黃小研，賈培剛

（西安工業(yè)大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，陜西 西安 710021）

基于三次樣條插值法的滑坡變形階段分析

黃小研，賈培剛

（西安工業(yè)大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，陜西 西安 710021）

滑坡位移監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)能夠有效、直接地反映出滑坡整體變形趨勢(shì)，在監(jiān)測(cè)過(guò)程中，由于受到干擾或遇到設(shè)備故障，常會(huì)導(dǎo)致數(shù)據(jù)異?；蛉笔??；谌螛訔l插值法，對(duì)某新建工程監(jiān)測(cè)位移的缺失數(shù)據(jù)進(jìn)行了插值，使用t檢驗(yàn)法對(duì)插值后的數(shù)據(jù)進(jìn)行了顯著性檢驗(yàn)，并利用切線角法對(duì)插值后的累計(jì)位移數(shù)據(jù)進(jìn)行了變形階段分析。結(jié)果表明，利用三次樣條插值法得到的插值數(shù)據(jù)與原始數(shù)據(jù)沒(méi)有顯著差異，滑坡處于加速變形階段，可進(jìn)行短期預(yù)報(bào)。

三次樣條插值；t檢驗(yàn)法；切線角法；滑坡變形階段

采集滑坡位移數(shù)據(jù)時(shí)，自動(dòng)化監(jiān)測(cè)設(shè)備會(huì)受到外界影響而產(chǎn)生異常值，或因設(shè)備故障而缺失部分?jǐn)?shù)據(jù)。如果直接采用原始位移數(shù)據(jù)分析滑坡變形階段，或預(yù)測(cè)后續(xù)滑坡變形趨勢(shì)，則會(huì)出現(xiàn)與實(shí)際值偏差過(guò)大的情況。因此，在分析滑坡變形前，需對(duì)得到的原始位移數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理。對(duì)于原始位移數(shù)據(jù)的缺失一般采用插值方法，插值法是一種重要的數(shù)學(xué)計(jì)算工具，在諸多領(lǐng)域都有應(yīng)用，包括線性插值法、拉格朗日（Lagrange）插值法、牛頓（Newton）插值法、分段插值法和樣條插值法等，其中，樣條插值法是在每?jī)蓚€(gè)相鄰節(jié)點(diǎn)構(gòu)成的一個(gè)小區(qū)間內(nèi)用一個(gè)低次多項(xiàng)式來(lái)逼近，并保證在各個(gè)節(jié)點(diǎn)處的連接是光滑的。經(jīng)過(guò)三次樣條插值法處理的插值數(shù)據(jù)曲線變得光滑，如果與原始數(shù)據(jù)差異不顯著，便可使用切線角法進(jìn)行滑坡變形階段分析。分析時(shí)，應(yīng)使用累計(jì)位移數(shù)據(jù)，并構(gòu)造累計(jì)位移—時(shí)間曲線。從曲線的大致趨勢(shì)可先簡(jiǎn)單判斷滑坡位移趨勢(shì)，之后再根據(jù)切線角法計(jì)算各個(gè)小區(qū)間的曲線斜率，通過(guò)變形速率便可判斷滑坡變形階段。

1 三次樣條插值法基本原理及顯著性檢驗(yàn)

1.1 三次樣條插值法

考慮到高次插值不收斂又不穩(wěn)定，而二次插值擬合的函數(shù)光滑性不夠，所以，選擇三次樣條插值法對(duì)滑坡數(shù)據(jù)進(jìn)行插值。三次樣條插值函數(shù)的基本定義為：如果函數(shù)f（x）在節(jié)點(diǎn)x0，x1，…，xn處的函數(shù)值為 f（xi）＝y(tǒng)i，i＝0，1，…，n，并且關(guān)于這個(gè)節(jié)點(diǎn)集的三次樣條函數(shù)S（x）滿足插值條件S（xi）＝y(tǒng)i，i＝0，1，…，n，則稱這個(gè)三次樣條函數(shù)S（x）為三次樣條插值函數(shù)。

在每個(gè)小區(qū)間[xi，xi+1]上，三次樣條函數(shù)可以表示為：

式（1）中：hi為步長(zhǎng)，滿足 hi＝xi+1－xi，i＝1，2，…，n－1.

