崔雪揚，曹博超，徐弘一

(復(fù)旦大學 航空航天系，上海 200433)

串列雙圓柱繞流問題數(shù)值模擬的多尺度分析

崔雪揚，曹博超，徐弘一

(復(fù)旦大學 航空航天系，上海 200433)

運用有限體積法，對串列放置的雙圓柱二維不可壓縮流動進行了直接數(shù)值計算.在分析Strouhal數(shù)及升阻力系數(shù)等積分量的基礎(chǔ)上，本文從流動多尺度層面研究了流場分布及渦結(jié)構(gòu).通過對速度場的流動顯示和頻譜分析，確定了渦脫落的多個頻率，以及分別受上游圓柱和下游圓柱邊界層擾動形成的多尺度渦的相互作用，并且發(fā)現(xiàn)由于多尺度渦的相互作用形成了更小尺度渦的過程及機理.最后，進一步將這些渦結(jié)構(gòu)與流場模態(tài)對應(yīng)起來，使得流場結(jié)構(gòu)更加清晰地展現(xiàn)出來.

串列雙圓柱； 直接數(shù)值模擬； 多尺度； 渦脫落； 脫落頻率

流體繞流問題是工程中的常見問題，各種高大建筑物設(shè)計、飛行器設(shè)計、海洋石油平臺及輸油管道建設(shè)均涉及此類流動.此外，工業(yè)設(shè)備中也普遍存在繞流現(xiàn)象，如各類管殼式換熱器等.因此研究鈍體繞流的特性對工程實際和工業(yè)設(shè)備設(shè)計尤其重要，相關(guān)課題也一直是流體研究的熱點.一個多世紀以來,圓柱繞流一直是眾多理論分析、實驗研究及數(shù)值模擬的對象，但迄今對該流動現(xiàn)象物理本質(zhì)的理解仍未完整.

大多數(shù)實驗研究的雷諾數(shù)高于104量級，而數(shù)值模擬大都在102量級進行.盡管計算中雷諾數(shù)遠小于實際情況,但實驗結(jié)果表明，伴隨渦脫落的大尺寸尾流在一定程度上呈高、低雷諾數(shù)(102量級)相似的特征[1].因此,通過對低雷諾數(shù)問題的研究亦可基本反映高雷諾數(shù)流動的主要現(xiàn)象.雖然實際情形為3維流動，但2維問題的研究亦可反映該流動的一些主要特征.

在實驗研究方面，Roshoko[2]最早在實驗室中發(fā)現(xiàn)圓柱繞流存在與流場雷諾數(shù)相關(guān)的3個尾流狀態(tài)；Zdravkovich[3]曾對兩圓柱串列和交錯放置的繞流問題進行過實驗研究，針對兩圓柱中心間距小于5倍圓柱直徑的一系列情況，他研究了兩圓柱間的流動相互作用，發(fā)現(xiàn)中心間距小于3倍圓柱直徑時，沒有明顯的渦自上游圓柱脫落.

隨著電子計算機的飛速發(fā)展，數(shù)值計算方面的研究也層出不窮，Phuocloc和Bouard[4]數(shù)值模擬繞流圓柱初期流動的2次渦結(jié)構(gòu)，將得到的結(jié)果和實驗比對，非常接近.鄧見等[5]使用分塊耦合方法，對單圓柱和串列雙圓柱繞流進行了數(shù)值模擬，研究分析了雙柱中心間距變化對上下游圓柱升阻力系數(shù)的影響，計算結(jié)果與試驗結(jié)果非常吻合.廖俊等[6]使用表面渦法研究了高雷諾數(shù)下排列方式不同的雙圓柱繞流，計算了圓柱在串列、并列以及錯置情況下的各種流動結(jié)構(gòu)、渦街變化及作用在圓柱上的力，所得的阻力系數(shù)與試驗結(jié)果符合很好.

然而到目前為止，對圓柱繞流問題的研究大多集中在整體平均量層面，如同一雷諾數(shù)下探究阻力系數(shù)、升力系數(shù)和Strouhal數(shù)與間距直徑比的關(guān)系，或者將數(shù)值模擬得到的流場信息，如流函數(shù)、渦量、渦脫落頻率等與實驗結(jié)果進行比較.隨著科學研究的不斷深入，對多尺度下流動規(guī)律的研究變得越來越重要.目前國內(nèi)外對多尺度下低雷諾數(shù)圓柱繞流的研究還相對初步，有必要對低雷諾數(shù)下的圓柱繞流開展深入研究.

