金建平　胡明雷

[摘 要] 邏輯推理是初中競賽能力培養(yǎng)的重要素養(yǎng)，an的末一位或末兩位數(shù)字求法是初中數(shù)學(xué)競賽中常見的考試內(nèi)容之一. 本文從底數(shù)是一位數(shù)、兩位數(shù)和多位數(shù)冪的末兩位數(shù)字的研究，探求an（a，n是正整數(shù)）末兩位數(shù)字的通解方法.

[關(guān)鍵詞] an；末兩位數(shù)字；通解

問題提出

近日，在競賽資料中看到：32016的末兩位數(shù)字為（ ）

參考答案 32016=91008=（10-1）1008=101008-1008×101007+…-1008×10+1=100×101006-1008×101005+…+-1080+1，所以32016的末兩位數(shù)字是21.

參考答案的解法是運(yùn)用二項(xiàng)式定理求解，但初中階段沒學(xué)過二項(xiàng)式定理，且受底數(shù)和指數(shù)的限制，尤其是底數(shù)，能轉(zhuǎn)化為9和11的非常少見，能否找到一種通法解決an（a，n是正整數(shù)）的末兩位數(shù)字問題？

問題探索

1. 查閱資料，尋求答案

帶著疑問，筆者翻閱雜志、上網(wǎng)查閱，沒有查到如何解決an（a，n是正整數(shù)）末兩位數(shù)字問題. 僅有邵雄、何勇潮合寫的《淺談求自然數(shù)a的正整數(shù)冪an的末k位數(shù)的規(guī)律》[《教學(xué)與研究（中學(xué)數(shù)學(xué)）》]和樓健兒寫的《正整數(shù)冪an的末兩位數(shù)循環(huán)周期的確定》，但所用的知識(shí)均為高中知識(shí)，且方法較為復(fù)雜，不適宜初中生掌握.

2. 列舉探索，尋求規(guī)律

（1）以32016為例探索

筆者試著探究底數(shù)為個(gè)位數(shù)的an的末兩位數(shù)字的求法. 以底數(shù)3為例：31，32，33，34，35，36，37，38，39，310，311，312，313，314，315，316，317，318，319，320，321…的末兩位數(shù)字分別是03，09，27，81，43，29，

87，61，83，49，47，41，23，69，07，21，63，89，67，01，03，…，每20一循環(huán)，2016被20除余16，所以末兩位數(shù)字是21.

（2）探求an的末兩位數(shù)字的求法

類似于以上探索方法可得底數(shù)為個(gè)位數(shù)的其他數(shù)字的冪（an）的末兩位數(shù)字的循環(huán)規(guī)律：底數(shù)為2時(shí)，從22開始，每20個(gè)一循環(huán)；底數(shù)為8時(shí)，每20個(gè)一循環(huán)；底數(shù)為4，9時(shí)，每10個(gè)一循環(huán)；底數(shù)為6時(shí)，從62開始，每5個(gè)一循環(huán)；底數(shù)為7時(shí)，每4個(gè)一循環(huán)；底數(shù)為1時(shí)，末兩位數(shù)字均為01；底數(shù)為5時(shí)，從52開始，末兩位數(shù)字均為25. 由此可得底數(shù)為1～9的冪最多每20個(gè)一循環(huán). 但底數(shù)為兩位數(shù)的冪與底數(shù)是一位數(shù)的冪（它們的底數(shù)個(gè)位相同）的末兩位數(shù)字并不完全一致，如221的末兩位數(shù)字是52；2221的末兩位數(shù)字是72……由此可見，直接運(yùn)用末兩位數(shù)字的規(guī)律，雖然可以求出an（a，n是正整數(shù)）的末兩位數(shù)字，但循環(huán)節(jié)過多，而且特殊情況還需記憶，難度較大.

（3）再探an的末兩位數(shù)字的求法

容易知道個(gè)位數(shù)字為0，1，5，6，7的冪的末兩位數(shù)字的循環(huán)節(jié)最多只有5個(gè)，而任何末兩位數(shù)字為01～99的正整數(shù)的冪都可以轉(zhuǎn)化為末位數(shù)字為0，1，5，6的冪，具體對(duì)應(yīng)如表1.

從表1可以看出：末兩位數(shù)字為01～99的正整數(shù)的四次冪的末兩位數(shù)字只有12種情況：01，00，16，21，25，36，41，

56，61，76，81，96.

