周 松,呂 堯,呂公河,舒國旭,石太昆,霍守東

(1.中石化石油工程地球物理有限公司,北京100020;2.中國科學院地質與地球物理研究所,北京100029)

基于壓縮感知的非規(guī)則地震勘探觀測系統(tǒng)設計與數(shù)據重建

周 松1,呂 堯2,呂公河1,舒國旭2,石太昆2,霍守東2

(1.中石化石油工程地球物理有限公司,北京100020;2.中國科學院地質與地球物理研究所,北京100029)

提出了基于壓縮感知的非規(guī)則觀測系統(tǒng)優(yōu)化設計和地震數(shù)據重建方法?；谪澬男蜇灢呗?利用逐個選取采樣點位置的方法來降低感知矩陣的最大互相關值,從而完成非規(guī)則觀測系統(tǒng)的優(yōu)化;利用L0正則化和L1正則化混合迭代的方法求解欠定采樣矩陣,重建地震記錄,獲得良好的效果。進行了TFT工區(qū)實際觀測系統(tǒng)的設計,鑒于接收電纜長度的限制,添加最大道間距和最小道間距作為觀測系統(tǒng)設計過程中的約束,得到了符合實際勘探要求的非規(guī)則觀測系統(tǒng)的優(yōu)化設計。該方法為三維高密度地震勘探的大規(guī)模開展提供了有效的方案。

壓縮感知;稀疏;非規(guī)則;觀測系統(tǒng)設計;數(shù)據重建

隨著我國油氣資源勘探向中西部發(fā)展,地球物理的研究也逐漸轉向地表構造復雜的區(qū)域。在這些區(qū)域進行勘探,不論是資料采集,還是后期的資料處理和解釋,都對地球物理人員提出了更高的要求。

對于地震勘探來說,在復雜地區(qū)施工,往往會遇到峭壁、河流、溝壑、村莊和工業(yè)區(qū)等不易甚至無法布置檢波器的情況,從而給數(shù)據的采集帶來了一定的困難,甚至導致無法采集的情況發(fā)生。如果因為這些原因導致原始數(shù)據的大量缺失,就會嚴重影響整個工區(qū)的勘探質量和成像效果,從而給資料解釋帶來困難。

經典信號采集理論一般都會遵循Shannon-Nyquist采樣定理,即:若要使采集到的數(shù)據能不失真地保持原信號中的信息,采樣頻率必須是原信號頻帶寬度的兩倍以上。地球物理的野外資料采集也都遵循該定理。為了描述目標體的精細特征,往往需要采集更精確的信號,因此,需要通過在空間上加密采樣點數(shù)和在時間上減小采樣間隔來實現(xiàn)。這樣的采集方式大大增加了采集的數(shù)據量,從而導致采集成本的急劇增高。

基于信號稀疏性的采樣理論[1-2]的壓縮感知(Compressed Sensing,CS)在圖像壓縮、無線通信、模式識別和醫(yī)療成像等研究領域受到了格外的關注。2006年,CANDES等[3]提出基于壓縮感知的信號恢復技術,大大推動了壓縮感知在地球物理勘探方面的應用。

壓縮感知技術的發(fā)展和應用基于大部分信號都可以進行稀疏表示。在稀疏域對信號進行重建,可以獲得原始的真實信號。壓縮感知技術突破了Shannon-Nyquist采樣定理的局限,大大節(jié)省了采集數(shù)據所占的空間,成為提高地震勘探效率的重要方法。

目前,壓縮感知理論在地球物理勘探領域得到廣泛應用[4-15]?；趬嚎s感知理論,HERRMANN等[4]提出了一種多震源的采集框架;MOLDOVEANU[5]探索了海上數(shù)據采集的隨機觀測方法;MOSHER等[6-7]提出并完善了一種在觀測系統(tǒng)設計中基于約束條件的更優(yōu)選擇激發(fā)點和接收點位置的非均勻采樣方法;陳生昌等[8]提出了一種針對地球物理數(shù)據的高效采集方法,并通過歸一化各列數(shù)據的感知矩陣的互相關系數(shù)最小作為約束條件來設計最優(yōu)的采集方案。

