周衍彤 羅雄麟 許 鋒

(中國(guó)石油大學(xué)(北京)地球物理與信息工程學(xué)院)

考慮裕量損失函數(shù)的預(yù)測(cè)控制新架構(gòu)

周衍彤 羅雄麟 許 鋒

(中國(guó)石油大學(xué)(北京)地球物理與信息工程學(xué)院)

在常規(guī)預(yù)測(cè)控制性能指標(biāo)函數(shù)的基礎(chǔ)上加入一個(gè)表征操作變量空間變化情況的裕量損失函數(shù)，提出一種考慮裕量損失函數(shù)的預(yù)測(cè)控制新架構(gòu)，并推導(dǎo)其優(yōu)化求解過程。同時(shí)，通過穩(wěn)態(tài)最優(yōu)值分析新架構(gòu)保留操作變量空間的效果，并采用穩(wěn)態(tài)分析在預(yù)測(cè)控制中加入裕量損失函數(shù)對(duì)控制效果的影響。最后，通過實(shí)例仿真證實(shí)了新算法的有效性。

連續(xù)攪拌反應(yīng)器 模型預(yù)測(cè)控制 裕量損失函數(shù)

由于實(shí)際的化工過程系統(tǒng)存在慢時(shí)變、大滯后、干擾及周期性等不確定因素[1]，為保障系統(tǒng)的實(shí)際應(yīng)用與安全性，工藝人員在長(zhǎng)周期工藝設(shè)計(jì)初期通常為變量預(yù)留了一定的裕量。在動(dòng)態(tài)操作優(yōu)化過程中，操作控制會(huì)消耗操作變量的可操作空間[2，3]，雖然工藝人員已經(jīng)為操作變量設(shè)計(jì)了裕量，但是控制人員在進(jìn)行操作時(shí)希望令單次控制中操作變量消耗的空間盡可能地少，不僅可以為長(zhǎng)周期過程工藝內(nèi)以后的控制留下更多的操作空間和余地，將控制的“好處”緩慢地釋放，而且可以將操作點(diǎn)控制在工藝裕量限以下，保障生產(chǎn)可靠和安全。預(yù)測(cè)控制由于其區(qū)間控制[4，5]和多變量控制的特點(diǎn)，可以實(shí)現(xiàn)在工藝生產(chǎn)操作優(yōu)化的動(dòng)態(tài)控制過程中減少操作變量的空間損耗。為此，提出一種在常規(guī)預(yù)測(cè)控制性能指標(biāo)函數(shù)中考慮裕量損失函數(shù)的預(yù)測(cè)控制新架構(gòu)。國(guó)內(nèi)外學(xué)者針對(duì)預(yù)測(cè)控制做了大量的研究，有許多通過改進(jìn)預(yù)測(cè)控制性能指標(biāo)函數(shù)以改進(jìn)預(yù)測(cè)控制性能的研究成果。文獻(xiàn)[6，7]和文獻(xiàn)[8]分別提出在預(yù)測(cè)控制的性能指標(biāo)中引入終端約束來保證預(yù)測(cè)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性；文獻(xiàn)[9]在常規(guī)預(yù)測(cè)控制性能指標(biāo)中加入靜態(tài)目標(biāo)，在滿足基本控制要求的基礎(chǔ)上進(jìn)一步實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的經(jīng)濟(jì)指標(biāo)等。

對(duì)預(yù)測(cè)控制中的裕量研究，文獻(xiàn)[10]通過在長(zhǎng)周期化工過程的動(dòng)態(tài)優(yōu)化中采用預(yù)測(cè)控制，為設(shè)計(jì)變量進(jìn)行裕量設(shè)計(jì)；文獻(xiàn)[11]研究了先進(jìn)控制條件下化工過程的操作裕量和控制系統(tǒng)性能之間的關(guān)系。上述在預(yù)測(cè)控制中討論的裕量，都是研究長(zhǎng)周期過程工藝通過動(dòng)態(tài)優(yōu)化進(jìn)行裕量設(shè)計(jì)的。

為了說明在預(yù)測(cè)控制中考慮裕量損失函數(shù)的正確性與科學(xué)性，筆者對(duì)在預(yù)測(cè)控制中考慮裕量損失函數(shù)的方法論的產(chǎn)生、存在意義及其必然性[12]進(jìn)行深入剖析。從實(shí)際應(yīng)用角度，深入探討考慮裕量損失函數(shù)的預(yù)測(cè)控制與常規(guī)預(yù)測(cè)控制相比節(jié)省操作變量空間的效果，并分析為了在控制中少消耗操作變量的空間對(duì)控制帶來的影響。筆者研究了所提方法在預(yù)測(cè)控制的短周期動(dòng)態(tài)過程中考慮操作裕量的變化情況。

