎng)反饋策略和獵取目標。圖1中，P是一個隨機數(shù)，取值小于0.5，選擇CSM(Circle Shrinking Machinism)，反之，選擇SUM(Spiral Uping Machnism)。a由2到0線性減小，r在[0,1]隨機選取。WOA算法的流程圖如圖1所示。

圖1 WOA算法的流程圖

WOA算法的控制系數(shù)主要是A、C，控制參數(shù)相對較少，計算速度快效率高，易于實現(xiàn)。由于是一種新算法，目前應用研究基本沒有，因此具有很大的應用前景。

3 實驗結(jié)果及分析

通過2個實例來說明WOA方法的有效性和計算速度。第一個例子是利用WOA對限定孔徑的線陣進行稀布化優(yōu)化處理，以實現(xiàn)最低PSLL的陣元間距分布，另一個例子是對128陣元的陣列進行稀布化，實現(xiàn)在FNBW(First Null Beamwidth)限定的約束條件下以最少陣元取得最低的PSLL。仿真的硬件配置：主頻2.66 GHz，內(nèi)存2 GB，Matlab版本號為R2012b。

3.1 對37陣元的非均勻陣列稀布化

本例來自文獻[3]，以便于對比。考慮一個37陣元的中心對稱陣列，半孔徑的陣元個數(shù)則為18，設定陣元為各向同性，陣列間距不小于λ/2，根據(jù)原文獻優(yōu)化的數(shù)據(jù)，可以計算出陣列的孔徑的尺寸為21.996λ。

依上所述，利用WOA算法，設定陣元的數(shù)目為37，則N=18，陣列的孔徑尺寸限定為L=21.996λ，陣元間距de≥λ/2。

在此，WOA算法的基本參數(shù)設定：初始種群數(shù)目選為10，初始種群的產(chǎn)生采用均勻分布的隨機數(shù)生成器，搜索空間的元素值的上界ub=1.5，下界lb=0.3。問題的優(yōu)化維度為18，迭代的最大次數(shù)為300。

獨立進行了10次仿真實驗，WOA優(yōu)化得到的陣元間距的仿真結(jié)果如表1所示，為了便于比較，文獻[3-4]和文獻[14]的優(yōu)化結(jié)果也一并列出。

表1 陣元間距的優(yōu)化結(jié)果對比

間距文獻[3]文獻[4]文獻[14]WOA0～10.5000.5020.5000.5001～20.5000.5010.5000.5002～30.5000.5000.5000.5003～40.5000.5000.5000.5004～50.5000.5010.5000.5005～60.5000.5000.5000.5006～70.5000.5040.5000.5007～80.5000.5710.5000.5008～90.5890.5360.5000.5009～100.6330.5200.5000.50010～110.6640.5870.8090.80911～120.6870.5710.5880.58512～130.7070.7740.6380.63313～140.7220.7040.7460.74714～150.7351.0070.8840.88415～160.7460.8800.8930.89416～170.7540.8300.9220.92417～180.7610.50500.5150.518PSLL-19.415 -20.560 -20.627 -20.684

由表1可以看出，WOA與FLT、MGA、IPSO方法相比，取得了更低的PSLL，表明在旁瓣電平的壓制方面WOA算法是行之有效的，并且WOA算法的每次優(yōu)化只需要5 s的時間，非?？焖?，本文的硬件配置較低，在目前標準的硬件配置上優(yōu)化會更快、用時更少。通過以上分析可以看出，WOA算法在本例的陣列的綜合中收斂性能好，也是行之有效的綜合方法。

WOA與FLT、MGA、IPSO方法的方向圖如圖2所示。為對比方便，沿y軸從下至上依次做了5 dB的偏移。

圖2 WOA算法與其他算法的方向圖

本例中最優(yōu)和平均的迭代過程的收斂曲線如圖3所示。可以看出，得到最優(yōu)解的迭代過程中WOA算法能夠快速的收斂到最優(yōu)解，平均的迭代過程收斂曲線同樣可以收斂迅速，說明WOA算法具有快速、穩(wěn)健的特點。

圖3 收斂曲線

3.2 對128陣元非均勻陣列的稀布化

在本例中，陣列的陣元數(shù)目為128，各向同性的陣元總體呈中心對稱分布。約束條件是在稀布處理前后FNBW維持不變。在此，WOA算法的基本參數(shù)設定：初始種群數(shù)目選為10，初始種群的產(chǎn)生采用均勻分布的隨機數(shù)生成器，搜索空間的元素值的上界ub=1.5，下界lb=0.3。問題的優(yōu)化維度為18，迭代的最大次數(shù)為300，優(yōu)化的維度依陣元個數(shù)而變。