本文用有限體積法將非定常Navier-Stokes(N-S)方程進行離散，在求解域中采用直接數(shù)值模擬(Direct Numerical Simulation, DNS)方法計算得到流場信息，應(yīng)用后處理軟件Fieldview進行流場顯示，根據(jù)流動結(jié)構(gòu)和圓柱后渦脫落尾跡分布，取相關(guān)位置點進行流動的多尺度分析，以研究渦脫落頻率、邊界層擾流等流動基本特征，并結(jié)合模態(tài)和渦量圖深入解析渦脫落機理.

1 數(shù)值計算方法

1.1控制方程及其差分離散格式

計算機的快速發(fā)展，使得DNS方法可在相對簡單的流動幾何構(gòu)型中得以應(yīng)用.但此方法要求網(wǎng)格點的數(shù)量多，計算量巨大.由于本文計算研究的是相對較低的雷諾數(shù)(Re=800)，使得DNS方法得以應(yīng)用并得到較為精確的結(jié)果.

研究中的物理模型為2維不可壓縮非定常流動的N-S方程：

式中：u，v是x，y方向的速度；μ為動力粘度；ρ為流體密度；t為計算總時長；p為作用在研究對象上的壓力.

為獲取具有普遍應(yīng)用價值的流動數(shù)據(jù)，需要對方程進行無量綱化處理，所取特征物理量及相關(guān)無量綱物理量如下：

無量綱化后的2維不可壓縮非定常流動的N-S方程可改寫為：

在對動量方程的離散中，對流項和擴撒項采用空間2階中心格式.在時間方向，采用2階精度的時間推進，對流項為2階Adams-Bashforth顯示格式，擴散項則采用2階Adams-Moulton隱式格式.則離散方程可寫為：

空間離散網(wǎng)格采用交錯網(wǎng)格布局，如圖1(見第386頁)所示，即速度分量(u，v)和壓力p各占據(jù)一套網(wǎng)格，這樣就可以避免壓力速度定義在同一點產(chǎn)生的壓力棋盤格式，也可以避免連續(xù)方程通量計算中的差值守恒性和Poisson方程邊界條件問題.動量與壓力的解耦求解采用分步方法[7].

圖1 u方向的交錯網(wǎng)格及u分量控制體Fig.1 Staggered grid in u direction and u component control body

由上可知，得到u方向的動量方程：

其中φ與壓力項p有關(guān)，即

1.2計算域

圖2 計算域展示圖Fig.2 Computational domain sketch map

在本次模擬計算中，經(jīng)無量綱化處理將圓柱直徑設(shè)為1，選取長l=16，寬d=4的長方形計算域，串列雙圓柱的間距比為2，上游圓柱圓心位置與進口邊界的距離為4，如圖2所示.

在以往的計算中，研究者大多將計算區(qū)域網(wǎng)格采用分塊的結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格，圓柱周圍計算區(qū)域采用O型網(wǎng)格，由于渦的產(chǎn)生、發(fā)展和脫落的整個過程均在圓柱表面進行，圓柱表面附近區(qū)域的計算網(wǎng)格劃分和網(wǎng)格質(zhì)量對圓柱表面的計算結(jié)果會產(chǎn)生較大的影響，因此采用O型網(wǎng)格的優(yōu)勢是能夠更好地模擬圓柱體表面上渦的產(chǎn)生和發(fā)展過程.但是在圓柱表面區(qū)域生成正交性較好的高質(zhì)量網(wǎng)格卻比較困難.

由于模擬中的求解域和圓柱截面的網(wǎng)格均為比較規(guī)整的形狀(Cartesian正交網(wǎng)格)，且網(wǎng)格點數(shù)較高(1026×514)，使得圓柱表面計算精度比較高.整體網(wǎng)格在空間為非均勻分布，在圓柱周圍進行了加密，如圖3(a)所示的網(wǎng)格整體效果，圖3(b)為將網(wǎng)格放大后的效果.可以看到圓柱附近網(wǎng)格的不均勻性.由于計算的雷諾數(shù)較低，使得圓柱附近的邊界層不需要太密的網(wǎng)格分辨率，因此使得計算結(jié)果具有物理可靠性.

