袁 健 朱士信 開曉山

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有限鏈環(huán)上一類常循環(huán)碼的距離

袁 健 朱士信*開曉山

(合肥工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 合肥 230009) (東南大學(xué)移動通信國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 南京 210096)

在編碼理論中，線性碼的(最小)距離是一個極其重要的參數(shù)，它決定了碼的糾錯能力。設(shè)為任一有限交換鏈環(huán)，為其最大理想的一個生成元，為的乘法單位群。對于任意，該文利用上任意長度的-常循環(huán)碼的生成結(jié)構(gòu)，通過計算這類碼的高階撓碼，得到了上任意長度的-常循環(huán)碼的漢明距離，并研究了這類常循環(huán)碼的齊次距離。這給編譯有限鏈環(huán)上此類常循環(huán)碼提供了重要的理論依據(jù)。

常循環(huán)碼；有限鏈環(huán)；漢明距離；齊次距離

1 引言

自20世紀(jì)九十年代中期，Hammons等人[1]發(fā)現(xiàn)一些高效的二元非線性碼為上線性碼的Gray像以來，有限鏈環(huán)上糾錯碼一直是編碼理論研究的熱點(diǎn)。有限鏈環(huán)上的常循環(huán)碼是一類非常重要的線性碼。有限域或環(huán)上碼的漢明距離在衡量碼的糾錯能力起重要作用，Norton和Sǎlǎgean[8]利用撓碼研究有限鏈環(huán)上線性碼的漢明距離。齊次距離在研究有限鏈環(huán)上碼中非常重要[6,9]。在本文中，設(shè)為任一有限交換鏈環(huán)，為其最大理想的一個生成元，為的乘法單位群。對于任意，我們先引用關(guān)于上任意長度的-常循環(huán)碼結(jié)構(gòu)[10]。利用此生成結(jié)構(gòu)性質(zhì)，通過計算高階撓碼，結(jié)合代數(shù)計算程序MAGAM，得到了上任意長度的所有-常循環(huán)碼的漢明距離，還研究并得到了這類碼齊次距離的一些重要結(jié)果。

2 有限鏈環(huán)和常循環(huán)碼

如果一個有限含幺交換環(huán)是局部環(huán)并且其最大理想是主理想，那么該環(huán)是有限鏈環(huán)。本文中以表示任一有限鏈環(huán)，表示的乘法單位群。設(shè)為的最大理想的一個生成元。于是為一冪零元，本文記為其冪零指數(shù)。本文記模其最大理想的剩余域?yàn)?，即，其中為含有個元素的有限域，為的特征。的勢為。到存在一個自然環(huán)滿同態(tài)映射。此映射可以自然開拓為到的一個環(huán)同態(tài)，我們?nèi)詫⑺涀?。對于任意，我們記其在下的像為。根?jù)文獻(xiàn)[11]，對于中任一非零元，存在唯一的和唯一的單位，使得，其中在模下唯一。對于，若有使得，則稱在上互素。在上互素當(dāng)且僅當(dāng)在上互素[11]。

定理1[10]每一個互不相同的上長度為的-常循環(huán)碼可唯一表示成，其中,。上長度為的-常循環(huán)碼的數(shù)目為。上述碼中碼字?jǐn)?shù)目為。

3 漢明距離和齊次距離

碼中任一碼字的齊次重量為它的所有分量的齊次重量的和。線性碼的齊次距離為碼所有非零碼字的齊次重量中的最小值。漢明重量和漢明距離按照通常的定義。下面來研究上長度為的-常循環(huán)碼的漢明距離和齊次距離。

4 結(jié)束語

本文研究了有限鏈環(huán)上的一類常循環(huán)碼的距離。根據(jù)這類常循環(huán)碼的已知結(jié)構(gòu)，通過計算其高階撓碼，對任一給定的這類常循環(huán)碼，其漢明距離都可以利用本文方法計算。本文還探究了這類常循環(huán)碼的齊次距離，得到了關(guān)于這類碼的齊次距離的一個界，并得到了在某些特殊情況下這類碼的精確的齊次距離。這給編譯有限鏈環(huán)上此類常循環(huán)碼提供了重要的理論依據(jù)。完全確定該類碼在任意情況下的精確齊次距離是一個待研究的問題。

[1] HAMMONS A R Jr., KUMAR P V, CALDERBANK A R,. The-linearity of Kerdock, Preparata, Goethals and related codes[J]., 1994, 40(2): 301-319. doi: 10.1109/18.312154.

