王日棟，湯 獲，李書海，敖 恩，周海燕，劉春輝

（赤峰學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，內(nèi)蒙古 赤峰 024000）

應(yīng)用型人才培養(yǎng)模式下《復(fù)變函數(shù)》課程可視化教學(xué)實(shí)現(xiàn)

王日棟，湯 獲，李書海，敖 恩，周海燕，劉春輝

（赤峰學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，內(nèi)蒙古 赤峰 024000）

《復(fù)變函數(shù)》是數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)的一門重要基礎(chǔ)課，其在講授和理解上都很困難.本文基于MATLAB的工具包，將某些初等函數(shù)圖像具體化，同時對留數(shù)與積分計算也進(jìn)行了簡單探討，有助于學(xué)生對本課程的理解和掌握，也能夠提升學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.

復(fù)變函數(shù)；可視化；MATLAB；教學(xué)

《復(fù)變函數(shù)》是數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)的基礎(chǔ)課程，也是物理、電子、地質(zhì)等多個學(xué)科的重要專業(yè)課程.復(fù)變函數(shù)就是自變量為復(fù)數(shù)的函數(shù)，在某種意義下可導(dǎo)的復(fù)變函數(shù)稱為解析函數(shù)[1].復(fù)變函數(shù)的自變量和因變量都是復(fù)數(shù)，它在某些方面有著與實(shí)變函數(shù)截然不同的特征，如負(fù)數(shù)可以開偶次方及計算對數(shù)，對數(shù)函數(shù)和根式函數(shù)都是多值函數(shù)，正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的模不但可以大于1，而且是無界的等，這使得復(fù)變函數(shù)在教師講授和學(xué)生理解上都很困難，因此，我們需要借助函數(shù)的圖像來幫助我們理解.由于復(fù)變函數(shù)的實(shí)部和虛部為二元實(shí)函數(shù)，所以需要在四維空間中描繪其圖像.MATLAB作為強(qiáng)大的數(shù)學(xué)輔助工具可以很好地實(shí)現(xiàn).若用x軸和y軸分別表示自變量的實(shí)部和虛部，用z軸表示因變量的實(shí)部，就能刻畫三維空間圖像；若再用曲面的顏色代表因變量的虛部，這樣就能刻畫四維空間圖像.

1 函數(shù)圖像的描繪

在MATLAB2014中，我們可以用簡單的命令來畫出基本初等函數(shù)的圖像，以描繪指數(shù)函數(shù)圖像的M文件為例：

x=[-4*pi:pi/15:4*pi];

[x,y]=meshgrid(x);

z=x+i*y;

u=exp(z);

surf(x,y,real(u),imag(u));

hold on;

colorbar('vert');

title('u=exp(z)').

描繪不同的函數(shù)圖像時只需要將語句u=exp(z)轉(zhuǎn)換成相應(yīng)的函數(shù)語句即可，如正、余弦函數(shù)分別可以寫成u=sin(z)、u=cos(z).

1.1 單值復(fù)變函數(shù)—正弦、余弦函數(shù)

對于余弦函數(shù)f(z)=cos(z)，其代數(shù)形式可以表示為：

而正弦函數(shù)則可以表示為：

圖1和圖2分別表示半徑為5的余弦函數(shù)圖像以及其實(shí)部圖像.圖3和圖4分別表示半徑為5的正弦函數(shù)圖像及其實(shí)部圖像.從解析表達(dá)式上可知余弦（正弦）函數(shù)為單值函數(shù)，其實(shí)從其圖像上也可以看出.從余弦（正弦）函數(shù)的解析式以及復(fù)數(shù)模的計算方法可知余弦函數(shù)的模是可以大于1的.

圖1 |z|=5時的余弦函數(shù)圖像

圖2 |z|=5時的余弦函數(shù)實(shí)部圖像

圖3 |z|=5時的正弦函數(shù)圖像

圖4 |z|=5時的正弦函數(shù)實(shí)部圖像

1.2 多值復(fù)變函數(shù)—對數(shù)函數(shù)、根式函數(shù)

復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的對數(shù)函數(shù)log(z)的表達(dá)式為：

f(z)=log(z)=log|z|+i(θ+2nπ)(n=0,±1,±2…)，其與實(shí)數(shù)范圍內(nèi)對數(shù)函數(shù)的差別主要有兩點(diǎn)：（1）負(fù)數(shù)的對數(shù)是有意義的，即使虛部為零時，若z=x，當(dāng)x為負(fù)數(shù)時，z的對數(shù)也是存在的.（2）對數(shù)函數(shù)是多值函數(shù)，其原因是輻角的多值性，這一點(diǎn)從表達(dá)式上也可以得到體現(xiàn).對數(shù)函數(shù)的實(shí)部仍然是單值函數(shù)，但其虛部對應(yīng)于復(fù)平面內(nèi)一點(diǎn)存在無窮多個值，相鄰之間相差2π.圖5給出的是對數(shù)函數(shù)log(z)的圖像，圖6給出的是對數(shù)函數(shù)log(z)的實(shí)部圖像，圖7顯示出的是對數(shù)函數(shù)log(z)的多值性，我們給出了4個值作為代表.

