李開燦，張文強(qiáng)

(湖北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，湖北 黃石 435002)

有缺失數(shù)據(jù)的加權(quán)指數(shù)總體參數(shù)估計(jì)的漸近性

李開燦，張文強(qiáng)

(湖北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，湖北 黃石 435002)

依照隨機(jī)變量變換可以重新參數(shù)化的思想，得到了一種加權(quán)指數(shù)分布總體在具有缺失數(shù)據(jù)情況下參數(shù)的極大似然估計(jì)，利用中心極限定理和相關(guān)的極限理論，證明了這種估計(jì)量的強(qiáng)相合性和漸近正態(tài)性。

加權(quán)指數(shù)分布；缺失數(shù)據(jù)；極大似然估計(jì)；漸近正態(tài)性

0 引言

指數(shù)分布是可靠性分析中重要的分布，因?yàn)樵S多電子元器件的壽命可以用它來刻劃。近年來由于對(duì)系統(tǒng)可靠性研究的深入，人們覺得以前的單參數(shù)或雙參數(shù)指數(shù)分布還有進(jìn)一步發(fā)展的需求，例如在并聯(lián)系統(tǒng)的可靠性研究中，若并聯(lián)系統(tǒng)元件有不同的壽命分布，那么系統(tǒng)的可靠性分布就不是單參數(shù)或雙參數(shù)指數(shù)分布，文獻(xiàn)[1]、[2]提出了兩類加權(quán)指數(shù)分布，其實(shí)文獻(xiàn)[1]、[2]的分布形式還可以進(jìn)一步拓展，由于它不是本文研究的主題，我們暫且回避不談。但是加權(quán)指數(shù)分布所具有的性質(zhì)，特別是和指數(shù)分布類似的性質(zhì)是需要研究的。

在雙參數(shù)或單參數(shù)指數(shù)分布研究中，近期有許多文獻(xiàn)研究了帶有缺失數(shù)據(jù)類型的參數(shù)估計(jì)的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)。文獻(xiàn)[3]研究了單參數(shù)且有缺失數(shù)據(jù)情行下參數(shù)估計(jì)的漸近性，文獻(xiàn)[4]對(duì)具有部分缺失數(shù)據(jù)雙參數(shù)指數(shù)總體的參數(shù)估計(jì)性質(zhì)進(jìn)行了討論，文獻(xiàn)[5]對(duì)單參數(shù)兩指數(shù)總體帶有缺失數(shù)據(jù)的參數(shù)估計(jì)問題進(jìn)行了討論，給出總體參數(shù)估計(jì)的漸近性質(zhì)、參數(shù)相等的檢驗(yàn)以及參數(shù)差的漸近置信區(qū)間。

本文的主要目的是研究文獻(xiàn)[2]提出的加權(quán)指數(shù)分布在缺失數(shù)據(jù)下參數(shù)估計(jì)的漸近性問題。我們通過借助隨機(jī)變量轉(zhuǎn)化，得到一個(gè)新的包含原有參數(shù)的加權(quán)指數(shù)分布密度函數(shù)的機(jī)理，對(duì)密度函數(shù)中的未知參數(shù)重新參數(shù)化，進(jìn)而得到了這個(gè)加權(quán)指數(shù)分布參數(shù)的極大似然估計(jì)，利用前面文獻(xiàn)類似的方法及其大數(shù)定律和中心極限定理，本文證明了加權(quán)指數(shù)總體下參數(shù)極大似然估計(jì)具有的強(qiáng)相合性和漸近正態(tài)性。

1 加權(quán)指數(shù)分布概述

在概率論中，人們通過直接定義密度函數(shù)來描述許多常用的分布，文獻(xiàn)[2]也這樣給出加權(quán)指數(shù)分布。若隨機(jī)變量Z有密度函數(shù)

(1)

其中I(z>0)是示性函數(shù)，α>1，λ>0是常數(shù)，則稱Z服從參數(shù)為α，λ的加權(quán)指數(shù)分布，記作Z～WE(α，λ)。

加權(quán)指數(shù)分布的產(chǎn)生機(jī)理文獻(xiàn)[2]從并聯(lián)系統(tǒng)做了一個(gè)全面的解釋，現(xiàn)在從隨機(jī)變量變換的方式給出產(chǎn)生原理。用X～Be(a,b)表示隨機(jī)變量X服從Beta分布，其密度函數(shù)為

若隨機(jī)變量U～Be(a,b),?c>0,令U=e-2cV，用確定隨機(jī)變量函數(shù)分布的常規(guī)方江(文獻(xiàn)[6]不難導(dǎo)出新隨機(jī)變量V的密度函數(shù)為

(2)

即得到加權(quán)指數(shù)分布的密度函數(shù)。這說明加權(quán)可靠指數(shù)分布可利用變量轉(zhuǎn)化由Beta分布生成。

注記1 通常α稱為形狀參數(shù)，λ稱為尺度參數(shù).單獨(dú)從分布密度(1)式可以認(rèn)為α、λ是獨(dú)立的，但是從產(chǎn)生機(jī)理不難發(fā)現(xiàn)，可以讓它們有某種關(guān)聯(lián)，這就是我們后面把這兩個(gè)參數(shù)關(guān)聯(lián)化的基礎(chǔ)。

