王明初，孫玉軍

（北京林業(yè)大學 林學院，北京100083）

基于混合效應模型及EBLUP預測杉木樹高生長過程

王明初，孫玉軍

（北京林業(yè)大學 林學院，北京100083）

基于福建省將樂縣國有林場15塊標準地的30株杉木Cunninghamia lanceolata標準木的解析數(shù)據(jù)，首先對5個生長方程運用非線性最小二乘法進行擬合，選出擬合效果最好的模型作為基礎模型，利用解析木數(shù)據(jù)構(gòu)建非線性混合效應樹高生長模型。以單株樹木作為隨機效應，通過變換混合效應參數(shù)個數(shù)，利用R軟件選擇赤池信息準則（AIC），貝葉斯信息準則（BIC）最小，對數(shù)似然函數(shù)（Loglik）值最大的混合效應模型作為最優(yōu)模型，基于混合效應模型研究經(jīng)驗線性無偏最優(yōu)預測法（EBLUP）預測樹高生長過程的特點。結(jié)果表明：Weibull方程中，β1，β2和β3等3個參數(shù)都作為混合效應參數(shù)的模型模擬精度最高。觀測次數(shù)相同時，延長觀測間隔能夠降低預測誤差，提高預測精度；觀測間隔相同時，增加觀測次數(shù)，預測精度會提高。圖2表9參23

森林測計學；樹高生長模型；混合效應模型；經(jīng)驗線性無偏最優(yōu)預測法；杉木

Abstract：Based on the data of 30 sample trees from 15 permanent plots of Chinese fir in the national forest farm of Jiangle，at first we study the best function as the base model with the least square method among five growth profile equations.The nonlinear mixed model was constructed based on the base model and modeling data.We use the R for model fitting.Select the mixed model with the minimum value of AIC,BIC and the maximum value of Loglik as the best model by changing the number of mixed parameters in fitting progress.Using mixed model to predict growth profile of height and studying the characteristics of Empirical Best Linear Unbiased Predictor （EBLUP）.Fitting results showed the simulation’s precision of Weibull’s including three random effect parameters （β1， β2and β3） was maximal.In the analysis of prediction,prediction accuracy decreased as age interval of observations extended with the same number of previous observations.MSE decreased as the number of previous observations increased.EBLUP prediction could fully predict individual growth process， given that there were multiple previous observations with long-enough age intervals．［Ch,2 fig.9 tab.23 ref.］

Key words：forest measuration;height growth model;mixed-effects model;EBLUP;Chinese fir

林木樹高是基本測樹因子之一，能夠反映林木生長狀況，是森林資源經(jīng)營管理和林木生長收獲研究所必需。樹高生長模型是描述樹高生長過程的統(tǒng)計模型，也是林木生長收獲模型系統(tǒng)中一個重要的組成部分，同時林分優(yōu)勢木樹高的預測為適地適樹、森林經(jīng)營活動和林分生長收獲預測提供重要的基礎數(shù)據(jù)［1］。因此，樹高生長模型的研究對于建立林分生長模型系統(tǒng)及評價立地質(zhì)量具有重要意義。模型的建立方法很多，混合效應模型是近代發(fā)展起來的新統(tǒng)計方法，混合效應模型由固定效應和隨機效應兩部分組成，既可以反映總體變化趨勢，又可以提供方差、協(xié)方差等多種信息來反映個體之間的差異［2］。國外開展了大量樹高生長的混合效應模型研究［3－12］，國內(nèi)對混合效應模型的擬合方法也進行了系統(tǒng)的研究［13－15］，但是目前國內(nèi)林業(yè)上對混合效應模型的應用基本限于與傳統(tǒng)模型擬合效果上的比較，對預測的研究還很少。祖笑鋒等［16］基于混合效應模型及經(jīng)驗線性無偏最優(yōu)預測法（EBLUP）預測美國黃松Pinus ponderosa林分優(yōu)勢木樹高生長過程，很好地解釋了EBLUP，并且深入地分析了EBLUP的特點。EBLUP最早用于動物育種學中，與地統(tǒng)計學的Kriging，時間序列的卡爾曼濾波及小域估計法的數(shù)學原理一致［16］。本研究以福建將樂林場杉木Cunninghamia lanceolata人工林為研究對象，基于30株解析木數(shù)據(jù)，建立擬合最優(yōu)的非線性混合效應樹高生長模型，研究如何利用EBLUP預測樹高生長過程，并通過設置不同的觀測次數(shù)、觀測間隔研究與預測精度之間的關系，并探究提高預測精度的方法。