本文中，邊界條件滿足自然邊界條件，即S"（x1）＝M1，S"（xn）＝Mn，由此可得，M1＝Mn＝0.所以有：

聯(lián)合基本方程組可得到mi矩陣：

將求得的各未知數(shù)代入式（1）就可得到三次樣條函數(shù)的表達(dá)式。

1.2 t檢驗(yàn)

t檢驗(yàn)是用t分布理論來(lái)推論差異發(fā)生的概率，從而比較2個(gè)平均數(shù)的差異是否顯著。本文選取單總體t檢驗(yàn)對(duì)插值前后的數(shù)據(jù)進(jìn)行比較。如果總體標(biāo)準(zhǔn)差σ未知且樣本容量n＜30，那么，樣本平均數(shù)與總體平均數(shù)的離差統(tǒng)計(jì)量呈t分布。此時(shí)，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為：

如果樣本總數(shù)為大樣本（n＞30），檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量也可寫(xiě)為：

式（5）（6）中：X為樣本平均數(shù)；μ為總體平均數(shù)；σX為樣本標(biāo)準(zhǔn)差；n為樣本容量。

計(jì)算自由度df＝n－1，選定顯著性水平，查詢t檢驗(yàn)表，如果t＜t0.05（df），則接受原假設(shè)，即認(rèn)為插值前后的數(shù)據(jù)差別不顯著；反之，則拒絕原假設(shè)，認(rèn)為插值前后數(shù)據(jù)差別過(guò)大，不適用于后期的滑坡變形階段分析。

2 滑坡變形階段分析

原始數(shù)據(jù)經(jīng)過(guò)三次樣條插值處理、t檢驗(yàn)可靠之后，即可進(jìn)行滑坡變形階段分析，一般常采用切線角法。切線角的線性擬合方程為：

式（7）中：A為方程的斜率值。

式（7）適用于監(jiān)測(cè)值為等時(shí)間間隔數(shù)據(jù)，如果時(shí)間間隔不等，可使用式（8），即：

式（8）中：i＝1，2，…，n，為時(shí)間序號(hào)；ti為累計(jì)監(jiān)測(cè)時(shí)間；t為時(shí)間ti的平均值；αi為xi處的切線角；α為切線角αi的平均值。

αi的計(jì)算公式為：

式（9）中：B為比例尺度。

比例尺度的計(jì)算公式是：

根據(jù)求得的A，B值，查詢表1即可判別滑坡變形階段。

如果滑坡位移監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)量較大，可分段分析數(shù)據(jù)。如果劃分為n（n＝1，2，…，n）段，則分別對(duì)是對(duì)整體數(shù)據(jù)的分析。

3 滑坡變形階段分析實(shí)例

3.1 三次樣條插值法

為了便于分析，本文選取了某新建工程一個(gè)月的滑坡監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)作為原始數(shù)據(jù)列，其具體數(shù)據(jù)如表2所示。

計(jì)算時(shí)，橫坐標(biāo)參數(shù)為日期，無(wú)法計(jì)算，所以，將所有橫坐標(biāo)均換成可計(jì)算的數(shù)字，如果遇到確實(shí)點(diǎn)，便多空過(guò)去一個(gè)數(shù)字。由于計(jì)算過(guò)程復(fù)雜，數(shù)據(jù)量多，本文所有參數(shù)均使用MATLAB編程算出。根據(jù)式（1）（2）（3），λimi-1＋2mi＋μimi＝gi，i＝0，1，…，n－1，S"（x1）＝M1，S"（xn）＝式（4）經(jīng)過(guò)計(jì)算后可以得到全部三次樣條插值方程。此處截取了缺失數(shù)據(jù)點(diǎn)前后兩點(diǎn)構(gòu)成的小區(qū)間所計(jì)算出的函數(shù)方程組，對(duì)其余方程組進(jìn)行了省略，部分函數(shù)如下：

通過(guò)上述方程組各缺失點(diǎn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)可計(jì)算出相應(yīng)的缺失值，如表3所示。在圖1中，折線表示原始位移數(shù)據(jù)，曲線表示插值位移數(shù)據(jù)，圓圈表示各缺失點(diǎn)對(duì)用的缺失值。

圖1 原始位移數(shù)據(jù)曲線與插值曲線對(duì)比

從圖1中可以看出，三次樣條插值法保證了每個(gè)小區(qū)間在連接點(diǎn)處的連續(xù)性，除去數(shù)據(jù)缺失點(diǎn)，原始數(shù)據(jù)曲線與插值曲線之間有許多基本重合的地方。由此可見(jiàn)，三次樣條插值法具有較好的收斂性。

