東紅林++于蓮芝

摘要：當(dāng)前，數(shù)字圖像處理已滲透到各行各業(yè)，圖像濾波是數(shù)字圖像處理的預(yù)處理，能對圖像的一些特征加以有效改善。除空間域濾波外，頻率域濾波也具有重要價值和意義，用傅里葉級數(shù)或變換將圖像轉(zhuǎn)化的頻域進行低通濾波、高通濾波等處理，再通過傅里葉反變換進行重建，不僅不會丟失任何信息，還可以完成空間域無法完成的處理。

關(guān)鍵詞：圖像濾波；傅里葉變換；低通濾波；高通濾波

DOIDOI：10.11907/rjdk.171680

中圖分類號：TP317.4

文獻標(biāo)識碼：A文章編號：16727800（2017）010020504

0引言

數(shù)字圖像處理已應(yīng)用于社會生活的各個領(lǐng)域，特別是近幾年火熱的人工智能領(lǐng)域。在實際中難免會遇到一些質(zhì)量較差的圖像，如圖像模糊不清、有噪聲等，因此在應(yīng)用圖像前，圖像預(yù)處理尤為重要。鑒于此，研究圖像的頻率域濾波具有重要意義。頻域濾波以圖像的傅里葉變換為基礎(chǔ)，通過對傅里葉譜和相角進行分析再修改傅里葉變換以達到特殊目的，常用的有高通濾波和低通濾波。

1基本概念

1.1傅里葉級數(shù)及變換

傅里葉指出無論函數(shù)有多復(fù)雜，只要它是周期性的，并且滿足一定的數(shù)學(xué)條件，就一定可以用這種正弦和或者余弦和的形式表示。甚至在有些情況下，非周期函數(shù)也可以用正弦和或者余弦和的形式表示[1]。

傅里葉級數(shù)：

f（t）=∑∞n=-∞cnejzπnTt（1）

其中，f（t）是具有周期的連續(xù)變量函數(shù)。

cn=1T∫T/2-T/2f（t）e-j2πnTtdt，

（n=0，±1，±2，…）（2）

傅里葉變換：

F（u）=∫∞-∞f（t）e-j2πutdt（3）

傅里葉反變換：

f（t）=∫∞-∞F（u）ej2πutdu（4）

卷積：

f（t）Θh（t）=∫∞-∞f（τ）h（t-τ）dτ（5）

其中，Θ表示卷積算子。

卷積定理：

f（t）Θh（t）H（u）F（u）f（t）h（t）H（u）ΘF（u）（6）

雙箭頭表示左右兩端經(jīng)過傅里葉變換的轉(zhuǎn)換。

1.2二維（圖像）傅里葉變換

圖像可以看成是一個特殊的二維信號，每一點的灰度級就是圖像信號上這一點的“幅度”。根據(jù)信號的概念，頻率就是信號變化的快慢，指圖像空間上灰度變換的快慢，也即圖像的梯度變化，頻率比較大的是圖像中的“邊界”或“邊緣”。舉例來講，如果一幅圖整體變化不大（比如一張白紙），則它在頻率域下低頻成分很多，而高頻成分極少；而如果是一幅道路上斑馬線的圖，則其高頻成分比白紙多得多。