1 研究區(qū)概況

研究區(qū)位于福建省將樂縣國有林場， 26°26′～27°04′N， 117°05′～117°40′E。 將樂縣位于福建省西北部，地處武夷山脈東南部，以中、低山為主，最高峰海拔為1 640.2 m。屬亞熱帶季風氣候，具有海洋性和大陸性氣候特點，年平均氣溫為19.8℃，年平均降水量為2 027.0 mm。境內(nèi)氣溫較高，夏季時間長，冬季較溫暖，霜凍較少，生長期長。土壤以紅壤為主，并分布有黃紅壤，土層深厚，土質(zhì)較好的一般為沙壤土或輕壤土，水分充足，土壤肥沃。植被以亞熱帶植物區(qū)系為主，植被種類非常豐富。其中人工次生林的喬木主要有杉木、馬尾松Pinus massoniana等；灌木主要有粗葉榕Ficus hirta，黃毛楤木Aralia decaisneana，檵木Loropetalum chinensis等；草本主要有烏毛蕨Blechnum orientale，烏蕨Stenoloma chusanum，鐵線蕨Adiantum capillus-veneris等。

2 材料與方法

2.1 數(shù)據(jù)的采集與整理

2010－2012年，根據(jù)林分不同年齡和密度，以典型抽樣原則設置了15塊20 m×30 m標準地。對標準地內(nèi)的林木進行每木檢尺，選取標準木2株·標準地－1，共30株，伐倒并進行樹干解析，解析木編號為F01～F30。根據(jù)解析木內(nèi)業(yè)表內(nèi)插法獲得各年齡對應的樹高值。隨機選擇20株進行擬合，10株進行預測（表1）。

表1 建模數(shù)據(jù)和檢驗數(shù)據(jù)概況Table 1 Summary statistics of the fitting and calibration data

2.2 基礎模型

表2 樹高生長方程Table 2 The equations of height growth

選擇Richards方程、Weibull方程、Korf方程以及Logistic方程的2種變化形式等5個方程作為基礎模型，對樹高生長進行模擬（表2）。運用非線性最小二乘法對5個樹高生長方程進行擬合，選出擬合效果最好的模型作為基礎模型，構(gòu)建非線性混合效應模型［17］。

2.3 非線性混合效應模型

非線性混合效應模型主要特點是參數(shù)分為固定效應和隨機效應，固定效應可以反映研究對象的總體變化規(guī)律，隨機效應隨個體的不同而變化，反映總體中不同個體的變化規(guī)律，從而獲得較好的擬合效果。筆者主要研究利用EBLUP預測樹高生長過程，并探究提高預測精度的方法。因此將樣木作為隨機效應，建立混合效應模型后，通過選取生長過程與總體平均生長過程差異較大的樣木進行預測分析。非線性混合模型的一般表達式為：

式（1）中：β為p×1維的固定效應向量；p為固定參數(shù)個數(shù)，bi為q×1維的隨機效應向量；q為隨機參數(shù)個數(shù)；Ai和Bi為具有相應維度的設計矩陣，其元素通常為0，1或與固定效應和隨機效應相關的協(xié)方差值；ei為隨機誤差項向量；f為非線性函數(shù)；Xi為年齡；yi為樹高。其中隨機向量bi：N（0,D），ei：N（1,Ri），并且相互獨立；ei和bi協(xié)方差矩陣分別為Ri和D，且為ni維和q維的對稱矩陣。