1 裕量損失函數(shù)

在化工過程中，對(duì)于存在約束的系統(tǒng)，為避免在邊界操作點(diǎn)由裝置和工藝本身的不確定因素帶來的約束破壞性，將操作點(diǎn)移到約束邊界內(nèi)，移動(dòng)后的操作點(diǎn)與約束邊界之間的距離即為裕量[13]。要想實(shí)現(xiàn)在單次控制中令操作變量消耗的空間盡可能地少，需要定性表征操作變量消耗空間的情況，為此引入操作裕量的概念。根據(jù)裕量的定義，將操作裕量定義為操作變量的操作點(diǎn)與約束邊界之間的距離(圖1)。當(dāng)操作變量的操作點(diǎn)與約束邊界之間的距離減小時(shí)，操作裕量減小，過程可操作空間減少，控制消耗的裕量越多；當(dāng)操作變量的操作點(diǎn)與約束邊界之間的距離增大時(shí)，操作裕量增大，過程可操作空間增大，控制消耗的裕量越少。

圖1 操作裕量示意圖

為定量考慮動(dòng)態(tài)控制中操作裕量的變化情況，構(gòu)建一個(gè)表示操作變量操作點(diǎn)u與約束邊界之間距離的函數(shù)，并定義為裕量損失函數(shù)。二范數(shù)是具有“長(zhǎng)度”概念的函數(shù)，通常用來表示兩點(diǎn)或向量矩陣之間的直線距離，因此裕量損失函數(shù)fML的數(shù)學(xué)表達(dá)式記為：

fML=‖u-uH‖2

式中uH——操作變量的約束上界。

2 考慮裕量損失函數(shù)的預(yù)測(cè)控制

2.1 新架構(gòu)

常規(guī)預(yù)測(cè)控制是一種基于優(yōu)化的控制算法，它通過某一性能指標(biāo)的最優(yōu)來確定未來的控制作用[14]，為了在預(yù)測(cè)控制的動(dòng)態(tài)過程中實(shí)現(xiàn)增大操作裕量并減少控制消耗裕量，在性能指標(biāo)中加入裕量損失函數(shù)改進(jìn)常規(guī)預(yù)測(cè)控制的結(jié)構(gòu)，最終將優(yōu)化問題轉(zhuǎn)換為二次規(guī)劃進(jìn)行求解。

常規(guī)預(yù)測(cè)控制的性能指標(biāo)函數(shù)通?？梢詫懗啥稊?shù)的形式：

優(yōu)化求解預(yù)測(cè)控制的性能指標(biāo)函數(shù)，轉(zhuǎn)換為二次規(guī)劃的標(biāo)準(zhǔn)形式后，成為求目標(biāo)函數(shù)的極小值，所以在預(yù)測(cè)控制中引入的裕量損失函數(shù)fML_MPC記為負(fù)值形式：

fML_MPC=-‖u-uH‖2

因此，考慮裕量損失函數(shù)的預(yù)測(cè)控制的優(yōu)化性能指標(biāo)為：

(1)

其中，S≥0為裕量損失函數(shù)的權(quán)重。

自此，提出考慮裕量損失函數(shù)的預(yù)測(cè)控制(Model Predictive Control with Margin Loss，MLMPC)新架構(gòu)。

2.2 優(yōu)化求解過程

假定預(yù)測(cè)控制采用的線性時(shí)不變離散狀態(tài)空間模型增量化之后的形式如下：

假設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)可測(cè)，采用矩陣和向量形式表示對(duì)輸出的預(yù)測(cè)，即：

(2)

(3)

