李云飛，曾祥國(guó)，廖 異

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基于修正Johnson-Cook模型的鈦合金熱黏塑性動(dòng)態(tài)本構(gòu)關(guān)系及有限元模擬

李云飛1, 2，曾祥國(guó)1，廖 異1

(1. 四川大學(xué)建筑與環(huán)境學(xué)院，成都610065；2. 中國(guó)工程物理研究院總體工程研究所，綿陽(yáng)621999)

為了準(zhǔn)確描述鈦合金在高應(yīng)變率、高溫載荷下的熱粘塑性本構(gòu)行為，以及因材料內(nèi)部出現(xiàn)絕熱剪切帶而導(dǎo)致材料流變應(yīng)力減小的定量關(guān)系，構(gòu)造功熱轉(zhuǎn)換系數(shù)與應(yīng)變率之間的函數(shù)關(guān)系，提出一種基于修正Johnson-Cook模型的鈦合金熱粘塑性動(dòng)態(tài)本構(gòu)關(guān)系，并通過(guò)以最小二乘法為目標(biāo)函數(shù)的局部搜索優(yōu)化算法，對(duì)基于實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的本構(gòu)參數(shù)進(jìn)行快速優(yōu)化識(shí)別。最后利用應(yīng)力補(bǔ)償更新算法，通過(guò)顯式用戶子程序VUMAT將熱黏塑性本構(gòu)模型嵌入ABAQUS軟件中，得到Ti-6Al-4V鈦合金在不同應(yīng)變率、溫度條件下的單軸動(dòng)態(tài)應(yīng)力?應(yīng)變曲線。數(shù)值模擬結(jié)果與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)吻合良好，表明該修正模型能準(zhǔn)確描述鈦合金高應(yīng)變率下的熱黏塑性變形，可適用于各種應(yīng)變率下鈦合金本構(gòu)行為的描述。

Ti-6Al-4V；熱黏塑性；修正Johnson-Cook模型；用戶子程序VUMAT

鈦合金具備密度小、比強(qiáng)度高及耐腐蝕與耐熱性能優(yōu)異等特點(diǎn)，被廣泛應(yīng)用于航空航天、船舶、化工及兵器工業(yè)等領(lǐng)域[1]。隨著科學(xué)技術(shù)的迅猛發(fā)展，這些工業(yè)化領(lǐng)域?qū)Σ牧系囊笤絹?lái)越高，先進(jìn)鈦合金也逐步向具有高斷裂韌性和低裂紋擴(kuò)展速率的損傷容限型鈦合金方向發(fā)展。在材料性能方面，諸多研究發(fā)現(xiàn)鈦合金在高應(yīng)變率和準(zhǔn)靜態(tài)載荷下的力學(xué)性能存在顯著差異[2?6]。

目前，常用的金屬材料動(dòng)態(tài)本構(gòu)模型主要為兩 類(lèi)[7?9]，一類(lèi)是唯象經(jīng)驗(yàn)型本構(gòu)模型，如Johnson-Cook模型等;另一類(lèi)是從材料的微觀變形機(jī)制出發(fā)，稱為物理本構(gòu)模型。Johnson-Cook模型因形式簡(jiǎn)單、各參數(shù)含義明確、參數(shù)較少且容易通過(guò)試驗(yàn)擬合等優(yōu)點(diǎn)已被LS/DYNA、MSC/DYTRAN、ABAQUS/EXPLICIT等軟件用于動(dòng)力學(xué)有限元分析。但KHAN等[10]研究發(fā)現(xiàn)，Johnson-Cook 模型對(duì)鈦合金動(dòng)態(tài)拉伸行為的擬合能力較差。在高應(yīng)變率下鈦合金表現(xiàn)出熱黏塑性，其內(nèi)部絕熱溫升成為影響其本構(gòu)關(guān)系的重要因素，而溫度的升高降低了應(yīng)變、應(yīng)變率的強(qiáng)化作用，反過(guò)來(lái)，強(qiáng)化作用的減弱又減緩了溫度的上升。Johnson-Cook模型無(wú)法描述溫度、應(yīng)變、應(yīng)變率三者互相作用、互相影響的復(fù)雜現(xiàn)象。