SHI M J, YANG S L, and ZHU S X. The distributions of distances of-constacyclic codes of lengthover[J].&, 2010, 32(1): 112-116. doi: 10.3724/ SP.J.1146.2008.01810.

[3] KONG B, ZHENG X Y, and MA H J. The depth spectrums of constacyclic codes over finite chain rings[J]., 2015, 338(2): 256-261. doi: 10.1016/j.disc.2014. 09.013.

[4] QIAN K Y, ZHU S X, and KAI X S. On cyclic self-orthogonal codes over[J]., 2015, 33: 53-65. doi: 10.1016/j.ffa.2014.11.005.

[5] DINH H Q, DHOMPONGSA S, and SRIBOONCHITTA S. Repeated-root constacyclic codes of prime power length overand their duals[J]., 2016, 339(6): 1706-1715. doi: 10.1016/j.disc.2016.01.020.

[6] WOLFMANN J. Negacyclic and cyclic codes over[J]., 1999, 45(7): 2527-2532. doi: 10.1109/18.796397.

[9] GREFERATH M and SCHMIDT S E. Gray isometries for finite chain rings and a nonlinear ternarycode[J]., 1999, 45(7): 2522-2524. doi: 10.1109/18.796395.

[10] CAO Y L. On constacyclic codes over finite chain rings[J]., 2013, 24: 124-135. doi: 10.1016/j.ffa.2013.07.001.

[11] MCDONALD B R. Finite Rings with Identity[M]. New York, Marcel Dekker Press, 1974: 56-97.

[12] DINH H Q. Constacyclic codes of lengthover[J]., 2010, 324(5): 940-950. doi: 10.1016/j.jalgebra.2010.05.027.

On Distances of Family of Constacyclic Codes over Finite Chain Rings

YUAN Jian ZHU Shixin KAI Xiaoshan

(,,230009,)(,,210096,)

In coding theory, the (minimum) distance of a code is a very important invariant, which always determines the error-correcting capability of the code. Letbe an arbitrary commutative finite chain ring,is a generator of the unique maximal ideal andis the multiplicative group of units of. In this paper, for any, by using the generator polynomials of-constacyclic codes of any length over, higher torsion codes of such codes are calculated. The Hamming distance of all-constacyclic codes of any length overis determined and the exact homogeneous distance of some such codes is obtained. The result provides a theoretical basis for encoding and decoding for such constacyclic codes.

Constacyclic codes; Finite chain rings; Hamming distance; Homogeneous distance

TN911.22

A

1009-5896(2017)03-0754-04

10.11999/JEIT160392

2016-04-22；改回日期：2016-09-23；

2016-11-14

朱士信 zhushixin@hfut.edu.cn

國家自然科學(xué)基金(61370089, 60973125)，東南大學(xué)國家移動通信研究實(shí)驗(yàn)室開放研究基金(2014D04)，安徽省自然科學(xué)基金(1508085SQA198)

The National Natural Science Foundation of China (61370089, 60973125), The Open Research Fund of National Mobile Communications Research Laboratory, Southeast University (2014D04), The Natural Science Foundation of Anhui Province (1508085SQA198)

袁 健： 男，1988年生，博士生，研究方向?yàn)榇鷶?shù)編碼.

朱士信： 男，1962年生，教授，博士生導(dǎo)師，研究方向?yàn)榇鷶?shù)編碼理論、信息安全與序列密碼等.

開曉山： 男，1975年生，副教授，研究方向?yàn)榫幋a理論與信息安全等.