基于壓縮感知的地震采集技術,獲得的數(shù)據需要進行重建[9-10]。HENNENFENT等[11]提出了利用抖動欠采樣進行波場重建的方法,并基于曲波變換進行了地震數(shù)據的重建;WU等[12]提出了Dreamlet域地震成像和數(shù)據重建的方法;LI等[13]提出了基于插值壓縮感知的數(shù)據重建方法(interpolated Compressive Sensing,interpolated CS),設計了非均勻優(yōu)化采樣觀測系統(tǒng)(Non-Uniform Optimal Sampling,NUOS),并通過地震數(shù)據重建,分別在海上和陸上取得了良好的試驗效果;王華忠等[14]詳細討論了壓縮感知技術在地震勘探應用中的問題和難點,從不同方面展示了壓縮感知的有效應用。本文通過降低感知矩陣的最大互相關值,從而進行非規(guī)則觀測系統(tǒng)的優(yōu)化設計;并利用L0正則化和L1正則化混合迭代的方法進行欠定采樣矩陣的求解,完成了地震數(shù)據的重建。

1 基于壓縮感知的非均勻觀測系統(tǒng)設計方法

壓縮感知理論的基本假設是目標信號具有稀疏性或者可壓縮性,也就是說,目標信號或者其在某個變換域中只有有限個成分不等于0(對應稀疏性),或者只有有限個成分遠大于0(對應可壓縮性)。若目標信號有K個成分不等于0,則稱該信號為K稀疏的。

假設具有稀疏性或者可壓縮性的目標信號為x,稀疏變換采用傅里葉變換F,則正交稀疏基為傅里葉基函數(shù)或分窗傅里葉基函數(shù),于是有:

(1)

式中:s為信號x在傅里葉域的稀疏表示;(·)H表示共軛轉置。

這樣采集得到的數(shù)據可以看作是采樣函數(shù)或采樣矩陣與目標信號相乘的結果。記采樣矩陣為Φ,當進行滿采樣時,有Φ=I,其中,I表示單位矩陣。當不能滿足滿采樣條件(如采樣數(shù)不足)時,Φ為I抽出的若干列組成的矩陣,只有采樣位置對應的列向量被保留,則有采樣數(shù)據:

(2)

式中:Ψ=ΦFH記為感知矩陣。

(3)

JAMAIL-RAD等[16]指出,感知矩陣列向量間的最大互相關值即為非規(guī)則采樣歸一化頻譜的最大非零頻率振幅。在頻率域,采樣數(shù)據y的頻譜是感知矩陣Ψ的頻譜和目標信號的稀疏表達s的頻譜之間卷積作用的結果。μ就是因為非規(guī)則采樣造成傅里葉基(稀疏基)的正交性被破壞所引起的最大頻譜泄漏,壓制μ使感知矩陣Ψ的頻譜近似Delta函數(shù),否則,感知矩陣Ψ的頻譜出現(xiàn)多個峰,與稀疏表達s卷積作用后,將在頻率域(稀疏域)產生“假頻”噪聲。CANDES等[17]指出,μ越小,則信號在非規(guī)則采樣后能夠重建的概率就越高。由于Ψ=ΦFH,其中F是固定的,因此,在采樣數(shù)目不足時,可以通過改變采樣矩陣Φ,即改變非規(guī)則采樣點的分布來降低最大互相關值,從而優(yōu)化采樣矩陣,提高目標信號重建的概率,即:

(4)

JAMAIL-RAD等[16]給出了μ達到下界時的一種確定性采樣方式,然而這種采樣方式只在一些特定的條件下才能成立。注意到該優(yōu)化問題是非凸的,具體優(yōu)化時只要能夠找到局部最優(yōu)解就足夠滿足需求[18-19]。這里我們采用貪心序貫策略來優(yōu)化采樣點的位置,進而構建采樣矩陣。具體策略如下:

1) 首先確定目標信號的網格點數(shù)目和間距,將所有目標信號的網格點作為候選采樣點;

2) 遍歷所有候選采樣點,計算將其加入采樣矩陣后的μ值,取使μ值最小的候選點作為新的采樣點,更新采樣矩陣;

3) 重復步驟2)的操作,直到采樣點數(shù)達到規(guī)定數(shù)目;