張長(zhǎng)清等[11]通過(guò)Hopkinson壓桿試驗(yàn)擬合得到TC4鈦合金在不同應(yīng)變率與絕熱溫升的關(guān)系曲線，并對(duì)Johnson-Cook模型溫度項(xiàng)進(jìn)行改進(jìn)得到室溫下材料的動(dòng)態(tài)塑性本構(gòu)方程，但該本構(gòu)無(wú)法描述高應(yīng)變率下的熱黏塑性行為。楊揚(yáng)等[12]引入材料應(yīng)力?應(yīng)變曲線發(fā)展趨勢(shì)項(xiàng)提出一種擬合Johnson-Cook方程的簡(jiǎn)便方法，避免了對(duì)相對(duì)不穩(wěn)定的材料絕熱溫升值的估算。俞秋景等[13]將應(yīng)變速率硬化系數(shù)修改為隨溫度和應(yīng)變速率變化的量對(duì)Johnson-Cook方程進(jìn)行改進(jìn)，考慮了Inconel625合金考慮了溫度、應(yīng)變和應(yīng)變速率對(duì)流變應(yīng)力的交互影響。成生偉等[14]令溫度軟化系數(shù)=1求解出絕熱溫升項(xiàng)的簡(jiǎn)單解，進(jìn)而修正Johnson-Cook模型得到電鑄Ni-W合金高應(yīng)變率下的動(dòng)態(tài)響應(yīng)。上述修正Johnson-Cook模型無(wú)法較好地描述鈦合金熱黏塑性的流變應(yīng)力特征，并且部分本構(gòu)方程改進(jìn)后形式較復(fù)雜，無(wú)法通過(guò)用戶子程序接口導(dǎo)入有限元軟件中。

本文作者基于Ti-6Al-4V鈦合金在不同應(yīng)變率、溫度下的流變應(yīng)力?塑性應(yīng)變實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，構(gòu)造了功熱轉(zhuǎn)換系數(shù)與應(yīng)變率之間的函數(shù)關(guān)系[15]，提出一種基于修正Johnson-Cook模型的鈦合金熱黏塑性動(dòng)態(tài)本構(gòu)關(guān)系，并通過(guò)以最小二乘法為目標(biāo)函數(shù)的局部搜索優(yōu)化算法，對(duì)基于實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的本構(gòu)參數(shù)進(jìn)行快速優(yōu)化識(shí)別，構(gòu)建出可準(zhǔn)確描述熱黏塑性行為的動(dòng)態(tài)本構(gòu)方程。利用應(yīng)力補(bǔ)償更新算法，通過(guò)顯式用戶子程序VUMAT將熱黏塑性本構(gòu)模型嵌入ABAQUS中，得到不同應(yīng)變率、溫度條件下的數(shù)值模擬結(jié)果，與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)比可驗(yàn)證修正本構(gòu)模型的適用性以及子程序的準(zhǔn)確性。

1 修正本構(gòu)模型

Johnson-Cook模型能夠反映應(yīng)變硬化、應(yīng)變率硬化和溫度軟化效應(yīng)，其流變應(yīng)力?塑性應(yīng)變表達(dá)式為

式中：、、0、、為本構(gòu)參數(shù)；為流變應(yīng)力；為塑性應(yīng)變；為實(shí)際應(yīng)變率；為參考應(yīng)變率，通常取為1 s?1；為試驗(yàn)溫度；r為參考溫度，通常取為室溫；m為材料的熔點(diǎn)溫度。

(3)

式中：為功熱轉(zhuǎn)換系數(shù)(絕熱狀態(tài)下=1)；為材料密度；c為定壓比熱容。

根據(jù)功熱轉(zhuǎn)換原理，外力對(duì)材料拉伸所做的功會(huì)轉(zhuǎn)換為熱能，其一部分會(huì)耗散到自然界中，另一部分會(huì)使材料自身溫度升高。但在低應(yīng)變率下，由于材料拉伸速度緩慢，材料溫度與外界溫度能充分進(jìn)行熱傳遞，故外力對(duì)材料所做的功并不會(huì)使材料內(nèi)部溫度明顯升高，即：當(dāng)時(shí)，；而在高應(yīng)變率下，材料被快速拉伸，由外力功轉(zhuǎn)換的熱能來(lái)不及與外界溫度充分進(jìn)行熱傳遞，故材料內(nèi)部溫度會(huì)明顯升高，即隨的增大而增大，當(dāng)時(shí)，(當(dāng)=1則為絕熱狀態(tài))。因此，構(gòu)造滿足上述與關(guān)系的函數(shù)表達(dá)式為

2 本構(gòu)參數(shù)優(yōu)化識(shí)別

根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，按以下步驟確定修正Johnson-Cook模型的各待定本構(gòu)參數(shù)：

1) 不考慮應(yīng)變率硬化和溫度軟化時(shí)，經(jīng)典Johnson-Cook模型可簡(jiǎn)化為

(7)