圖5 對數(shù)函數(shù)的圖像

圖6 對數(shù)函數(shù)的實(shí)部圖像

圖7 對數(shù)函數(shù)的多值性（4個值）

圖8 根式函數(shù)的圖像

圖9 根式函數(shù)的實(shí)部圖像

圖10 根式函數(shù)的圖像

其中的θ為輻角主值，從表達(dá)式可以看出根式函數(shù)的多值性主要是由于輻角的多值性.圖8和圖9分別給出了根式函數(shù)的圖像及其實(shí)部圖像.從圖8我們可以看出對于每個自變量，都有兩個因變量與其對應(yīng)；當(dāng)n=5時，從圖10可以看出每個自變量對應(yīng)5個值.

2 留數(shù)與積分計算

2.1 留數(shù)計算

復(fù)變函數(shù)中的留數(shù)計算是一個難點(diǎn)，極點(diǎn)的位置不同、階數(shù)不同都影響留數(shù)計算.針對極點(diǎn)的不同情況進(jìn)行分析，應(yīng)用MATLAB提供不同的計算留數(shù)語句及方法來進(jìn)行處理.將需要計算留數(shù)的解析表達(dá)式f(z)用f表示，當(dāng)z0為一階簡單極點(diǎn)時，我們可以用命令R=limit(f*(z-z0),z,z0)來計算，當(dāng)z0為m階簡單極點(diǎn)時，我們需要將命令語句改寫成如下的形式：R=limit(diff(f*(z-z0)^m,z,m-1)/prod(1:m-1),z,z0).如果解析表達(dá)式f(z)僅為簡單極點(diǎn)的有理函數(shù)，我們還可以通過命令[R,P,K]=residue(B,A)來計算，其中向量B為表達(dá)式f(z)的分子系數(shù)，A為表達(dá)式f(z)的分母系數(shù)，命令的返回值有三個，分別是留數(shù)向量R，極點(diǎn)位置P和表達(dá)式f(z)的直接項(xiàng)K.

分析：法一：應(yīng)用limit命令.

從題知可知，z=1和z=-1分別是函數(shù)f(z)的一階極點(diǎn)和二階極點(diǎn)，應(yīng)用MATLAB計算留數(shù)時需要用不同的語句.建立M文件如下：

syms z;

f=z/(z-1)/((z+1)^2);

R1=limit(f*(z-1),z,1);

R2=limit(diff(f*(z+1)^2,z,1)/prod(1:1),z,-1),

運(yùn)行結(jié)果為R1=1/4；R2=-1/4，與理論計算結(jié)果相同.

法二：應(yīng)用residue命令.

編寫M文件如下：

clear;

syms z;

A=[1,0];

B=[1,1,-1,-1];

[R,P,K]=residue(A,B),

方法二的好處在于一次性可以計算出所有極點(diǎn)及其留數(shù)，不用考慮極點(diǎn)的多重性，但其限制也是明顯的，只能用于有理表達(dá)式中.

分析：此題中函數(shù)的分子為指數(shù)函數(shù)，不能應(yīng)用residue語句，只能用limit語句，編寫M文件，分別計算當(dāng)z=πi和z=0時的留數(shù)，結(jié)果如下：

R1=1/(6*pi^2)+i/pi^3-3/pi^4-(4*i)/pi^5;

R2=1/pi^4-(4*i)/pi^5.

2.2 用留數(shù)計算積分

計算出函數(shù)的留數(shù)以后，應(yīng)用留數(shù)定理計算復(fù)變函數(shù)積分就變得相對簡單了.分析所求積分區(qū)域內(nèi)所包含的極點(diǎn)，對每一個極點(diǎn)計算出相應(yīng)的留數(shù)，再用留數(shù)定理可得積分結(jié)果為S=2πi(sum(R))，sum(R)表示各極點(diǎn)留數(shù)的和.