優(yōu)化的仿真試驗共進行了10次。限于篇幅，表2列出了優(yōu)化過程中4次的最優(yōu)和最差的優(yōu)化結(jié)果。

表2 4次優(yōu)化過程中最優(yōu)值與最差值的比較

運行次數(shù)陣元個數(shù)PSLL/dB孔徑尺度運行時間/s1最優(yōu)結(jié)果38-21.490517.8315λ28.25最差結(jié)果81-16.632756.2495λ28.342最優(yōu)結(jié)果47-21.171923.5033λ28.71最差結(jié)果62-17.593326.2654λ28.453最優(yōu)結(jié)果58-21.167225.1162λ28.13最差結(jié)果92-16.703175.4857λ28.694最優(yōu)結(jié)果72-21.514645.988λ26.53最差結(jié)果32-19.405119.188λ7.11

從表2可以看出，最優(yōu)結(jié)果的PSLL基本都在-21.2 dB左右，運行時間基本都在28 s左右，趨于穩(wěn)定，F(xiàn)NBW在2°,最優(yōu)的稀布結(jié)果是38陣元，陣元的填充率降低到30%，大大節(jié)約了功率，且PSLL還有一定幅度的再度壓低?？讖匠叽缱顑?yōu)的結(jié)果是17.831 5λ。在運行時間最小時，優(yōu)化得到的陣元個數(shù)最小，但PSLL較大。

最優(yōu)的稀布陣的方向圖如圖4所示。圖4中畫出了最優(yōu)和最差的優(yōu)化結(jié)果的方向圖，為便于顯示，最差結(jié)果沿y軸做了20的平移，F(xiàn)NBW保持在2°。4次迭代的最優(yōu)結(jié)果的收斂曲線以及平均收斂曲線如圖5所示。通過圖4可以看到，最差結(jié)果的方向圖旁瓣的幅度普遍高于最優(yōu)結(jié)果的旁瓣幅度，最差結(jié)果的密集程度說明陣元總數(shù)目較大。

圖4 最優(yōu)稀布陣的方向圖

圖5 4次最優(yōu)結(jié)果的WOA收斂曲線

由圖5可以看出，收斂曲線幾乎都在60次迭代左右即能到達最優(yōu)值0.5 dB左右的搜索空間附近，并且收斂曲線走向基本一致，充分說明WOA算法收斂速度快，且具有強的穩(wěn)健性。

4 結(jié)束語

針對一般隨機搜索算法在非均勻稀布陣列的優(yōu)化問題中計算代價較大的問題，尤其是在含有孔徑約束、主波束寬度約束問題方面，將最新提出的WOA算法引入到這些問題的解決方案當中。本文利用WOA算法的隨機搜索快速的特點，研究了在含有孔徑約束和間距約束的雙重約束情況下線陣的間距優(yōu)化問題，構(gòu)造出了相應合理的優(yōu)化目標函數(shù)和適應度函數(shù)。在此基礎上，進一步對較大規(guī)模陣列含有主波束寬度約束的問題進行了優(yōu)化。由于WOA算法在隨機搜索過程中過程的更新因子較少，避免了較為復雜的大量迭代運算過程，節(jié)省了內(nèi)存空間和計算時間，在時間和空間的雙重維度上實現(xiàn)了較大的性能優(yōu)化，實用性和穩(wěn)健性較高，具有較好的應用前景。

[1] BALANIS C A.Antenna Theory:Analysis and Design[M].New Jersey:Harper&Row,1982：989-990.

[2] 薛正輝,李偉明,任武.陣列天線分析與綜合[M].北京：北京航空航天大學出版社,2011：103-106.

[3] KUMARB P,BRANN ER G R.Generalized Analytical Technique for the Synthesis of Unequally Spaced Arrays with Linear,Planar,Cylindrical or Spherical Geometry[J].IEEE Transactions on Antennas & Propagation,2005,53(2):621-634.

[4] 陳客松,何子述,韓春林.非均勻線天線陣優(yōu)化布陣研究[J].電子學報，2006,34,(12):2263-2267.

[5] CEN L,YU Z L,SER W,et al.Linear Aperiodic Array Synthesis Using an Improved Genetic Algorithm[J].IEEE Transactions on Antennas & Propagation,2012,60(2):895-902.

[6] HAUPT R L.Thinned Arrays Using Genetic Algorithms[J].IEEE Transactions on Antennas & Propagation,1994,42(7):993-999.

[7] YUAN J,ZHOU H,GUO C,et al.Efficient Optimization of Shaped-beam Sparse Linear Antenna Arrays Using Genetic Algorithm[C]∥International Conference on Microwave and Millimeter Wave Technology,2012:1-4.

[8] ZAMAN M A,MATIN M A.Nonuniformly Spaced Linear Antenna Array Design Using Firefly Algorithm[J].International Journal of Microwave Science & Technology,2012(5):408-412.

[9] LI X,MA S,YANG G.Synthesis of Difference Patterns for Monopulse Antennas by an Improved Cuckoo Search Algorithm[J].IEEE Antennas & Wireless Propagation Letters,2016,151(16):141-144.

[10] KURUP D G,HIMDI M,RYDBERG A.Synthesis of Uniform Amplitude Unequally Spaced Antenna Arrays Using the Differential Evolution Algorithm[J].IEEE Transactions on Antennas & Propagation,2003,51(9):2210-2217.