圖3 計算網(wǎng)格和圓柱邊界層附近計算網(wǎng)格的放大圖Fig.3 Computational grid and large version of computational grid near the cylinder boundary layer

1.3邊界條件

入口邊界條件： 入流為均勻流，u=u0=1，pi+1,j-pi,j=0；

出口邊界條件： 出口充分發(fā)展ui+1,j-ui,j=0,vi+1,j-vi,j=0；

圓柱表面無滑移邊界，給定速度和壓力，u=0，v=0；

外壁面無滑移邊界，給定速度，(u,v)=0.

2 計算結(jié)果分析

本論文主要研究Re=800時，來流為層流時串列雙圓柱的繞流情況，分析展示了流動分離、漩渦生成和脫落、漩渦之間以及漩渦-壁面的互相干擾等流體力學現(xiàn)象，得到非定常流動失穩(wěn)后的一系列固有頻率與本征正交分解(Proper Orthogonal Decomposition, POD)模態(tài)分析等物理量的對應(yīng)關(guān)系.計算考慮來流為均勻流動，總時間推進長度為300，時間步長為Δt=0.0006，推進時間步為500000步.圖4展示了充分發(fā)展時刻的流場瞬間結(jié)構(gòu)，以作為對串列雙圓柱流場的感性認知.

圖4 均勻來流的串列雙圓柱繞流的兩個瞬時刻流場結(jié)構(gòu)Fig.4 Two moments of instantaneous flow structure about double cylinders in tandem as incoming flow is uniform

圖5 串列雙圓柱求解域布點情況Fig.5 Domain distribution of double cylinders in tandem

本文選取的圓柱間距比為2.由于求解域為上下對稱，因此只需在對稱軸以上布點(如圖5)，從多尺度層面去探究圓柱繞流脫落事件與頻率的關(guān)系.從左到右依次記為1，2，3，…，12列，共12×12個研究點.

2.1來流為均勻流時的流場頻譜分析

2.1.1 上下游圓柱之間流場信息分析

由圖4的流動顯示圖可知，因為上游圓柱邊界層擾動影響，會在兩圓柱之間產(chǎn)生旋渦.文獻[8]顯示，當Re=60～200時，雙柱串列繞流存在一個臨界間距比(l/d=3.6)，小于臨界間距時，上游圓柱不存在渦脫落.在本算例中根據(jù)流動顯示圖及后續(xù)的證明，得到當Re=800，兩圓柱間距比為2時，上游圓柱也不存在渦脫落.在兩圓柱的共同作用下，該區(qū)域形成有規(guī)律的渦結(jié)構(gòu).對兩圓柱中間的3列點進行分析得到速度場信息和速度場的頻譜分析.選擇其中3個典型位置： 第4列第1個點(0.68,0)、第5列第2個點(0.99,0.14)、第6列第3個點(1.29,0.29)，得到如圖6(見第388頁)所示的u和v方向的速度頻譜分析圖.x軸為頻率，記為f(=t-1)；y軸為振幅，u方向的振幅記為Au,v方向的振幅記為Av.

圖6 點(0.68,0)，(0.99,0.14)，(1.29,0.29)u和v方向的頻譜分析Fig.6 (0.68,0)，(0.99,0.14)，(1.29,0.29) spectrum analysis in u and v direction

以上的頻譜分析結(jié)果可解釋圖4中關(guān)于兩圓柱之間的流動顯示觀察.從頻譜分析圖中可明顯看出0.22為主導(dǎo)頻率，0.44為次主導(dǎo)頻率.再結(jié)合u，v方向的頻譜分析，發(fā)現(xiàn)0.22，0.44的頻率會在不同的位置起不同的主導(dǎo)作用.上游圓柱的邊界層擾動是上下游圓柱之間的渦形成的主要原因，但是渦在此位置的擺動則是上下游圓柱共同作用的結(jié)果.

從圖4中可以看出，上下游圓柱之間的渦同時在轉(zhuǎn)動和上下擺動，因此生成的渦不是簡單一個大尺度渦，而是在震蕩的過程中也產(chǎn)生了小尺度的旋渦.大渦頻率為0.22，小渦頻率為0.44.圖4呈現(xiàn)出的結(jié)果與頻譜分析得出的結(jié)果基本相同.另外，從頻譜分析圖上也可以看到還有一個比較明顯的頻率0.65，能量不多但也不足以忽視，說明除此兩個渦之外仍有一些細碎的小渦形成，頻率在0.65附近.