4) 在初步選定規(guī)定數(shù)目的采樣點位置后,利用時間抖動(Jitter)方法[18-19],以(4)式為目標,進行采樣微調,最終確定采樣矩陣。

以一維簡單情況為例,假設在751個網格點上,選取375個點(近50%)作為采樣點。當規(guī)則采樣時,采樣點分布及其歸一化后的傅里葉譜如圖1所示?？梢钥闯?欠采樣的規(guī)則采樣函數(shù)會產生很強的頻譜泄漏,造成假頻混疊。同樣的網格和采樣點數(shù),當隨機采樣時,采樣點分布及其歸一化后的傅里葉譜如圖2所示?？梢钥吹?隨機產生的非規(guī)則采樣降低了采樣矩陣與傅里葉矩陣的相關性,沒有假頻產生,但是在整個頻率范圍都出現(xiàn)了很低的頻譜泄漏,最大幅值為0.7949×10-1。保持網格和采樣點數(shù)目不變,采用貪心序貫策略獲得優(yōu)化的非規(guī)則采樣,采樣點分布及其歸一化后的傅里葉譜如圖3所示。圖3 中采樣點非均勻分布,壓制了假頻,降低了整個頻率范圍內的頻譜泄漏,頻譜泄漏的最大幅值0.5382×10-1,比隨機采樣的頻譜泄漏小。

由壓縮感知原理可知,更小的頻譜泄漏表明由非規(guī)則采集而造成的漫布在整個頻帶內的雜亂噪聲更弱,這樣采樣頻譜就更加逼近規(guī)則滿采樣時的頻譜,更有利于目標信號的重構,優(yōu)化后的非規(guī)則采樣比隨機采樣所得到的數(shù)據能夠完美重建的概率更高。當采樣點數(shù)較少或者采樣率較低時,這種差異更加明顯。而當采樣點較多時,采樣條件往往會受其它因素如地形、實際施工條件限制等影響,此時可在采樣點優(yōu)化設計過程中加入這些約束,從而得到滿足施工要求的采集方案,這是隨機采樣很難實現(xiàn)的。另外,對于某些二次施工工區(qū),采樣設計時還需要考慮其它指導目標如地下照明、數(shù)值模擬恢復信號的信噪比等,此時可在優(yōu)化目標(4)式中加入其它約束項,然后優(yōu)化完成滿足要求的非規(guī)則采樣點設計,這也是隨機采樣很難實現(xiàn)的。

圖1 規(guī)則采樣點分布(a)及其頻譜(b)

圖2 隨機采樣點分布(a)及其頻譜(b)

圖3 非規(guī)則優(yōu)化采樣點分布(a)及其頻譜(b)

(5)

式中:Fx和Fy分別為x方向和y方向上的傅里葉變換矩陣。

引入向量化操作[16],將二維目標信號轉化為一維信號。向量化算子:

(6)

表示將任意矩陣A各列疊加排列成一個很長的列向量a。向量化算子具有如下性質:

(7)

(8)

(9)

于是,可以通過最小化最大互相關值來確定采樣算子G,即:

(10)

采用貪心序貫策略解決該問題時,需要增加候選網格的維度。考慮到非規(guī)則采樣在滾動排列上的復雜性,實際施工的試驗區(qū)采用了非滾動全檢波點接收的方案,降低了炮點和檢波點的聯(lián)系。這里,將炮點和檢波點的分布進行獨立設計,減少了計算量。同時,假設沒有地下構造的先驗信息,僅憑目標信號的采樣網格精度和采樣數(shù)目來約束設計方案。

在實際觀測系統(tǒng)設計優(yōu)化時,需要根據實際情況添加一定的約束條件。特別是在設計檢波點位置時,考慮到設備的實際情況,需要添加約束條件。第一是檢波線距非規(guī)則,檢波點非規(guī)則地分布在這些檢波線上,而不是所有檢波點都完全分散分布;第二是相鄰檢波器之間的最大距離受實際施工時電纜線長度的限制?？紤]到這些因素,在設計檢波點位置時,先優(yōu)化檢波線的位置,以(4)式為優(yōu)化目標;然后固定檢波線的位置,將M個采樣點位置平均分布在Nx×Ny的網格上,然后利用Jitter采樣[17]的方式,讓采樣點在初始位置附近抖動取值,以(10)式為目標進行迭代優(yōu)化。每次迭代只抖動其中一個采樣點,而其它點保持不變,取使μ最小的位置為新的采樣點,更新該點位置,然后選擇下一個點進行抖動,進行下一次迭代,直到抖動任何一個采樣點均不能使μ變小為止[18]。為加速迭代收斂,可以先讓各采樣點在平均分布位置附近隨機抖動,然后以此為初始條件進行迭代優(yōu)化,同樣可以達到滿足要求的優(yōu)化設計結果。

