任艷

Lesh 提出與數學學習有關的五種表征，即“實物、教具模型、圖形、語言與符號，其中前三個表征較為具體，后二個表征較為抽象”[1]。用畫圖方式呈現問題，或在文字題上附加圖畫，是教科書及實踐中教師經常采用的一種解題表征方式，這種以視覺手段表征知識的方式，即稱之為可視化表征，它能將文字題當中的數量關系可視化、具體化。Van Hiele認為，利用可視化的表征方法有降低思考層次的效果[2]。在小學高年級階段，許多問題都是以文字的形式來表征的，因其較為抽象，大多數學生尚停留在具體思維階段，問題理解存在一定的困難，而線段圖表征具有內在負荷相對較低的特點，因此成為利用可視化表征解題的良好載體。筆者以線段圖為例，提出運用可視化表征的文字與圖形整合的教學模式，即把問題情境以線段圖示表現出來，通過線段圖輔助學生建立一個數量關系的心智模式，進而克服文字閱讀的困難，降低學生理解問題的思維負荷，增加其在“問題解決”的過程中體驗成功的機會。

一、作線段圖表征問題

教材中的例題和習題，一般鮮有明確給出線段圖的。線段圖有兩種表征方式：無單位的線段圖和有單位的線段圖。研究所指的線段圖是有單位的線段圖，即用二條線段表示題目中各個數量間的關系。教學實踐中，當學生閱讀題目文字時，可能無法理解題目所描述的數量關系，因而難以建立一個適當的心智模式，而線段圖作為外部表征可以嘗試引導學生去建立此數量關系的心智模式。

當個體面臨問題時，會在腦海中或在紙上呈現與問題有關的圖像，以幫助個體進行解題思路的可視化表征[3]。關于線段圖表征，教學中應給學生厘清：圖中每一條線段表示什么；線段的單位數量能否體現出問題中各個量的數量關系。線段圖表征方式具體，而且易于體現數量間的倍數或比例關系。如圖1所示。

在小學階段，遇到難度較高的分數問題（例如分數乘法、除法、異分母分數加減等問題）時，適宜引入線段圖來表征這些問題，它可以有效地消解因過多的元素互動造成認知負荷過大的情形。另外，用單位長度表征可以進行多次的具體等分及合并活動，實踐中可保留這些活動的痕跡，其優(yōu)點在于：一方面，這些具體操作活動是進一步抽象思考的基礎，另一方面，保留具體活動痕跡更易于監(jiān)控解題過程及反思解題過程。

二、確定基本量與比較量，找出（計算）比例關系

線段圖表征需要先確定一個元素作為單位，然后以該單位作為新的測量標準，此單位即基本量，再以基本量來詮釋別的元素，即比較量。表征問題情境的線段圖用基本量來刻畫，即線段圖的單位。

三、依據比較量與基本量的比例關系，畫出二條并排線段圖

學生對文字信息進行語意處理，一般情況下，都需要納入長時記憶區(qū)中的認知結構來理解，即以其已有的認知結構為基礎。但是在問題解決的特有情境下，學生可能不能及時觸發(fā)其適當的認知結構來進行概念組織。因此，需要對問題中的文字敘述進行恰當的命題表征來輔助學生建構心智表征，進而促進學生理解題意。

對于小學高年級學生而言，均已具備一定的空間意義和認知體驗。因此，可采用可視化的線段圖表征命題，以直觀的線段圖來表征元素間的相互關系。表征的意義在于利用學生長時記憶區(qū)中的認知結構引導其進行模式建構與模式識別的活動。模式建構是指利用線段圖來表征兩個班級上交作品數量的大小關系，模式識別是指這兩條并排的線段能否恰當地表現兩個班級上交的作品的數量關系。因此，可畫起始點相同、二條并排的線段圖，即描繪性表征，以此來比較兩個量之間的相互關系。

兩個班級上交作品的數量間關系不僅可以用來分析文字與圖象的理解，也可以用來研究從外部表征——可視化的線段圖表征來建構內部表征——心智表征的過程。這種外部表征可以用來溝通、分享知識的習得，如實踐中教師會通過線段圖來輔助講解題意，學生也可將產生的外部表征視為認知工具來輔助問題解決，即可以依托線段圖載體思考兩個量之間的相互關系，同時將問題解決過程中所需的認知需求反映到線段圖當中。

四、依據線段圖，列式解決問題

在畫線段圖的過程中，線段圖表征與心智模式會持續(xù)地產生交互作用，進而促使學生對文字和圖象所要表達的意義理解得更清晰、更深入，并在理解的過程中不斷修正和完善學生建構的心智模式與命題表征。如引導其認知結構進行模式檢測——線段圖能否準確體現文字表達的數量關系。學生在描述性表征和描繪性表征的互動過程中，借助線段圖的輔助，完善心智表征，提取有效信息，正確列式，進而正確解決問題。

六（1）班上交作品為基本量時，數量是32，每個單位格是32÷4=8 （件），六（2）班上交作品量是8×5=40 （件）。所以兩個班級一共上交作品：32+40=72 （件）

答：兩個班級一共上交作品72件。

線段圖作為一種常規(guī)的可視化表征手段，教師引入其表征解題策略的目的不僅僅是解題，更多的因素是期待學生能夠理解表征背后所表達的關系，進而從表征所建立的模式中提取出新的信息，以此實現問題解決的目的。

值得一提的是，教學模式中元素間的關系通常是以“比較量÷基本量=比值”來表達，即“比與比例”?，F今各版本的小學數學教科書中，對“比與比例”內容，采取不同的呈現方式和邏輯結構，教師可將線段圖作為理解分數解法的輔助工具，讓學困生也能掌握整數乘除與分數乘除解法之間的關系，提升學生在“比與比例”單元學習成功的機會。

總之，可視化表征可以使得研究內容更直觀化、關系更具體而清晰，而且能夠“幫助他人正確地重構、記憶和應用知識”[4]?？梢暬木€段圖表征目的在于把問題情境以可視化的方式表征出來，并通過線段圖提升學生的列式和運算能力。因此，可視化表征是輔助學生“怎樣解題”的一種有效而且高效的教學工具。

參考文獻

[1] Grouws D A.Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning[M]. New York：Macmillan Publish Company，1992.

[2] Van Hiele，P.M.Structure and insight[M].New York：Academic Press，1986.

[3] 王寬明.可視化表征在工程問題中的應用[J].教學與管理：小學版，2016（3）.

[4] 邱楊，高榮國.以知識可視化表征改善學習內容的呈現[J].江蘇教育學院報，2007，24（4）.

[責任編輯：陳國慶]endprint