分析：通過分析我們知道該積分具有4個極點(diǎn):-i,1,3,∞，而在區(qū)|z|≤2內(nèi)只有兩個極點(diǎn)-i,1，因此只需要計算出這兩個極點(diǎn)的留數(shù)，再應(yīng)用留數(shù)定理即可計算出該積分.應(yīng)用MATLAB編寫M文件如下：

clear;

syms z;

f=1/(z+1i)^10/(z-1)/(z-3);

r1=limit(diff(f*(z+1i)^10,z,9)/prod(1:9),z,-1i);

r2=limit(f*(z-1),z,1);

S=2*pi*1i*(r1+r2),

即可計算出積分的值S=pi*(237/312500000+(779*i)/78125000).該積分的理論解為整理后可知其與MATLAB計算出來的結(jié)果精度在10-20以上，這個精度對一般工業(yè)生產(chǎn)、日常生活已經(jīng)足夠了，故對于MATLAB的計算結(jié)果我們認(rèn)為是可以采用的.

3 輻角的計算

眾所周知，復(fù)數(shù)的輻角具有多值性，這就使得很多復(fù)變函數(shù)具有多值性，這也是復(fù)變函數(shù)和實(shí)變函數(shù)的本質(zhì)區(qū)別之一.如何將初等多值函數(shù)分解成單值函數(shù)也就成為了復(fù)變函數(shù)的教學(xué)難點(diǎn)之一.為了解決這一難點(diǎn)，我們必須徹底弄清輻角函數(shù).在文獻(xiàn)[4][5]中，作者對輻角函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行了系統(tǒng)的挖掘和總結(jié).

在MATLAB中求輻角的標(biāo)準(zhǔn)函數(shù)angle(z)，其意義是給出復(fù)數(shù)z的輻角，但實(shí)際上它能顯示的是復(fù)數(shù)z的輻角主值，且是用實(shí)數(shù)表示的，范圍為-π＜angle(z)≤π，例如 angle(1+i)、angle(-i)、angle(-1)的運(yùn)算結(jié)果分別為是0.78543.1416（π）.

由文獻(xiàn)[1]可知，我們可以得到復(fù)數(shù)在做乘法和除法時的輻角變化過程.由歐拉公式可得，任意復(fù)數(shù)z=x+yi(x,y∈R)都可以表示成指數(shù)形式z=er+iθ=ereiθ，且不難驗(yàn)證

和

成立.從上述公式我們可以看出輻角的變化具有明顯的幾何意義，即復(fù)平面內(nèi)向量z1和z2的夾角變化，當(dāng)函數(shù)做乘法時為輻角的和，做除法時為分子函數(shù)與分母函數(shù)的輻角之差.當(dāng)這個夾角變化不超過主值的規(guī)定范圍時，我們可以用標(biāo)準(zhǔn)函數(shù)angle(z)來計算.

clear;

z1=1+i;

z2=i;

angle(z1/z2);

例5 計算(-1+i)×(-i)的輻角.

4 結(jié)論

復(fù)變函數(shù)作為數(shù)學(xué)專業(yè)的一門重要基礎(chǔ)課，學(xué)生的學(xué)習(xí)和掌握程度對其在今后的學(xué)習(xí)過程中會產(chǎn)生重要影響，因此，我們要做好講授工作.復(fù)變函數(shù)的可視化可以將難于理解的知識用四維圖像的形式清晰地展現(xiàn)出來.本文利用MATLAB給出了單值的余弦函數(shù)圖像、多值的對數(shù)函數(shù)圖像，有助于學(xué)生能夠直觀地理解重難點(diǎn)知識.復(fù)變函數(shù)的可視化不僅有助于學(xué)生對書本知識的掌握，也可以提高學(xué)生學(xué)習(xí)的熱情，在今后的教學(xué)過程中應(yīng)不斷深入研究提高，更好地提高教學(xué)質(zhì)量.

〔1〕鐘玉泉.復(fù)變函數(shù)（第四版）[M].北京：高等教育出版社,2013.

〔2〕徐彬.Matlab在復(fù)變函數(shù)與積分變換課堂教學(xué)中的應(yīng)用[J].湖北理工學(xué)院學(xué)報,2016,32(3):68-72.

〔3〕朱建民,李穎.復(fù)變函數(shù)的可視化問題[J].大學(xué)數(shù)學(xué),2011,27(1):175-178.

〔4〕金庭枝,王長慶.多值函數(shù)的單值解析分析[J].遼寧師范大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版）,2000,23(2):217-219.

〔5〕王金花.一類多值函數(shù)的單值解析分支[J].滄州師范學(xué)院學(xué)報,2016,32(1):17-19.

O174.5-4

A

1673-260X（2017）10-0004-04

2017-08-12

赤峰學(xué)院教學(xué)改革研究項(xiàng)目(JGXM201617)