2.1.2 下游圓柱尾流流場信息分析

文獻[9]顯示，雷諾數(shù)達到150和200時，圓柱尾流區(qū)出現(xiàn)明顯的渦脫落，在圓柱后的尾流區(qū)形成了穩(wěn)定的渦街結(jié)構(gòu)，渦街排列規(guī)則.本文的雷諾數(shù)為800，圖4的流動顯示圖明顯展現(xiàn)了下游圓柱后面有渦的脫落且排列規(guī)則.由流體力學知識可知，流體繞圓柱流動時，過流斷面收縮，流速沿程增加，壓強沿程減小，而由于粘性力的存在，柱體周圍形成附面層分離，隨雷諾數(shù)增加，在柱體后半部分形成不同的繞流尾跡現(xiàn)象，可推測下游渦會同時受到上下游圓柱邊界層擾動的影響.

對下游圓柱后面4列點做出u-t，v-t，p-t和對應(yīng)的頻譜分析，如圖7所示.結(jié)合流動顯示圖4，近下游圓柱尾流區(qū)的渦已經(jīng)形成但是還未脫落.從圖7中可以看到，0.22為最明顯的主導(dǎo)頻率，0.44和0.65為次要頻率.下游圓柱后面的渦發(fā)生了脫落，說明0.22為脫落頻率.0.44和0.65分別是受上游圓柱和下游圓柱邊界層擾動形成的套在大渦里的小渦.理由如下： 1) 上下游圓柱之間的主頻出現(xiàn)了0.44，但并沒有出現(xiàn)0.65；2) 下游圓柱上方的位置主頻出現(xiàn)0.44而沒有0.65；3) 下游圓柱主頻同時包括有0.44和0.65.兩圓柱之間位置的渦只受上游圓柱的影響，而下游圓柱后面的渦同時受到上下游圓柱邊界層擾動的影響.

遠離下游圓柱的尾渦區(qū)，渦已經(jīng)脫落，渦經(jīng)過的位置都有3個主要的頻率，分別為0.22，0.44，0.65.同樣0.22為渦的脫落頻率，由前面的分析可知，脫落渦中有兩個頻率為0.44和0.65的小渦，分別是受上游圓柱和下游圓柱的影響.

由于渦不僅產(chǎn)生了脫落，而且受到上下游圓柱的影響也產(chǎn)生了小渦結(jié)構(gòu).同時在圖7中發(fā)現(xiàn)小渦頻率除0.44和0.65之外，還有0.91比較突出.說明在這些事件的共同影響下使得流動現(xiàn)象更加復(fù)雜，出現(xiàn)了其他頻率的小渦結(jié)構(gòu).選擇其中3個典型位置： (2.72,0.73)，(3.92,0.14)，(6.17,0.14)，得到如圖7所示的u和v方向的速度頻譜分析圖.

圖7 點(2.72,0.73)，(3.92,0.14)，(6.17,0.14)u和v方向的頻譜分析Fig.7 (2.72,0.73)，(3.92,0.14)，(6.17,0.14) spectrum analysis in u and v direction

圖7展示了下游圓柱尾流區(qū)特定位置渦的特點，在研究中也發(fā)現(xiàn)，同一列12個點的位置渦的能量呈現(xiàn)一定的變化規(guī)律，如圖8展示．以x=3.92列為例，比較同一列上的位置，發(fā)現(xiàn)u方向上主頻率的能量從標記1處向上開始逐漸增加，到3處到達最大之后衰減；v方向上主頻率的能量從標記1處達到最大，向上開始逐漸衰減.再以x=6.17列為例，u方向上主頻率的能量從標記1處向上開始逐漸增加，到5處到達最大之后衰減；v方向上主頻率的能量從標記1處達到最大，向上開始逐漸衰減.說明渦脫落之后的軌跡并不是一條水平線，且其水平方向的能量最大值隨渦的移動而變動，豎直方向的能量隨位置的升高而降低.可推測水平方向能量的最大值在渦的中心位置.在x=6.17列的折線圖中看到最低點之后有回升，結(jié)合流動顯示圖，說明求解域的邊界層在此處已經(jīng)變寬，x=6.17列標記12已經(jīng)觸及求解域的邊界層.在這篇論文中不對邊界層做深入的研究.