對炮點進行設計時,考慮最大炮間距和最小炮間距,在炮間距限制范圍之內進行優(yōu)化設計,使得非規(guī)則炮點的位置在目標網格上完全打散分布。此時可以根據序貫思想,利用貪心算法,逐個添加炮點位置以使得當前的μ最小。每步迭代先固定之前已有的所有采樣點,然后在剩余未被選中的網格點中,選出使μ最小的網格點作為采樣點。要加速運算,可以控制變量,每次只在一個方向取得最小值,然后換方向接著搜索,直到收斂。在所有M個采樣點全部確定之后,再以(10)式為目標,進行全局微調,最終得到炮點的優(yōu)化非規(guī)則采樣設計。

2 TFT工區(qū)的實際應用

我們利用TFT工區(qū)的一塊區(qū)域進行實際工區(qū)的非規(guī)則觀測系統(tǒng)設計,所選工區(qū)范圍為14km×8km,檢波點布設到整個工區(qū)范圍,炮點區(qū)域為10km×2km。規(guī)則檢波點設計為32條接收線,線距240m,每條線456道,道間距30m。非規(guī)則設計是在原始規(guī)則檢波點設計的基礎上,保持大致的覆蓋范圍,但是只取總采樣點數(shù)的75%,即線數(shù)32條不變,平均每條線取342道,平均道間距40m,共10944道。重建的目標網格為42條接收線,線距180m,每條線911道,道間距15m。優(yōu)化后的檢波點分布如圖4所示,每個藍色的十字型代表一個檢波點的位置,最小點距為15m,最大點距為75m。同時,線距也進行了非規(guī)則優(yōu)化設計,最小線距為150m,最大線距為705m。這里由于檢波線數(shù)較少,為保證重建質量,降低頻譜泄漏,采樣點沒有落在實際的整數(shù)網格上。檢波點位置歸一化后的頻譜如圖5所示,在垂直于檢波線方向上由于檢波線條數(shù)較少,頻譜泄漏較強,最大值為0.0930,但仍然要比規(guī)則采樣導致的假頻小很多。

實際工區(qū)的非規(guī)則炮點設計為將1800個炮點分散在10km×2km的范圍內,目標重建網格為炮點距15m,炮排距90m。優(yōu)化后的炮點分布如圖6所示,每個紅色的方框代表一個炮點位置,其歸一化后的頻譜如圖7所示,可以看到,頻譜泄漏很小,最大值為0.0444。

圖4 優(yōu)化設計的非規(guī)則檢波點分布

圖5 優(yōu)化設計的非規(guī)則檢波點頻譜

最終得到的該工區(qū)優(yōu)化的非規(guī)則觀測系統(tǒng)如圖8 所示。

圖6 優(yōu)化設計的非規(guī)則炮點分布

圖7 優(yōu)化設計的非規(guī)則炮點頻譜

圖8 優(yōu)化設計的非規(guī)則觀測系統(tǒng)(紅色表示炮點位置,藍色表示檢波點位置)

3 地震記錄的模擬與重建

對于地球物理問題來說,基于壓縮感知的數(shù)學重建模型可表示為:

(11)

式中:x∈RN表示原始地震數(shù)據;Φ表示采樣矩陣;y∈RM表示觀測地震數(shù)據。這里,M

(12)

式中:Ψ表示感知矩陣,Ψ=ΦCH。

對此,可以通過求解反問題:

(13)

來獲取稀疏系數(shù)s,進而通過x=CHs求取原始數(shù)據x。但是,由于采樣矩陣是一個欠定矩陣,可知上述問題是一個典型的NP-hard問題。對此,需要對上述問題增加約束條件,本文利用L0正則化和L1正則化混合迭代的方法求解上述問題。首先通過軟閾值算法求解L1范數(shù)約束問題:

(14)

通過對(14)式的求解,可在進行下一步算法前獲得一個好的迭代初值,并估算信號的稀疏水平。然后,通過硬閾值算法求解L0范數(shù)約束問題:

(15)

反復迭代,直至獲得最終結果。

為了驗證該算法重建地震記錄的有效性,采用主頻為30Hz的Ricker子波合成500道的單炮地震記錄,道間距10m,每道3001個采樣點,采樣間隔為2ms,如圖9a所示。圖9b為采樣50%地震道后的不完整地震記錄,圖9c為使用本文算法恢復的地震記錄,圖9d為本文算法恢復的地震記錄與原始模型記錄的誤差。

圖9 地震記錄處理結果a 原始地震記錄; b 隨機缺失的地震記錄; c 重建結果; d 重建結果與原始記錄之差

從圖9c的重建地震記錄與原始記錄(圖9a)的對比以及兩者的誤差(圖9d)可以看出,兩者同相軸清晰,連續(xù)性相同,振幅一致性準確,重建誤差小。因此,該算法具有良好的數(shù)據恢復效果。