考慮系統(tǒng)關(guān)于輸入、輸入變化量和輸出的約束：

umin≤u(k)≤Δumax

Δumin≤Δu(k)≤Δumax

ymin≤y(k)≤ymax

則前述考慮裕量損失函數(shù)的預(yù)測(cè)控制優(yōu)化問題可最終表述為如下標(biāo)準(zhǔn)二次規(guī)劃形式：

Ψ=2?SΔUTQSΔU+R-ETSE」

Θ=2{-[Yd-Y0(k)]TQSΔU-U1TSE}

d1=[umax-u(k-1),umax-u(k-1),…,umax-u(k-1),-umin+u(k-1),-umin+u(k-1),…,-umin+u(k-1)]T

d2=[Δumax,…,Δumax,-Δumin,…,-Δumin]T

d3=[ymax-y0(k+1),…,ymax-y0(k+P),-ymin+y0(k+1),…,-ymin+y0(k+P)]T

3 控制效果分析

引入常規(guī)預(yù)測(cè)控制的優(yōu)化問題(4)，通過優(yōu)化求解式(4)可以得到常規(guī)預(yù)測(cè)控制的最優(yōu)解：

s.t.u=G-1y

(4)

Su≤T

式中G——穩(wěn)態(tài)增益矩陣；

S、T——約束系數(shù)矩陣。

同理，求解式(5)可以得到與常規(guī)預(yù)測(cè)控制參數(shù)相同的考慮裕量損失函數(shù)的預(yù)測(cè)控制的最優(yōu)解：

s.t. u=G-1y

(5)

Su≤T

那么有定理1存在。

(6)

(7)

式(6)和式(7)相加可得：

(8)

定理1得證。

4 考慮裕量損失函數(shù)的預(yù)測(cè)控制對(duì)控制效果的影響分析

考慮裕量損失函數(shù)的預(yù)測(cè)控制可以在控制的動(dòng)態(tài)過程中實(shí)時(shí)增大操作裕量，減少單次控制中操作變量消耗的空間，但是與此同時(shí)會(huì)對(duì)被控變量跟蹤給定值造成一定的影響。為定量探討考慮裕量損失函數(shù)的預(yù)測(cè)控制對(duì)控制效果的影響，需對(duì)考慮裕量損失函數(shù)預(yù)測(cè)控制的穩(wěn)態(tài)情況進(jìn)行分析。但是，對(duì)于存在約束的系統(tǒng)，由于約束的存在難以求解解析解，導(dǎo)致針對(duì)控制系統(tǒng)進(jìn)行穩(wěn)態(tài)分析比較困難。然而，對(duì)于同一個(gè)控制系統(tǒng)，在無約束情況下的穩(wěn)定性是在相同控制參數(shù)下有約束控制系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件[15]。同時(shí)，在存在約束的預(yù)測(cè)控制中考慮裕量，通常都會(huì)使過程在約束可行域內(nèi)運(yùn)行。因此，為了分析考慮裕量損失函數(shù)預(yù)測(cè)控制的穩(wěn)態(tài)情況，可以分析在無約束條件下控制系統(tǒng)的閉環(huán)特性，將得到的最優(yōu)控制作用帶入閉環(huán)方程中，并判斷穩(wěn)態(tài)解的情況。

當(dāng)被控過程的離散狀態(tài)空間模型為：

(9)

其中，系統(tǒng)狀態(tài)變量x(k)∈Rn×n，系統(tǒng)輸入變量u(k)∈Rm×m，系統(tǒng)輸出變量y(k)∈Rr×r；系統(tǒng)狀態(tài)矩陣A∈Rn×n、輸入矩陣B∈Rn×m、輸出矩陣C∈Rr×m。

(10)

為了便于分析最終輸出達(dá)到穩(wěn)態(tài)的跟蹤效果，將裕量損失函數(shù)用輸出形式表示為：

(11)

其中，yH為操作變量約束上界對(duì)應(yīng)的輸出變量的值，S′為輸出對(duì)應(yīng)的裕量損失函數(shù)的權(quán)重。由于Δu(k)=u(k)-u(k-1)，將式(10)代入式(11)，有：

=const+uT(k)ST(P)QS(P)u(k)+2uT(k)ST(QP)Kx(k)-yd)+uT(k)Ru(k)-

2uT(k)Ru(k-1)-uT(k)ST(P)S′S(P)u(k)-2uT(k)ST(P)S′(Kx(k)-yH)

則有：

2ST(P)S′(Kx(k)-yH)=0

得到控制最優(yōu)值，并進(jìn)行z變換可得：

(12)

假設(shè)實(shí)際過程也遵循式(9)，則對(duì)式(9)做z變換，有：

(13)

將式(12)代入式(13)，可得：

y(z)=C[zI-A+B(ST(P)QS(P)+R-Rz-1-ST(P)S′S(P))-1ST(P)(Q-S′)K]-1·

(14)