圖8 x=3.92和x=6.17列主頻能量的變化Fig.8 Line x=3.92 and x=6.17 energy change of dominant frequency

2.1.3 結(jié)果對比

在文獻[1]中，劉松等在Re=200，間距比為2，串列雙圓柱繞流的情況下，數(shù)值模擬得到Strouhal數(shù)為0.19，同等條件下文獻[10]的實驗結(jié)果中Strouhal數(shù)為0.13，而在本文中Re=800，間距比為2，由St=fD/u0(式中St為斯特勞哈爾數(shù)，f為頻率，D為圓柱直徑，u0為初速度)[10]得到Strouhal數(shù)為0.22，在同一數(shù)量級，這說明本文的模擬計算結(jié)果與其他類似研究的可比性及可靠性.

2.2均勻來流的流場模態(tài)分析

圖9 1～20階模態(tài)能量衰減圖Fig.9 1—20 mode energy attenuation map

上文在多尺度層面解釋了串列雙圓柱在Re=800，來流為均勻流時的流動結(jié)構(gòu)以及影響原因.由于湍流多尺度的復(fù)雜性，為了研究湍流的物理機制，研究人員常用模態(tài)分解的辦法來提取對流場發(fā)展有重要影響的相干結(jié)構(gòu).POD法是按照能量的大小對各模態(tài)進行排列，提取流場中較大能量的結(jié)構(gòu).POD目前已用于研究多種流動問題，例如低雷諾數(shù)下圓柱繞流的動態(tài)特性.在本篇論文中，將多尺度微觀層面流場結(jié)構(gòu)分析和POD法模態(tài)分析結(jié)合，來解釋串列雙圓柱繞流的流動現(xiàn)象.

將計算得到的前20階模態(tài)能量作線形圖，如圖9所示，可以看到前2階能量大幅衰減.

根據(jù)能量占比計算得到，前8階能量已經(jīng)占到總能量的94%，所以取前8階模態(tài)為POD分析的對象，如圖10所示.

圖10 1～8階模態(tài)渦量云圖Fig.10 1—8 vortex cloud chart

圖10是串列雙圓柱繞流前8階模態(tài)的渦量云圖，根據(jù)圖10，1，2，4，6，7階模態(tài)在垂直于流動方向上為正對稱結(jié)構(gòu)，3，5，8階模態(tài)在垂直于流動方向上為反對稱結(jié)構(gòu).和圖4的流場結(jié)構(gòu)顯示圖結(jié)合可以從整體上對該流場有直觀的感受，可以看到流場渦尺度的多樣化和渦結(jié)構(gòu)的復(fù)雜.下面將通過頻譜分析將模態(tài)、渦結(jié)構(gòu)以及流場的影響因素聯(lián)系起來.圖11為1～8階模態(tài)的速度頻譜圖.

圖11 1～8階模態(tài)u方向速度頻譜圖Fig.11 1—8 mode in u direction velocity frequency spectrum

1,2階模態(tài)中只有主頻率0.22的渦，且第1階模態(tài)包含88.5%的能量，前2階模態(tài)包含90.8%的能量，說明渦脫落發(fā)生在第1階模態(tài)，2階模態(tài)相對于1階模態(tài)多一些擾動.3階模態(tài)中的主頻為0.44和0.91，說明上游圓柱邊界層擾動的影響主要發(fā)生在3階模態(tài)中.4階模態(tài)包含4個主頻，說明4階模態(tài)涵蓋了下游圓柱尾流渦結(jié)構(gòu)的所有信息，也體現(xiàn)了上下游渦共同作用的結(jié)果.除4階模態(tài)之外，7階模態(tài)和8階模態(tài)也都包含了4個主頻，但明顯7階模態(tài)中頻率0.91的影響比較小，說明渦脫落時結(jié)構(gòu)中主要包含3個渦，而在8階模態(tài)中頻率0.65的能量相對頻率0.44對應(yīng)的能量更大些，說明在此階模態(tài)中，下游圓柱邊界層影響效果更大.5階模態(tài)體現(xiàn)了上下游圓柱中間位置渦的結(jié)構(gòu)，主要受上游圓柱邊界層擾動的影響，頻率0.22能量占比并非最大.6階模態(tài)中體現(xiàn)了下游圓柱邊界層擾動對渦結(jié)構(gòu)的影響，主要頻率為0.22,0.65.這8階模態(tài)中由不同原因造成的渦結(jié)構(gòu)的不同，其流場信息結(jié)構(gòu)也可由圖10的云圖定性地看出.表1為1～8階模態(tài)的能量占比信息及發(fā)生渦的主要頻率.