連續(xù)傅里葉變換：

令f（t，z）是兩個連續(xù)變量t和z的連續(xù)函數(shù)，則其二維傅里葉變換對有以下兩個表達式：

F（u，v）=∫∞-∞∫∞-∞f（t，z）e-j2π（ut+vz）dtdz

f（t，z）=∫∞-∞∫∞-∞F（u，v）ej2π（ut+vz）dudv（7）

其中，u和v是頻率變量。

離散傅里葉變換（DFT）及反變換（IDFT）：

F（u，v）=∑M-1x=0∑N-1y=0f（x，y）e-j2π（ux/M+vy/N）

f（x，y）=1MN∑M-1u=0∑N-1v=0F（u，v）e-j2π（ux/M+vy/N）（8）

f（x，y）是大小為M×N的數(shù)字圖像，u=1，2，3…M-1，v=1，2，3…N-1，x=1，2，3…M-1，y=1，2，3…N-1。

1.3卷積定理（二維）

二維卷積表達式：

f（x，y）Θh（x，y）=∑M-1m=0∑N-1n=0f（m，n）h（x-m，y-n）

其中，x=1，2，3…M-1，y=1，2，3…N-1。

二維卷積定理[1]：

f（x，y）Θh（x，y）F（u，v）H（u，v）f（x，y）h（x，y）F（u，v）ΘH（u，v）

2圖像頻域分析

一般情況下，二維DFT是復(fù)函數(shù)，可用極坐標(biāo)表示：

F（u，v）=F（u，v）ejΦ（u，v）（9）

其中，幅度：

F（u，v）=[R2（u，v）+I2（u，v）]1/2

稱為傅里葉譜（或頻譜），而：

Φ（u，v）=arctan[I（u，v）R（u，v）]

稱為相角。

由式（8）可得：

F（0，0）=MN1MN∑M-1x=0∑N-1y=0f（x，y）=MNf-（x，y）

其中，f-表示f的平均值，有F（0，0）=MNf-（x，y），也即變化最慢的頻率分量（u=v=0）與圖像的平均灰度成正比。

圖1頻域各部分信息展示

如圖1所示，與空間域一樣，頻率域的原點也在左上角，圖1（b）是圖1（a）經(jīng)過DFT之后的數(shù)據(jù)陣列，它由4個1/4周期組成，由二維傅里葉變換周期性性質(zhì)決定[1]，圖1（c）是經(jīng)過平移后的圖像，它包含一個完整的位于中心的周期，圖1（d）是為了便于觀察進行（1+logF（u，v））處理后的圖像，很好地顯示了高頻與低頻在圖中的分布。由于比例常數(shù)MN通常很大，F(xiàn)（0，0）是譜的最大分量，F(xiàn)（0，0）有時稱為變換的直流（dc）分量，反映圖像的平均灰度級，低頻反映圖像灰度變化緩慢的部分（圖1（a）中黑色部分），與白紙圖片一樣，幾乎沒有變化。高頻反映圖像灰度變化迅速的部分（圖1（a）中白色邊緣），如邊緣、噪聲等。endprint

圖2頻域各部分信息復(fù)原圖像

如圖2所示，（b）是原圖（a）相角的陣列信息，人眼看不出任何有價值的信息，（c）是僅使用相位信息（譜置為1）重建的圖像，隱約地可以看到圖片中女子的輪廓形狀，（d）是僅使用傅里葉譜信息（相位信息置為0）重建的圖像，在人眼看來圖像幾乎沒有任何有價值的信息，（c）和（d）對比可以看出，相位信息支配著圖像的輪廓或形狀，譜信息支配著圖像的灰度信息。（e）和（f）分別是圖2（a）的相角和圖1（a）的譜信息重建的圖像、圖1（a）的相角和圖2（a）的譜信息重建的圖像，（e）中女人的形狀支配了這幅圖像，（f）中圖1的矩形支配了這幅圖像。這兩幅圖再次證明，一幅圖像傅里葉變換后的頻域信息中，相位支配著圖像形狀，傅里葉譜信息主導(dǎo)著圖像的灰度信息。

核心代碼如下：

f=fft2（img）；%傅里葉變換

r=real（f）；%圖像頻域?qū)嵅?/p>

ii=imag（f）；%圖像頻域虛部

xiangjiao=atan2（ii，r）；

subplot（2，3，2），imshow（xiangjiao，[]），title（'（b）相角'）；

xiangwei=ifft2（exp（1i*xiangjiao））；

pu=ifft2（abs（f））

3圖像頻率域濾波基礎(chǔ)

圖像頻率域濾波是通過修改圖像的傅里葉變換后再計算其反變換得到處理后的圖像。對于一幅大小為M×N的數(shù)字圖像f（x，y），則基本的濾波公式為：

g（x，y）=-1[H（u，v）F（u，v）]

其中，-1是IDFT，F(xiàn)（u，v）是輸入圖像f（x，y）的DFT，H（u，v）是濾波函數(shù)（也稱濾波器），g（x，y）是濾波后的輸出圖像，且F、H、和g都與輸入圖像大小相同。

如上述分析，可以認為讓頻域中高頻部分衰減而將低頻部分通過的濾波器近似稱作低通濾波器，它會使圖像灰度變化劇烈部分的灰度值降低進而使整個圖像的平均灰度值減小，灰度直方圖的范圍減?。ㄗ畲?、最小灰度值之差變小），最終使圖像變得模糊。同理，具有相反特性的濾波器近似稱作高通濾波器，它將增強尖銳的細節(jié)，但會導(dǎo)致圖像對比度降低，圖3說明了這些效應(yīng)。