構(gòu)建非線性混合效應模型還要確定以下3種結(jié)構(gòu)：①混合效應參數(shù)。依據(jù)PINHEIRO等［18］的研究，將基礎模型中參數(shù)進行組合作為混合參數(shù)進行模擬，選擇收斂的模型，通過比較其赤池信息量準則（AIC），貝葉斯信息準則（BIC）以及對數(shù)似然函數(shù)（Loglik）模型評價指標。AIC，BIC值越小，Loglik值越大，模型擬合效果越好。②隨機效應內(nèi)的方差協(xié)方差矩陣。為了確定隨機效應內(nèi)的方差協(xié)方差矩陣，需要解決異方差和自相關性結(jié)構(gòu)。以指數(shù)函數(shù)（Exp），冪函數(shù)（Power）和常數(shù)加冪函數(shù)（ConstPower）3種結(jié)構(gòu)形式，消除數(shù)據(jù)間的異方差。表達式為：

式（2）～式（5）中：σ2為誤差方差值，由模型殘差方差值給出；Gi為ni×ni維對角矩陣來解釋方差異質(zhì)性，對角元素為相應誤差項的標準差；由于本研究數(shù)據(jù)間不存在自相關性，因此，Ini為ni×ni維的單位矩陣。β，β1，β2為參數(shù)，t為年齡［19－22］。從自變量為年齡的3種函數(shù)中，根據(jù)AIC，BIC，Loglik值以及似然比檢驗，確定殘差方差模型。③隨機效應間的協(xié)方差矩陣。隨機效應間的協(xié)方差矩陣反映了隨機效應之間的變化性。本研究包含3個隨機參數(shù)，因此，矩陣為3×3維的方差協(xié)方差矩陣，結(jié)構(gòu)例如下：

2.4 EBLUP預測原理與方法

推導方法基于多元正態(tài)分布理論，以bi=0為基點，用一階泰勒公式將非線性混合效應模型式（1）近似地表達為：

式（7）中：矩陣Ζi為q×ni維矩陣，其元素可以通過對混合效應模型式（1）分別求關于隨機效應bi的偏導數(shù)，隨后令所有bi取0即可求出。前文提到bi：N（0,D），ei：N（1,Ri），且相互獨立，因此對式（7）求yi的方差矩陣為：

bi和yi間協(xié)方差矩陣為：

bi和yi的聯(lián)合分布為：

對于隨機變量取值最優(yōu)預測值是其數(shù)學期望值，所以隨機變量bi在yi取觀測值時可以用bi的條件分布數(shù)學期望表示：

式（8）稱為經(jīng)驗線性無偏最優(yōu)預測法（EBLUP）［16］。

將各項參數(shù)用相應估計值帶入的：

簡化為：

結(jié)合公式（8）和公式（9）即可利用混合效應模型進行EBLUP預測。詳細推導過程參考文獻［23］。

根據(jù)EBLUP預測原理，式（9）中Ζi,k可通過求關于隨機效應bi的偏導數(shù)，求出偏導數(shù)后令所有bi取0即可。本模型有3個隨機效應，故k取1，2，3。Ζi,k的估計值為：

3 結(jié)果與分析

3.1 基礎模型的選擇

利用R語言軟件基于表1中擬合數(shù)據(jù)，對表2中6個樹高生長方程進行擬合，擬合結(jié)果見表3。根據(jù)決定系數(shù)R2越接近于1，均方根差Rmse以及平均絕對殘差越接近于0，其擬合效果越好的原則，選取方程1，方程2，方程3作為基礎模型。

表3 各樹高生長方程擬合結(jié)果Table 3 Simulant result of height growth

3.2 非線性混合效應模型構(gòu)建

3.2.1 混合效應參數(shù)的確定 基于基礎模型，將單木考慮作為隨機效應，利用R語言軟件中的nlme函數(shù)對模型進行估計，改變隨機參數(shù)個數(shù)比較擬合效果?；诓煌S機參數(shù)組合的混合模型的擬合效果見表4。從表中擬合情況可以看出模型2.5的AIC，BIC最小且Loglik值最大，即當模型2以β1，β2和β3同時作為混合效應參數(shù)時，模型擬合效果最佳。因此，選擇模型2.5（Weibull方程）進一步構(gòu)建混合效應模型。

