胡楓 安徽理工大學(xué) 數(shù)學(xué)與大數(shù)據(jù)學(xué)院 安徽淮南 232001

引言

重心有理混合插值近些年來越來越成為了研究的熱門領(lǐng)域之一,在這些研究中重點(diǎn)關(guān)注于重心插值與Thiele連分式,newton和lagrangian插值多項(xiàng)式的相互混合,同時提出了分叉連分式重心混合有理插值方案來處理二元插值問題.在本文中,通過選擇合適的權(quán)函數(shù)構(gòu)造計(jì)算簡單同時沒有極點(diǎn)和不可達(dá)點(diǎn)的重心有理插值,在每個插值節(jié)點(diǎn)處與被插值函數(shù)相應(yīng)的pade逼近進(jìn)行組裝建立一種新的重心有理混合插值,與重心Thiele型混合有理插值和重心有理插值相比,能達(dá)到更高的逼近精度,誤差更小.

1.重心有理混合插值新方法

有理函數(shù)rn(x)當(dāng)ωi≠0時滿足插值條件

在1988年berrut通過選取合適的權(quán)函數(shù)

建立了無極點(diǎn)且便于計(jì)算的重心有理插值,下面考慮對被插值函數(shù)f展開成形式冪級數(shù)

定義有理函數(shù)

是由形式冪級數(shù)決定的 [m / n]階pade逼近式,其中 Pm(x)是次數(shù)不超過m的多項(xiàng)式, Qn( x)是次數(shù)不超過n的多項(xiàng)式,且滿足 Qn( 0 )=b0=1.各項(xiàng)系數(shù)算法如下所示

由上可知有理函數(shù) )(xA 與被插值函數(shù)的前 nm+次形式冪級數(shù)展開在 0=x 處完全相等,即

于是我們構(gòu)造基于pade逼近的重心有理混合插值新方法如下

2.數(shù)值例子

定義在 ]1,0[ 的實(shí)值函數(shù)

為了便于討論,選取10個插值節(jié)點(diǎn)如下

對應(yīng)函數(shù)值有

由上述插值數(shù)據(jù)構(gòu)造滿足插值條件的重心有理插值,重心Thiele型混合有理插值和本文中提到的在插值節(jié)點(diǎn)處基于pade逼近重心有理混合插值新方法 )(xR , )(xr , )(*xr 如下所示:

重心有理插值

重心Thiele型混合有理插值

其中 )(xA 是Thiele型連分式插值

基于pade逼近的重心有理混合插值新方法

為了能直觀的比較各種插值方法的逼近效果,現(xiàn)使用matlab2014a繪制原函數(shù)圖像和各類插值誤差函數(shù)圖像如下圖1-4所示,

圖1 原函數(shù) )(xf 的圖像

圖2 重心有理插值 )(xR 的誤差函數(shù)圖像

圖3 重心Thiele型混合有理插值 )(xr 的誤差圖像

圖4 基于pade逼近的重心有理混合插值 )(*xr 的誤差函數(shù)圖像

結(jié)論

本文研究一類基于pade逼近的重心有理混合插值新方法,通過選擇恰當(dāng)?shù)臋?quán)函數(shù),在插值節(jié)點(diǎn)處將被插值函數(shù)的pade逼近式與重心有理插值進(jìn)行組裝構(gòu)造新的重心有理混合插值算法,該方法不僅沒有極點(diǎn)且與傳統(tǒng)重心有理插值和重心Thiele型混合有理插值比較,無需計(jì)算插值節(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值,計(jì)算更加簡潔,誤差更小,逼近效果更加優(yōu)越.