（4）再次研究an的循環(huán)節(jié)個(gè)數(shù)

末兩位數(shù)字為01，00，16，21，25，36，

41，56，61，76，81，96的正整數(shù)的冪的末兩位數(shù)字的循環(huán)節(jié)為1個(gè)或5個(gè)，具體對(duì)應(yīng)如表2.

（5）探求底數(shù)多于兩位數(shù)的an的末兩位數(shù)字

根據(jù)冪的特征，任何一個(gè)大于兩位數(shù)的正整數(shù)的冪的末兩位數(shù)字的情況與其個(gè)位和十位相同的兩位數(shù)的冪的末兩位數(shù)字相同.

（6）探求底數(shù)為任意位數(shù)的an的末兩位數(shù)

綜上所述，an（a，n是正整數(shù)）的末兩位數(shù)字均可以通過如下方法求得：若底數(shù)是一位數(shù)或兩位數(shù)的冪，則①根據(jù)冪運(yùn)算的法則，把底數(shù)轉(zhuǎn)化（最多4次方）為末兩位數(shù)字為01，00，16，21，25，36，41，56，61，76，81，96的數(shù)；②末兩位數(shù)字為01，00，16，21，25，36，41，56，61，76，81，96的正整數(shù)的冪，其末兩位數(shù)字的循環(huán)節(jié)最多只有5個(gè).

若某一整數(shù)是三位數(shù)及以上，則可根據(jù)規(guī)律轉(zhuǎn)化為兩位數(shù). 根據(jù)規(guī)律和根據(jù)以上研究可知：我們可以較快地求出an（a，n是正整數(shù)）的末兩位數(shù)字.

舉例說明

1. 求5100的末兩位數(shù)字：因?yàn)?n（n≥2）的末兩位數(shù)字都是25，所以5100的末兩位數(shù)字是25.

2. 求92015的末兩位數(shù)字：因?yàn)?2015=92014×9=811007×9，811007的末兩位數(shù)字的規(guī)律是81，61，41，21，01，81，…，每5個(gè)一循環(huán)，所以811007的末兩位數(shù)字是61，61×9=549，因此92015的末兩位數(shù)字是49.

3. 求42017的末兩位數(shù)字：因?yàn)?2017=42016×4=161008×4，161008的末兩位數(shù)字的規(guī)律是16，56，96，36，76，16，…，每5個(gè)一循環(huán)，所以161008的末兩位數(shù)字是96，而96×4=384，因此42017的末兩位數(shù)字是84.

4. 求20152015的末兩位數(shù)字：因?yàn)?0152015→20152014×2015→152014×15→2251007×15→251007×15，25n的末兩位數(shù)字都是25，25×15=375，所以20152015的末兩位數(shù)字是75.

5. 求19981999的末兩位數(shù)字：19981999=19981996×19983→981996×983=9604998×9604×98→4998×4×98=16499×392，16499的末兩位數(shù)字的規(guī)律是16，56，96，36，76，16，…，每5個(gè)一循環(huán)，所以16499的末兩位數(shù)字是36，36×92=3312，因此19981999的末兩位數(shù)字是12.

實(shí)際應(yīng)用

1. 求（1+3）（1+32）（ 1+34）…（ 1+364）的末位數(shù)字.

解答？搖 （1+3）（1+32）（1+34）…（1+364）=（3-1）（3+1）（32+1）（34+1）…（364+1）=（3128-1），而3128=964=8132，8132的末兩位數(shù)字的規(guī)律是81，61，41，21，01，81，…，每5個(gè)一循環(huán)，所以8132的末兩位數(shù)字是61，所以3128-1的末兩位數(shù)字是60. 因此（3128-1）的末兩位數(shù)字是30或80，所以（1+3）·（1+32）（1+34）…（1+364）的末位數(shù)字是0.

（注：這是通法之一，其他方法如上文提到的用二項(xiàng)式定理、3n的末兩位數(shù)字，每20個(gè)一循環(huán)、高等數(shù)論中的同余也可以求. 而如能發(fā)現(xiàn)32+1=10，則馬上可以得到（1+3）（1+32）（1+34）…（1+364）的末位數(shù)字是0）

2. 求4（1+5）（1+52）（1+54）…（ 1+5512）的末三位數(shù)字.

解答？搖 4（1+5）（1+52）（1+54）…（1+5512）=（5-1）（5+1）（52+1）（54+1）…（5512+1）=51024-1，而5n（n≥3）的末三位數(shù)字的規(guī)律是125，625，125，625，…，所以51024-1，即4（1+5）（1+52）（1+54）…（1+5512）的末三位數(shù)字是624.endprint