表4 基于不同隨機效應參數(shù)組合的樹高生長模型擬合精度比較Table 4 Comparison of models’fitting precisions with different combinations of random effects parameters

3.2.2 誤差項方差協(xié)方差結(jié)構(gòu) 加權殘差方差模型的評價指標見表5?？紤]殘差加權的3種模型中冪函數(shù)的AIC和BIC最小且Loglik值最大，故選它作為模型的殘差方差模型。

表5 各殘差方差模型的模擬結(jié)果Table 5 Simulation results for each residual variance model

3.2.3 模型擬合結(jié)果 利用R語言軟件擬合模型的各參數(shù)列于表6，基于非線性混合效應模型的杉木樹高生長方程表達式為：

3.3 EBLUP預測分析

3.3.1 單木樹高生長的預測 由于EBLUP算法的原因，本研究利用式（9）預測，具體原因參考NI等［23］。從驗證數(shù)據(jù)中選取F04解析木作為預測數(shù)據(jù)，選3對觀測值用于預測bi，結(jié)果統(tǒng)計于表7。表中為樣木在Xi時樹高觀測值，f（Ai,Xi）通過式（13）計算得出，通過式（10）～式（12）計算得出，是通過SAS 9.3的IML過程獲得。利用表7的預測F18樣木19～22 a間的樹高值，并與觀測值比較列于表8?？傮w估計值通過式（13）計算得到，預測值通過式（9）計算獲得，校正值為預測值減總體估計值的差?？梢姼鶕?jù)3對觀測值獲得的對樣木進行EBLUP預測樹高，能較準確地反映樣木生長過程。在驗證數(shù)據(jù)中選擇樣木生長過程與總體平均生長過程有差異的F04，F(xiàn)09，F(xiàn)11，F(xiàn)18解析木，進行EBLUP預測，將預測生長曲線、解析木樹高曲線和總體平均生長過程進行比較（圖1）。通過圖1可看出：當單木生長過程和總體估計值差距較大時，基于Weibull混合效應模型的EBLUP預測能充分地預測單木生長過程。本研究依據(jù)EBLUP預測的算法，利用樣木的3組觀測值，基于混合效應模型使每個樣木獲得對應的隨機效應參數(shù)，進而充分地預測樣木的生長過程。

表6 模型擬合結(jié)果Table 6 Statistical results of the model fitting

3.3.2 EBLUP預測的精度分析 在進行單木樹高生長預測時發(fā)現(xiàn)，觀測值的選擇方式對預測精度高低有較大的影響，因此本研究通過設置不同的觀測值間隔、觀測值選取次數(shù)以及預測時長，比較預測結(jié)果的精度高低。評價預測精度的指標為均方誤差（EMS）：

表7 預測的向量和矩陣Table 7 The matrices and vectors used for prediction

表8 F18樣木樹高觀測值、總體估計值、EBLUP預測值比較Table 8 Comparison of observations of height,population mean,and EBLUP predicted for F18

圖1 樹高生長過程比較Figure 1 Comparison of the height growth

以解析木F04，F(xiàn)18，F(xiàn)15和F11為例（由于這幾株樣木生長過程與總體平均生長過程差距較大，通過不同處理方式能較明顯反應預測精度的提高），通過不同的選擇觀測值方式來研究對EMS的影響，其中觀測間隔指每隔多少年對樹高進行一次觀測。本研究分別選取間隔1，3，5 a；觀測次數(shù)是指觀測多少個樹高值，由于本研究基于具有3個隨機效應參數(shù)的混合模型，預測隨機效應參數(shù)至少需要3對觀測值，故分別選取3，6，9次觀測次數(shù)；相應地，因為每3對觀測值會求得1組隨機效應參數(shù)，故觀測次數(shù)為6，9次時，需要分別取2，3組數(shù)據(jù)，分別按照1/2，1/3將解析木數(shù)據(jù)分段，年齡向上取整，每年齡段從最大值開始向下取觀測值。以樣木F15（35年生）為例，觀測間隔5 a觀測3次時，使用的是35，30，25年生的樹高觀測值；觀測間隔為3 a觀測6次時，分別使用35，32，29年生以及18，15，12年生這2組共6個樹高觀測值；觀測間隔為1 a觀測9次時，分別使用35，34，33年生，24，23，22年生以及12，11，10年生這3組共9個樹高觀測值。由于F04，F(xiàn)18年齡較小，故沒有進行間隔5 a 9次的觀測。以樹高觀測值為基礎，根據(jù)式（8）預測bi值，再對樹高逐年預測最后求總均方誤差。結(jié)果列于表9。