表1 1～8階模態(tài)的能量占比信息及發(fā)生渦的主要頻率

結(jié)合表1以及各階模態(tài)系數(shù)頻譜分析圖11，由于2～8階模態(tài)的能量占比非常小，可知一階模態(tài)的能量即為渦脫落的能量，即主頻0.22的能量占88.5%.上下游圓柱擾動影響造成的次主要渦結(jié)構(gòu)總能量占比不到5.5%，其中受下游圓柱層流擾動影響形成的渦能量占比最大，即頻率0.65的能量占比排第二，頻率為0.44和0.91的能量占比相近.

3 結(jié)論與展望

本文從多尺度層面研究了串列雙圓柱的繞流問題，分析了Re=800,來流為均勻流時的復(fù)雜流場結(jié)構(gòu)，并采用POD方法將能量絕對占優(yōu)的前8階模態(tài)進行剝離，從而探求渦流場結(jié)構(gòu)及其成因以及與相關(guān)模態(tài)之間的關(guān)系.總體而言，本文做了以下的工作并得出相應(yīng)結(jié)論：

1) 間距比為2時，上下游圓柱之間的渦不會脫落，且通過頻譜分析此時除了主頻為0.22的大渦之外，內(nèi)部還套有主頻為0.44的小渦，且由上游圓柱邊界層擾動產(chǎn)生.

2)Re=800來流為均勻流時流場結(jié)構(gòu)已經(jīng)呈現(xiàn)多尺度的復(fù)雜性.在下游圓柱的后面，出現(xiàn)了渦的脫落且脫落頻率為0.22；除此之外，還出現(xiàn)了多尺度的小渦，受上游圓柱邊界層擾動產(chǎn)生的頻率為0.44的小渦和受下游圓柱邊界層擾動產(chǎn)生的頻率為0.65的小渦，以及相互之間作用產(chǎn)生的更微尺度的頻率為0.91的渦.

3) 將模態(tài)與流場結(jié)構(gòu)對應(yīng)起來，發(fā)現(xiàn)由于不同原因產(chǎn)生的渦有些只發(fā)生在某一個模態(tài)中，有些則在多個模態(tài)中發(fā)生.前8階模態(tài)的能量占據(jù)總能量的94%.

本文只是對Re=800，均勻來流的情況加以分析，對于此雷諾數(shù)下來流為湍流的以及高雷諾數(shù)比如Re=1600，來流分別為均勻流和充分發(fā)展湍流的情況，后續(xù)仍需要大量的工作對其進行分析以及對比，才能更深入地從微尺度層面將串列圓柱的繞流問題研究清楚.

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Abstract： Two-dimensional flow around double cylinders in tandem was calculated, using the finite volume method. Based on the comparisons of the Strouhal number and the lift and drag coefficients with the relevant researches, the flow field and its vortex structure were further investigated. Flow visualizations were conducted and the spectrum and POD analyses were performed to study the vortex shedding and their respective interactions.The formation of the smaller vortex scales were found due to the vortex interactions. The vortex structure and the modes of flow-field exhibited their distinctive structures in terms of their symmetrically and unsymmetrically characteristic distributions in space.Keywords： double cylinders in tandem; direct numerical simulation; multi-scale flow; vortex shedding; shedding frequency

Multi-scaleAnalysisofNumericalSimulationaboutFlowaroundDoubleCylindersinTandem

CUI Xueyang, CAO Bochao, XU Hongyi

(DepartmentofAeronauticsandAstronautics,FudanUniversity,Shanghai200433,China)

F830.9

A

0427-7104(2017)03-0384-09

2016-11-24

國家自然科學基金重大研究計劃培育項目(91434112)；上海千人計劃啟動項目(EZH2126503)；上海教育委員會、中航商業(yè)發(fā)動機、復(fù)旦大學數(shù)值仿真聯(lián)合創(chuàng)新中心項目(AR908.D1RW.002)

崔雪揚(1991—)，女，碩士研究生；徐弘一(1963—)，男，研究員，通信聯(lián)系人，E-mail： hongyi_xu@fudan.edu.cn.