圖10是該地震記錄的頻率-波數(shù)譜。從原始地震記錄和重建地震記錄的頻率-波數(shù)譜對比可以看出,重建數(shù)據的頻率-波數(shù)譜與原始記錄的頻率-波數(shù)譜非常接近,兩者的誤差很小(圖10d),進一步表明了該算法良好的重建效果。以上實驗均表明,利用基于壓縮感知理論的重建方法,可以較好地恢復缺失的地震數(shù)據。

圖10 地震記錄處理結果頻率-波數(shù)譜a 原始地震記錄頻率-波數(shù)譜; b 隨機缺失的地震記錄頻率-波數(shù)譜; c 重建結果的頻率-波數(shù)譜; d 重建結果與原始地震記錄頻率-波數(shù)譜之差

4 結論與建議

基于壓縮感知理論,本文進行了地震勘探非規(guī)則觀測系統(tǒng)的優(yōu)化設計和地震數(shù)據的模擬重建。通過降低感知矩陣的最大互相關值的方法優(yōu)化設計采樣點的位置,并應用于實際工區(qū),該過程通過添加部分約束條件來使得最終的設計在實際可行的情況下達到最優(yōu)解。利用L0正則化和L1正則化混合迭代的方法進行地震數(shù)據的重建,取得了良好的效果。

隨著勘探精度的提高,野外地震資料的采集都要求能夠達到“兩寬一高”的標準,這就給野外采集帶來了相當大的工作量。基于壓縮感知的非規(guī)則觀測系統(tǒng)的地震數(shù)據采集和信號重建,可以達到“相同野外采集工作量的條件下獲得更高分辨率的地震資料”或者“獲得相同分辨率的地震資料需要較少的野外工作量”的目的。

因此,利用壓縮感知技術進行地震數(shù)據的采集和處理,可以大大降低野外資料采集的工作量,對目前“兩寬一高”要求的地震勘探具有重要意義。

致謝:感謝中石化西北石油分公司在正演模型建立方面給予的大力支持,感謝中石化休斯敦研發(fā)中心的羅明秋博士在目標模型的建立和觀測系統(tǒng)的設計方面給出的一些好的建議！

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(編輯：朱文杰)

Irregularseismicgeometrydesignanddatareconstructionbasedoncompressivesensing

ZHOU Song1,LV Yao2,LV Gonghe1,SHU Guoxu2,SHI Taikun2,HUO Shoudong2

(1.Sinopec Petroleum Engineering Geophysics Co.,Ltd.,Beijing 100020,China;2.Institute of Geology and Geophysics,Chinese Academy of Sciences,Beijing 100029,China)

This paper proposes a method of irregular seismic geometry optimal design and data reconstruction based on compressive sensing.To optimize the irregular geometry design in seismic data acquisition,the method selects sampling points one by one according to a greedy sequential strategy,which could decrease the maximum cross-correlation value of the sensing matrix.To reconstruct seismic data effectively,the method solves the underdetermined sampling matrix through anL0andL1regularization mixed iterative algorithm.When applied to the irregular seismic geometry design in the TFT exploration area,the method uses the maximum and the minimum group intervals as constraints to overcome the limitation of the receiver cable length.The results show that the proposed method provides an effective way for the development of high-density 3D seismic exploration.

compressive sensing,sparse,irregular,seismic geometry design,seismic data reconstruction

P631

：A

1000-1441(2017)05-061709DOI:10.3969/j.issn.1000-1441.2017.05.001

周松,呂堯,呂公河,等.基于壓縮感知的非規(guī)則地震勘探觀測系統(tǒng)設計與數(shù)據重建[J].石油物探,2017,56(5):625

ZHOU Song,LV Yao,LV Gonghe,et al.Irregular seismic geometry design and data reconstruction based on compressive sensing

[J].Geophysical Prospecting for Petroleum,2017,56(5):625

周松(1963—),男,高級工程師,從事地球物理數(shù)據采集、非常規(guī)勘探以及物探技術管理等工作。

中國石油化工股份有限公司科技攻關項目“基于壓縮感知的地震勘探采集技術研究”及中石化石油工程技術服務有限公司科技項目“壓縮感知技術在地震勘探中的應用研究”(SG16-52K)聯(lián)合資助。

This research is financially supported by the project of the Ministry of Science and Technology of SINOPEC and the project of Sinopec Oilfield Service Corporation (Grant No.SG16-52K).

2017-01-24;改回日期：2017-06-15。