[11] YAN K K,LU Y.Sidelobe Reduction in Array-pattern Synthesis Using Genetic Algorithm[J].IEEE Transactions on Antennas & Propagation,1997,45(7):1117-1122.

[12] QUEVEDO-TERUEL O,RAJO-IGLESIAS E.Ant Colony Optimization in Thinned Array Synthesis with Minimum Sidelobe Level[J].IEEE Antennas & Wireless Propagation Letters,2006,5(1):349-352.

[13] RAJO-IGLESIAS E,QUEVEDO-TERUEL O.Linear Array Synthesis Using an Ant-colony-optimization-based Algorithm[J].IEEE Antennas & Propagation Magazine,2007,49(2):70-79.

[14] 劉姜玲,王小謨.改進粒子群算法綜合有間距約束的稀布陣列[J].微波學報,2010,26(5):7-10.

[15] 張建南,劉以安,王剛.基于優(yōu)化粒子群算法的無人機航路規(guī)劃[J].傳感器與微系統(tǒng),2017,36(3)：58-61.

[16] 王慧,王光宇,潘德文.基于改進粒子群算法的移動機器人路徑規(guī)劃[J].傳感器與微系統(tǒng),2017,36(5)：77-79.

[17] 侯大軍,朱偉興.基于改進粒子群算法的最優(yōu)特征子集研究[J].傳感器與微系統(tǒng),2010,29(9)：64-66.

[18] OLIVERI G,MASSA A.Bayesian Compressive Sampling for Pattern Synthesis With Maximally Sparse Non-uniform Linear Arrays[J].IEEE Transactions on Antennas & Propagation,2011,59(2):467-481.

[19] OLIVERI G,CARLIN M,MASSA A.Complex-weight Sparse Linear Array Synthesis by Bayesian Compressive Sampling[J].IEEE Transactions on Antennas & Propagation,2012,60(5):2309-2326.

[20] OLIVERI G,WERNER D,BILOTTI F,et al.Reconfigurable Electromagnetics through Metamaterials[J].International Journal of Antennas and Propagation,2014(1):1-2.

[21] NAI S E,SER W,YU Z L,et al.Beampattern Synthesis for Linear and Planar Arrays With Antenna Selection by Convex Optimization[J].IEEE Transactions on Antennas & Propagation,2011,58(12):3923-3930.

[22] FUCHS B.Synthesis of Sparse Arrays With Focused or Shaped Beampattern via Sequential Convex Optimizations[J].IEEE Transactions on Antennas & Propagation,2012,60(7):3499-3503.

[23] PRISCO G,D′URSO.M.Maximally Sparse Arrays via Sequential Convex Optimizations[J].IEEE Antennas & Wireless Propagation Letters,2012,52(11):192-195.

[24] LEBRET H,BOYD S.Antenna Array Pattern Synthesis via Convex Optimization[J].IEEE Transactions on Signal Processing,1997,45(3):526-532.

[25] MIRJALILI S,LEWIS A.The Whale Optimization Algorithm[J].Advances in Engineering Software,2016,95(4):51-67.

SynthesisofNon-uniformLinearArrayAntennaBasedonWOA

YUAN Peng-liang1,2,SHI Zhao3

(1.DepartmentofEnergyandEngineering,QingyangVocationalandTechnologyCollege,QingyangGansu745000,China; 2.SchoolofElectronicsandInformation,NorthwesternPolytechnicalUniversity,Xi’anShaanxi710129,China; 3.CollegeofElectronicEngineering,ChengduUniversityofInformationTechnology,ChengduSichuan610103,China)

The WOA(whale optimization algorithm) is recently proposed as a new algorithm,which has promising application in the future due to its key characteristics of convenience and efficency.Research on this subject is not appear in public so far.In this paper,the application of WOA in synthesis of nonuniform linear array is described in detail,both in the sparsing of nonuniform linear array and in the supressing sidelobe level.The results show that WOA is effective on constraining synthesis of nonuniform sparse array,and outperforms other evolutionary algorithm such as GA and PSO in the characteristics of computing time and robust performance.

WOA;synthesis of array;nonuniform linear array;sparsing

10.3969/j.issn.1003-3106.2017.10.12

袁鵬亮，史朝.WOA算法的非均勻稀布陣列優(yōu)化方法[J].無線電工程,2017,47(10)：53-58.[YUAN Pengliang,SHI Zhao.Synthesis of Non-uniform Linear Array Antenna Based on WOA[J].Radio Engineering,2017,47(10):53-58.]

TN821

A

1003-3106(2017)10-0053-06

2017-06-11

國家自然科學基金資助項目(41505031)；甘肅省高等學?？蒲谢鹳Y助項目(2016B-190)。

袁鵬亮男，(1980—)，碩士研究生，在讀博士，講師。主要研究方向：陣列天線優(yōu)化與逆向設計、RF通信。史朝男，(1981—)，博士，副教授。主要研究方向：多普勒雷達信號信息處理。