表9 驗證數(shù)據(jù)統(tǒng)計分析Table 9 The statistical analysis of data verification

觀測次數(shù)相同時，隨著觀測間隔的增大，均方誤差降低。觀測次數(shù)均為3，觀測間隔取1，3，5 a，各解析木的均方誤差隨著觀測間隔的增大而明顯降低。觀測間隔相同時，隨著觀測次數(shù)的增加，均方誤差降低。觀測間隔均為3 a時，隨著觀測次數(shù)從3次增加到9次，各組的均方誤差均相應降低，觀測間隔為1或5 a按同樣方式比較，也可以得出相同的結(jié)論。以F15為例，觀測間隔均為1 a時，隨著觀測次數(shù)從3次增加到9次，均方誤差從12.396 0降低到2.631 7。

從圖2中可以看出： “1 a 3次”在其觀測值28，27，26年生附近均方誤差較低，遠離觀測值時，均方誤差開始變大。同樣， “3 a 3次”在遠離20年生時均方誤差開始變大，而“5 a 3次”的觀測值為28，23，18年生，故在圖2中均方誤差較低。所以在EBLUP預測時，隨著預測遠離用來預測bi的觀測值，均方誤差逐漸變大。

圖2 解析木F18逐年預測的均方誤差Figure 2 The value of F18 yearly forecast EMS

4 結(jié)論

本研究選用5個生長方程，選取3個擬合效果較好的方程作為基礎模型，進一步改變不同的隨機效應組合，最終以式（2）為基礎的Weibull方程中，3個參數(shù)都作為混合模型的模型精度最高，擬合效果最好。通過EBLUP預測表明：本研究建立的非線性混合效應模型在考慮樣木隨機效應時，預測效果明顯優(yōu)于固定模型，能更好地反映樹高生長過程。將隨機效應考慮到樣木水平，就相當于為每株樣木建立樹高生長模型，可以充分預測樣木的生長過程，能夠為將樂林場的杉木林經(jīng)營決策提供一定的依據(jù)。進行預測時，觀測次數(shù)相同，增加觀測間隔能夠降低預測誤差，提高預測精度。由于增加觀測值間年齡間隔，可以更充分提供樹高生長過程信息，因此可以顯著降低預測誤差。觀測次數(shù)不同，預測精度變化較大。觀測間隔相同時，增加觀測次數(shù)，預測精度會提高。因此在預測杉木樹高生長過程時，要根據(jù)其年齡選擇適當?shù)挠^測間隔和觀測次數(shù)。EBLUP可以充分利用觀測值所涵蓋的生長過程信息降低預測誤差，隨著預測遠離用來預測bi的觀測值，均方誤差逐漸變大。

通過本次研究得到的數(shù)據(jù)不能明確觀測間隔和觀測次數(shù)對預測準確度影響，有關研究還需要進一步進行。

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Based on mixed-effects model and empirical best linear unbiased predictor predicting growth profile of height for Chinese fir

WANG Mingchu,SUN Yujun
（College of Forestry,Beijing Forestry University,Beijing 100083,China）

S797.27

A

2095-0756（2017）05-0782-09

2016-12-16；

2017-02-18

基于FORPLAN的森林多功能經(jīng)營技術引進項目（2015-04-31）；國家林業(yè)局重點資助項目（2012-07）； 林業(yè)科技成果國家級推廣項目（［2014］26）

王明初，從事林業(yè)資源調(diào)查與監(jiān)測研究。E-mail：wangmc@bjfu.edu.cn。通信作者：孫玉軍，教授，博士，博士生導師，從事森林資源監(jiān)測與模型等研究。E-mail：sunyj@bjfu.edu.cn