在對(duì)數(shù)坐標(biāo)系下，式(7)為線性方程，可用最小二乘法對(duì)實(shí)驗(yàn)曲線作線性擬合，求得、0，記，。

2) 僅考慮應(yīng)變硬化和應(yīng)變率硬化時(shí)，經(jīng)典Johnson-Cook模型可簡(jiǎn)化為

式(8)中僅含待定本構(gòu)參數(shù)?？蓪?duì)不同應(yīng)變率下獲得的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分別擬合，再通過(guò)取平均值的方法最終確定出。

式(9)中僅含待定本構(gòu)參數(shù)?？蓪?duì)非常溫下的各組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分別擬合，再通過(guò)取平均值的方法最終確定出。

4) 此時(shí)，經(jīng)典Johnson-Cook模型的5個(gè)本構(gòu)參數(shù)已全部確定，方程為

(11)

式中：()為目標(biāo)函數(shù)；為離散設(shè)計(jì)變量；為各離散設(shè)計(jì)變量的局域搜索范圍，一般取10%~50%；ΔX為各離散設(shè)計(jì)變量的搜索間隔，一般取=1%×。優(yōu)化完畢后，用最優(yōu)離散設(shè)計(jì)變量opt更新經(jīng)典JC模型的5個(gè)本構(gòu)參數(shù)、、、、。

此時(shí)，式(12)中含有的待定本構(gòu)參數(shù)有a、b、c、。以＞1×102s?1的所有實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)點(diǎn)(=1，2，…，)為參照，以最小二乘法為目標(biāo)函數(shù)，可同樣采用式(11)所示的搜索方法確定出本構(gòu)參數(shù)，，，。至此，修正Johnson-Cook模型中的9個(gè)本構(gòu)參數(shù)已全部確定。

采用文獻(xiàn)[10]中的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，通過(guò)式(11)所示搜索優(yōu)化方法，得到Ti-6Al-4V鈦合金修正Johnson-Cook模型中的9個(gè)本構(gòu)參數(shù)優(yōu)化結(jié)果如表1所示。

表1 修正Johnson-Cook模型中Ti-6Al-4V鈦合金的本構(gòu)參數(shù)

相比Johnson-Cook模型，修正模型的形式不便于通過(guò)VUMAT用戶子程序進(jìn)行編程，因此，將式(12)中的第一式代入第二式中進(jìn)行求解，同時(shí)代入各本構(gòu)參數(shù)的優(yōu)化值，則Ti-6Al-4V鈦合金的動(dòng)態(tài)本構(gòu)方程為

3 有限元模擬方法

3.1 VUMAT與應(yīng)力補(bǔ)償更新算法

為了將本實(shí)驗(yàn)中Ti-6Al-4V鈦合金修正Johnson-Cook動(dòng)態(tài)本構(gòu)模型應(yīng)用于有限元計(jì)算，本文作者基于ABAQUS有限元軟件進(jìn)行了二次開(kāi)發(fā)。ABAQUS提供了FORTRAN語(yǔ)言編寫(xiě)的專(zhuān)門(mén)用于定義材料模型的用戶子程序接口，分別是UMAT和VUMAT。二者的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)是相似的，主要不同之處在于UMAT中需要形成Jacobian矩陣，即應(yīng)力增量對(duì)應(yīng)變?cè)隽康淖兓剩赩UMAT中則不需要求Jacobian矩陣，此外在子程序與主程序的接口處二者也有細(xì)微差別。

本研究中采用顯式用戶材料子程序VUMAT接口對(duì)修正Johnson-Cook模型進(jìn)行定義，適用于沖擊、高速率應(yīng)變等瞬時(shí)載荷下的結(jié)構(gòu)響應(yīng)有限元模擬，可有效減少計(jì)算時(shí)間，提高計(jì)算效率。應(yīng)力張量更新算法的選擇是VUMAT子程序編寫(xiě)過(guò)程中的核心問(wèn)題。傳統(tǒng)黏塑性應(yīng)力更新算法中若材料點(diǎn)已進(jìn)入塑性變形階段，則應(yīng)變?cè)隽坑蓮椥圆糠趾宛に苄圆糠纸M成()，彈性部分應(yīng)力增量由廣義Hooke定律得，黏塑性部分應(yīng)力增量為

式中：ep為黏塑性張量，且ep=e?p，e為彈性張量，p為塑性張量。塑性變形階段的應(yīng)力增量為Δe與Δep之和。該算法中每一增量步必須首先對(duì)ep進(jìn)行迭代更新，計(jì)算量大效率低，且易累計(jì)誤差，影響計(jì)算結(jié)果精度。