為判斷穩(wěn)態(tài)情況，對(duì)式(14)使用終值定理并進(jìn)行推導(dǎo)：

=C[I-A+B(ST(P)QS(P)-ST(P)S′S(P))-1(ST(P)(Q-S′)K]-1·

(15)

其中，Gm(z)表示模型的傳遞函數(shù)，則有C(I-A)-1B=Gm(1)。由式(15)可得：

(16)

矩陣(Q-S′)非奇異是輸出變量存在穩(wěn)態(tài)解的必要條件。由式(16)可以看出，輸出變量的穩(wěn)態(tài)值為輸出期望值yd與工藝裕量值yH之間的函數(shù)。因此，在考慮裕量損失函數(shù)的預(yù)測(cè)控制中，當(dāng)權(quán)重Q和S′都不趨近于零時(shí)，輸出的穩(wěn)態(tài)值為輸出期望值與操作變量約束上界對(duì)應(yīng)的輸出變量的值之間的函數(shù)，不能準(zhǔn)確無誤地跟蹤期望值，會(huì)有一定的損失。然而，預(yù)測(cè)控制區(qū)間的控制思想可以令被控變量跟蹤期望值在一定范圍內(nèi)即可滿足控制。因此，控制人員在采用考慮裕量損失函數(shù)的預(yù)測(cè)控制進(jìn)行控制時(shí)，需要合理選擇裕量損失函數(shù)的權(quán)重，在實(shí)現(xiàn)減少單次控制中操作變量消耗空間的同時(shí)，要確保被控變量在給定的區(qū)間范圍內(nèi)。

5 仿真與示例

為驗(yàn)證筆者所提方法的正確性，采用文獻(xiàn)[17]中的非等溫連續(xù)攪拌反應(yīng)器系統(tǒng)(CSTR)進(jìn)行仿真分析。其中y1、y2分別表示反應(yīng)器的濃度與溫度，u1、u2分別表示進(jìn)料濃度和冷卻液流量。

其線性離散狀態(tài)空間模型如下：

(17)

s.t. -1.5≤u1≤6,-1.5≤u2≤2

-1≤y1≤3,-1≤y2≤2

a. 操作變量的響應(yīng)

b. 輸出變量的響應(yīng)

6 結(jié)束語(yǔ)

通過在常規(guī)預(yù)測(cè)控制的性能指標(biāo)函數(shù)中加入一個(gè)能夠表示操作裕量變化情況的裕量損失函數(shù)，構(gòu)建了考慮裕量損失函數(shù)的預(yù)測(cè)控制新架構(gòu)，推導(dǎo)了考慮裕量損失函數(shù)的預(yù)測(cè)控制的優(yōu)化求解過程，并通過穩(wěn)態(tài)最優(yōu)解分析了考慮裕量損失函數(shù)的預(yù)測(cè)控制保留操作變量空間的效果，同時(shí)分析了在預(yù)測(cè)控制中考慮裕量損失函數(shù)對(duì)控制效果的影響?？紤]裕量損失函數(shù)的預(yù)測(cè)控制可以在控制的短周期動(dòng)態(tài)控制過程中實(shí)時(shí)地實(shí)現(xiàn)保留操作變量的空間，不僅可以有效緩解邊界效應(yīng)，保障裝置和生產(chǎn)的安全性，同時(shí)可以令控制的“好處”緩慢釋放，為后續(xù)的操作優(yōu)化留出更多的空間和余地。

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NewFrameworkofModelPredictiveControlConsideringMarginLossFunction

ZHOU Yan-tong, LUO Xiong-lin, XU Feng
(CollegeofGeophysicsandInformationEngineering,ChinaUniversityofPetroleum)

Basing on the performance index function of conventional predictive control, a margin loss function which representing the space variation of operating variables was added; and a new framework of model predictive control algorithm which considers margin loss function(MLMPC) was proposed and its optimization solution was derived. At the same time, having the steady optimal value used to analyze the effects of saving the space of operating variables and that of adding margin loss function to the predictive control. Finally, an example simulation is given to illustrate the effectiveness of this new algorithm.

continuously-stirred reactor, model predictive control, margin loss function

TQ021.8；TP273

A

1000-3932(2017)09-0823-07

2017-03-15，

2017-06-19)

周衍彤(1991-)，碩士研究生，從事過程控制的研究。

聯(lián)系人羅雄麟(1963-)，教授，從事控制理論與過程控制、化工系統(tǒng)工程及機(jī)器學(xué)習(xí)等的研究，luoxl@cup.edu.cn。