◎黃毓

Cauchy命題與ε 語言的關(guān)聯(lián)及應(yīng)用

◎黃毓

本文介紹數(shù)學(xué)分析中的Cauchy命題與ε語言，從本質(zhì)上闡述它們之間的關(guān)系，以數(shù)學(xué)語言為主，圖表為輔來描述兩種方法的異同及應(yīng)用。極限的ε語言定義是非常精準(zhǔn)但又極其抽象的定義，它廣泛地出現(xiàn)在高等數(shù)學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域，本文只針對(duì)于ε語言與Cauchy命題的相關(guān)性展開討論。

從數(shù)學(xué)分析中最基礎(chǔ)的數(shù)列極限定義開始，我們就接觸了一種特有的語言：ε語言。例如：數(shù)列極限定義“ε—N”語言、函數(shù)極限定義“ε—δ”語言等。極限的ε語言定義是非常精準(zhǔn)但又極其抽象的定義，它廣泛地出現(xiàn)在高等數(shù)學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域，本文只針對(duì)于ε語言與Cauchy命題的相關(guān)性展開討論。在通用《數(shù)學(xué)分析》教材中，數(shù)列{ an}以數(shù)A為極限指

這一經(jīng)典的分析定義，反映了極限是從靜認(rèn)識(shí)動(dòng)，從近似認(rèn)識(shí)精確，從有限認(rèn)識(shí)無限的一種認(rèn)識(shí)過程。Cauchy命題的證明也是基于此，用數(shù)列極限的定義來證明的。

Cauchy命題與ε語言的關(guān)聯(lián)

Cauchy命題：若

證明如下：

于是，利用三角不等式，就得到

Cauchy命題的證明是基于ε語言，根據(jù)數(shù)列極限的定義來完成的。它的直觀意義很明顯：如果一個(gè)數(shù)列是收斂的，那么它是越來越平緩的，取平均的話，就算一開始起伏很大，也可以用足夠大的n來抹平它。

Cauchy命題與ε語言的應(yīng)用

既然Cauchy命題可以由ε語言證明，那么顯然一切能用Cauchy命題證明的題目都可用純粹的ε語言證明。以下面的題目為例，介紹上述兩種方法的應(yīng)用思路。

例：

證明如下：

方法一：

總結(jié)

對(duì)比上述兩種方法，其本質(zhì)是異曲同工的。方法一變形后得到的①式與方法二推得的②式是類似的。

例題中要證明的左式的分母是如下n組數(shù)的加和

它的規(guī)律不是那么容易直接得出，于是我們可以用下面n組數(shù)把它“補(bǔ)全”。

兩者之和減去Sn后便形成如下n行n列的方陣：

這樣就可以直觀地使用題目所給出的條件了。上述兩種方法的出發(fā)點(diǎn)也是基于此。

（作者單位：中國海洋大學(xué) 海洋與大氣學(xué)院）