本實(shí)驗(yàn)中采用基于彈性張量的應(yīng)力補(bǔ)償更新算法[16?17]，算法原理如圖1所示。首先判斷當(dāng)前狀態(tài)下材料點(diǎn)是否屈服，若屈服則應(yīng)變?cè)隽?。假定?yīng)變張量全為彈性的，由廣義Hooke定律計(jì)算試探應(yīng)力增量以及試探應(yīng)力，然后在試探應(yīng)力的基礎(chǔ)上減去多算的塑性應(yīng)變?cè)隽繉?duì)應(yīng)的應(yīng)力增量部分，對(duì)試探應(yīng)力進(jìn)行負(fù)補(bǔ)償。即

由式(15)可知，該算法沒(méi)有迭代積分，計(jì)算中只需要恒定的彈性張量e，可以顯著減小計(jì)算量，提高計(jì)算效率。

3.2 修正模型的VUMAT開(kāi)發(fā)

ABAQUS用戶子程序VUAMT的接口提供了依賴于結(jié)果的狀態(tài)變量，用于存儲(chǔ)在計(jì)算時(shí)用戶定義的需要不斷更新的狀態(tài)變量。實(shí)現(xiàn)Ti-6Al-4V鈦合金修正Johnson-Cook模型的子程序計(jì)算步驟如下，其計(jì)算流程如圖2所示。具體如下：1) 從ABAQUS子程序接口讀入本增量步的應(yīng)變?cè)隽喀?，增量步開(kāi)始時(shí)的應(yīng)力張量t和等效塑性應(yīng)變；2) 計(jì)算試探應(yīng)力；3) 調(diào)用子程序，計(jì)算初始流變應(yīng)力f；4) 將試探應(yīng)力代入屈服準(zhǔn)則，判斷是否屈服；5) 若沒(méi)有屈服，則轉(zhuǎn)到(8)；6) 如果發(fā)生屈服，計(jì)算本增量步的塑性應(yīng)變?cè)隽?，采用徑向返回?yīng)力補(bǔ)償算法更新本增量步結(jié)束時(shí)的應(yīng)力； 7) 更新內(nèi)能，塑性功，等效塑性應(yīng)變及各狀態(tài)變量的值；8) 結(jié)束，返回主程序。

圖1 應(yīng)力補(bǔ)償更新算法示意圖

圖2 VUMAT子程序計(jì)算流程圖

4 模擬結(jié)果與討論

基于應(yīng)力補(bǔ)償更新方法，按照ABAQUS用戶子程序接口規(guī)范，通過(guò)FORTRAN語(yǔ)言編寫(xiě)Ti-6Al-4V修正Johnson-Cook模型的VUMAT用戶子程序，本構(gòu)參數(shù)采用表1中的優(yōu)化識(shí)別結(jié)果。考慮到材料行為與結(jié)構(gòu)形態(tài)無(wú)關(guān)，本文作者采用單個(gè)八節(jié)點(diǎn)六面體等參元(C3D8R)計(jì)算Ti-6Al-4V鈦合金在單軸加載條件下的動(dòng)態(tài)響應(yīng)。

為驗(yàn)證修正Johnson-Cook模型對(duì)熱黏塑性變形的適用性，通過(guò)ABAQUS有限元軟件首先模擬了Ti-6Al-4V鈦合金在常溫(=296 K)下，低應(yīng)變率與中、高應(yīng)變率時(shí)的應(yīng)力應(yīng)變曲線，并與經(jīng)典Johnson-Cook模型的預(yù)測(cè)結(jié)果對(duì)比如圖3(a)和(b)所示。由圖3可知，修正模型在低率時(shí)與經(jīng)典模型預(yù)測(cè)結(jié)果保持一致，在中、高應(yīng)變率時(shí)二者結(jié)果隨應(yīng)變而逐漸偏離，修正模型出現(xiàn)流變應(yīng)力下降現(xiàn)象。

圖3 不同應(yīng)變率下修正Johnson-Cook模型結(jié)果與經(jīng)典模型預(yù)測(cè)結(jié)果對(duì)比

修正Johnson-Cook模型在中應(yīng)變率及以下不同載荷情況的模擬結(jié)果與文獻(xiàn)[10]實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的比較如圖4和5所示。圖4所示為常溫(=296 K)下分別為1×10?5、1×10?3、1×1 s?1時(shí)，Ti-6Al-4V鈦合金應(yīng)力?應(yīng)變曲線的實(shí)驗(yàn)和模擬數(shù)據(jù)對(duì)比。圖5所示為準(zhǔn)靜態(tài)(=1×10?3s?1)下溫度分別為755、588、422 K時(shí)，Ti-6Al-4V鈦合金應(yīng)力?應(yīng)變曲線的實(shí)驗(yàn)和模擬數(shù)據(jù)對(duì)比。由圖4和5可知，修正的Johnson-Cook模型在中應(yīng)變率及以下(＜1×101s?1)加載條件的有限元模擬結(jié)果與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)吻合良好，該模型可準(zhǔn)確描述Ti-6Al-4V鈦合金的本構(gòu)關(guān)系。