表1 滑坡切線角法變形階段分析表

表2 滑坡監(jiān)測(cè)位移原始數(shù)據(jù)表

表3 各缺失點(diǎn)對(duì)應(yīng)的缺失值

3.2 檢驗(yàn)

根據(jù)數(shù)據(jù)表2中的原始位移數(shù)據(jù)可計(jì)算出其平均數(shù)為2.688 8，標(biāo)準(zhǔn)差為0.672 1；插值后插值點(diǎn)樣本數(shù)n＝5，樣本平均數(shù)X＝2.482 1.建立原假設(shè)檢驗(yàn)H0∶μ＝2.666 8，認(rèn)為插值后數(shù)據(jù)與原始數(shù)據(jù)之間的差別不顯著。由于樣本數(shù)小于30，根據(jù)公式（5）可計(jì)算出：

選取顯著性水平為0.05，自由度df＝4，查詢t值臨界表，臨界值t0.05（4）＝2.776.由此可見(jiàn)，樣本的t值遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于臨界值2.776.因此，接受原假設(shè)檢驗(yàn)H0，認(rèn)為插值前后數(shù)據(jù)差別不顯著，可進(jìn)行滑坡變形階段的分析。

3.3 變形階段分析

根據(jù)上述分析，插值后的缺失值具有顯著性，可進(jìn)行滑坡變形階段的分析。將原始位移數(shù)據(jù)與插值位移數(shù)據(jù)相結(jié)合，構(gòu)成新數(shù)據(jù)列進(jìn)行數(shù)據(jù)累加，使其成為累計(jì)位移數(shù)據(jù)列，并繪制出累計(jì)位移—時(shí)間曲線圖，如圖2所示。

圖2 插值后累計(jì)位移數(shù)據(jù)

從圖2中可以簡(jiǎn)單看出滑坡的整體變形趨勢(shì)，但僅僅通過(guò)圖像去判斷變形趨勢(shì)過(guò)于片面，因此，我們依據(jù)切線角法對(duì)此數(shù)據(jù)列進(jìn)行相關(guān)參數(shù)計(jì)算。根據(jù)式（10）先計(jì)算出參數(shù)B，再根據(jù)式（1）和式（7）計(jì)算出參數(shù)A，并根據(jù)表1判斷該滑坡的變形階段，分析結(jié)果如表4所示。

表4 切線角法滑坡變形階段分析

利用切線角法對(duì)滑坡的變形階段進(jìn)行分析是使用較為廣泛的方法，但是，受坐標(biāo)單位的影響，用不同單位求得的切線角差別往往過(guò)大，有時(shí)甚至?xí)斐烧`判。例如，本文所監(jiān)測(cè)的數(shù)據(jù)是以日為單位，如果監(jiān)測(cè)時(shí)間很長(zhǎng)，以周或以月為單位重新擬合插值曲線，便會(huì)存在差異。有研究人員改進(jìn)了切線角法，并提出了相應(yīng)的預(yù)警依據(jù)。但是，由于滑坡位移監(jiān)測(cè)曲線呈現(xiàn)出一定的波動(dòng)，所以，還需要結(jié)合專業(yè)人員的經(jīng)驗(yàn)綜合判斷得到的位移數(shù)據(jù)。

4 結(jié)論

本文選取了某新建工程為期一個(gè)月的滑坡位移監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)，利用三次樣條插值法對(duì)該數(shù)據(jù)進(jìn)行了曲線擬合，并對(duì)缺失點(diǎn)進(jìn)行了數(shù)據(jù)插值。對(duì)比原始數(shù)據(jù)曲線可知，該插值法擬合效果比較好，利用t檢驗(yàn)法檢測(cè)插值數(shù)據(jù)，驗(yàn)證了插值數(shù)據(jù)與原始數(shù)據(jù)不存在明顯差異，可將原始數(shù)據(jù)與插值數(shù)據(jù)相結(jié)合，構(gòu)成累計(jì)位移新數(shù)據(jù)列，并利用切線角法對(duì)新數(shù)據(jù)列進(jìn)行滑坡變形階段分析。結(jié)果表明，該滑坡具有加速趨勢(shì)，方程斜率值A(chǔ)趨近于零，可進(jìn)行短期預(yù)報(bào)。

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TP301.6

A

10.15913/j.cnki.kjycx.2017.20.016

2095－6835（2017）20－0016－03

黃小研（1993—），女，陜西人，碩士研究生，研究方向?yàn)闄C(jī)械制造及其自動(dòng)化。

〔編輯：白潔〕