2 問題的假設(shè)與參數(shù)極大似然估計(jì)

在文獻(xiàn)[1]、[2]都討論了加權(quán)指數(shù)分布參數(shù)的極大似然估計(jì)，[2]還給出了極大似然估計(jì)的極限性質(zhì)，本節(jié)給出(1)式下有缺失數(shù)據(jù)的參數(shù)估計(jì)。需要指出的是本文討論的數(shù)據(jù)缺失機(jī)制都是完全隨機(jī)缺失的，即MCAR，細(xì)節(jié)見文獻(xiàn)[7].

f(x,λ)=2λ(2λ+1)e-2λx(1-e-x)x>0

本文主要研究這類分布的極大似然估計(jì)及其漸近性質(zhì)。

為了獲得缺失數(shù)據(jù)下λ的極大似然估計(jì)，首先確定其觀測(cè)到的數(shù)據(jù)X1,X2,…,Xn1的似然函數(shù)

從而對(duì)數(shù)似然函數(shù)為

對(duì)數(shù)似然方程

進(jìn)一步可得方程的解

化簡即可得λ的極大似然估計(jì)為

3 未知參數(shù)極大似然估計(jì)的漸近性質(zhì)

在本節(jié)主要討論上述有缺失數(shù)據(jù)的加權(quán)指數(shù)分布極大似然估計(jì)的漸近性質(zhì)，為此先引入幾個(gè)引理。

這幾個(gè)引理的證明都可以在文獻(xiàn)[8]中找到。

定理 在加權(quán)指數(shù)分布中，若參數(shù)和觀察樣本滿足本文§2的條件，那么當(dāng)n→∞時(shí)，(3)確定的極大似然估計(jì)有如下漸近性質(zhì)，

證明 由強(qiáng)大數(shù)定律可知當(dāng)n→∞時(shí)，

令函數(shù)

又由于

于是由引理1可得

另一方面取函數(shù)

則

對(duì)于(4)式中的I2，由于

根據(jù)中心極限定理(見文獻(xiàn)[6])

于是有

有

又由于

由引理3可知

證畢。

本文僅對(duì)加權(quán)指數(shù)分布在缺失數(shù)據(jù)情況下，利用所觀測(cè)到的數(shù)據(jù)對(duì)總體參數(shù)進(jìn)行極大似然估計(jì)，不過也只是運(yùn)用特殊參數(shù)化才做出的極大似然估計(jì)并證明了它的強(qiáng)相合性和漸近正態(tài)性，類似文獻(xiàn)[5]，我們也可以對(duì)參數(shù)化的兩個(gè)加權(quán)指數(shù)總體帶有缺失數(shù)據(jù)的參數(shù)是否相等進(jìn)行檢驗(yàn)以及作出參數(shù)差的漸近置信區(qū)間在此不一一討論。另外，對(duì)加權(quán)指數(shù)分布若不進(jìn)行特殊參數(shù)化，兩個(gè)參數(shù)有缺失數(shù)據(jù)如何研究估計(jì)的漸近性質(zhì)還有待進(jìn)一步的研究。

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[2]劉大飛，李開燦.一類加權(quán)可靠指數(shù)分布[J].數(shù)學(xué)雜志，2013,33(4)：689～696.

[3]劉銀萍.具有部分缺失數(shù)據(jù)兩個(gè)指數(shù)總體的估計(jì)和檢驗(yàn)[J].吉林大學(xué)學(xué)報(bào)(理學(xué)版).2002.40(3):255～257.

[4]馬明月，宋立新.具有部分缺失數(shù)據(jù)兩個(gè)雙參數(shù)指數(shù)總體的估計(jì)[J].吉林師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2004,(2):14～18.

[5]蘇 曦，郭鵬江，夏志明.兩指數(shù)總體帶缺失數(shù)據(jù)的參數(shù)估計(jì)與檢驗(yàn)[J].三峽大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2011,33(4):101～103.

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[7]Little R J A, Rubin D B. Statistical Analysis with Missing Date[M].2nd edition. New York: Wily,2002.

[8]茆詩松，王靜龍，濮曉龍.高等數(shù)理統(tǒng)計(jì)(第二版)[M].北京：高等教育出版社,2006.

Abstract: By the ideal to transform expression of the random variable that one can do reparametrization for the old parameter in distribution, This paper gets the maximum likelihood estimation for the weighted exponential distributions with missing data. Further, using the limiting theory relating to the central limit theorem, the strong consistency and asymptotic normality of the estimation are also proved.

Keywords: the weighted exponential distribution; missing data; MLE; asymptotic normality

Theasymptoticalpropertyontheestimationofweightedexponentialdistributionwithmissingdata

LI Kai-can, ZHANG Wen-qiang

(College of Mathematics and Statistics, Hubei Normal University, Huangshi 435002,China)

O212.2

A

2096-3149(2017)03- 0001-05

10.3969/j.issn.2096-3149.2017.03.001

2017—06—02

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11471105)

李開燦(1962— )，男，湖北武漢人，教授，研究方向?yàn)槎嘣y(tǒng)計(jì)分析.