圖4 常溫下不同應(yīng)變率時(shí)的實(shí)驗(yàn)與模擬數(shù)據(jù)對(duì)比

圖5 準(zhǔn)靜態(tài)下不同溫度時(shí)的實(shí)驗(yàn)與模擬數(shù)據(jù)對(duì)比

圖6 不同溫度高應(yīng)變率下Ti-6Al-4V的實(shí)驗(yàn)與模擬數(shù)據(jù)對(duì)比

5 結(jié)論

1) 通過(guò)構(gòu)造功熱轉(zhuǎn)換系數(shù)與應(yīng)變率的函數(shù)關(guān)系，建立的修正Johnson-Cook模型適用于不同應(yīng)變率下的Ti-6Al-4V鈦合金本構(gòu)行為描述，特別是高應(yīng)變率下出現(xiàn)的熱黏塑性變形行為。

2) 采用最小二乘法為目標(biāo)函數(shù)的局部搜索優(yōu)化算法，對(duì)基于實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的本構(gòu)參數(shù)進(jìn)行快速優(yōu)化識(shí)別，并利用應(yīng)力補(bǔ)償更新算法，通過(guò)顯式用戶子程序VUMAT將熱黏塑性本構(gòu)模型嵌入ABAQUS中，得到Ti-6Al-4V鈦合金在不同應(yīng)變率、溫度條件下的數(shù)值模擬結(jié)果與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)吻合良好，驗(yàn)證子程序的準(zhǔn)確性與適用性。

3) 在高應(yīng)變率下，Ti-6Al-4V鈦合金表現(xiàn)出熱黏塑性，材料內(nèi)部絕熱溫升成為影響其本構(gòu)關(guān)系的重要因素。根據(jù)本研究的模擬結(jié)果，在相同的外部溫度下，隨著塑性應(yīng)變的增大，Ti-6Al-4V鈦合金在高應(yīng)變率下流變應(yīng)力的變化梯度比低應(yīng)變率下流變應(yīng)力的變化梯度更平緩，建立的修正Johnson-Cook模型能夠較準(zhǔn)確描述鈦合金在高應(yīng)變率下的熱黏塑性行為。

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(編輯 龍懷中)

Thermal-viscoplastic constitutive relation of Ti-6Al-4V alloy and numerical simulation by modified Johnson-Cook modal

LI Yun-fei1, 2, ZENG Xiang-guo1, LIAO Yi1

(1.College of Architecture and Environment, Sichuan University, Chengdu 610065, China;2. Institute of Systems Engineering, China Academy of Engineering Physics, Mianyang 621999, China)

In order to accurately describe the thermo viscoplasticity constitutive behavior of titanium alloy under high strain rate and elevated temperature, a modified Johnson-Cook equation was proposed by constructing function of conversion coefficient about strain rate. And the quantitative relation between decreasing flow stress and adiabatic shear band appeared in the material was analyzed. All the constitutive parameters could be quickly identified by the local search optimization algorithm taking least squares method as the object function. By adopting a stress compensation updating algorithm, a subroutine VUAMT of the proposed constitutive model was programmed on plat of ABAQUS/Explicit. The finite element simulation of dynamic responses of Ti-6Al-4V titanium alloy under different strain rates and temperatures are obtained. The modified Johnson-Cook modal can accurately describe the thermo viscoplasticity dissipation due to good agreement between simulation results and experimental data. The subroutine VUAMT and applicability of constitutive description for titanium alloy under various strain rates were verified.

Ti-6Al-4V; thermo viscoplasticity; modified Johnson-Cook modal; subroutine VUAMT

Project (B1520132013-1) supported by the National Natural Science Foundation of China Academy of Engineering Physics and Jointly Set Up “NSAF” Joint Fund

2016-06-28; Accepted date: 2016-10-25

LI Yun-fei; Tel: +86-816-2482384; E-mail: yunfei_ise@163.com

10.19476/j.ysxb.1004.0609.2017.07.13

1004-0609(2017)-07-1419-07

TG113.25

A

國(guó)家自然科學(xué)基金委與中國(guó)工程物理研究院NSAF聯(lián)合基金資助項(xiàng)目(B1520132013-1)

2016-06-28；

2016-10-25

李云飛，助理研究員；電話：0816-2482384；E-mail：yunfei_ise@163.com