圖3不同濾波器及其濾波后的圖像

如圖3所示，上一行是濾波器，下一行對應(yīng)濾波器濾波后的圖像，（c）中a=0.75，濾波器自身的高度仍然是1。核心代碼如下：

s=fftshift（fft2（I））；%將灰度圖像的二維不連續(xù)Frourier變換的零頻率成分移到頻譜的中心

for i=1：M

for j=1：N

d=sqrt（（i-n1）^2+（j-n2）^2）；%點（i，j）到傅立葉變換中心的距離

h=1-1*exp（-1/2*（d^2/d0^2））；%GHPF濾波函數(shù)

s（i，j）=h*s（i，j）；%GHPF濾波后的頻域表示

end

end

s=ifftshift（s）；%對s進行反FFT移動

s=uint8（real（ifft2（s）））

頻率域濾波算法總結(jié)如下：①對灰度圖像進行二維不連續(xù)Frourier變換；②將變換后的零頻率成分移到頻譜中心；③計算點（i，j）到傅里葉變換中心的距離并得到GHPF濾波后的頻域表示；④進行二維Fourier逆變換；⑤取復(fù)數(shù)的實部轉(zhuǎn)化為無符號8位整數(shù)，得到處理后的圖像。

4圖像頻率域濾波應(yīng)用

主要考慮理想濾波器、布特沃斯濾波器和高斯濾波器這3種低通濾波器的應(yīng)用[23]。這3種濾波器貫穿非常尖銳（理想）的濾波到非常平滑（高斯）的濾波。布特沃斯濾波器內(nèi)置了1個參數(shù)，它也稱為濾波器的“階數(shù)”，階數(shù)越高越接近理想濾波器，階數(shù)越低越接近高斯濾波器。

以下是3種濾波器的函數(shù)表達式[1，46]：

（1）理想濾波器。

H（u，v）=1，D（u，v）≤D00，D（u，v）>D0（低通ILPF）

H（u，v）=0，D（u，v）≤D01，D（u，v）>D0（高通IHPF）

（2）布特沃斯濾波器。

H（u，v）=11+[D（u，v）/D0]2n（低通BLPF）

H（u，v）=11+[D0/D（u，v）]2n（高通BHPF）

（3）高斯濾波器。

H（u，v）=e＼+＼{-D＼+2（u，v）/2D＼+20＼}（低通GLPF）

H（u，v）=1-e＼+＼{-D＼+2（u，v）/2D＼+20＼}（高通GHPF）

上述數(shù)學(xué)表達式D0為截止頻率，D（u，v）為頻率域中點（u，v）到頻率矩形中心的距離。

4.1平滑圖像

由上可知，一幅圖像高頻部分主要是邊緣或突變的灰度轉(zhuǎn)變[7]（如噪聲）。為了平滑（模糊）圖像，可在頻率域?qū)ζ涓哳l部分進行衰減以達到目的，也即用低通濾波器實現(xiàn)。

圖4不同濾波器去噪效果

如圖4所示，可以看出（b）、（c）、（d）3幅圖在截止頻率d0=20時都對（a）中的噪聲起到了一定的平滑作用。很明顯，（b）中模糊程度和振鈴現(xiàn)象較嚴重，而（c）和（d）去噪效果不是很明顯，但（d）的邊緣模糊程度較（c）稍大些，這是由于二階BLPF濾波器在帶通和帶阻之間有較大的平滑過渡帶，從而高頻信號有部分保留。相應(yīng)地，邊緣模糊程度稍微降低，可以有效減小理想低通濾波器中的“振鈴”效應(yīng)，而GLPF的傅里葉反變換也是高斯的，因此高斯濾波器就不具有“振鈴”效應(yīng)。

4.2銳化圖像

與平滑圖像相反的是圖像銳化，由于邊緣和其它突變的灰度值與高頻分量有關(guān)，因此圖像銳化可以由高通濾波器完成，并且不會對高頻分量的信息產(chǎn)生破壞。

圖5不同濾波器銳化效果

由圖5可知，IHPF、BHPF、GHPF 3種高通濾波器對圖5（a）的濾波效果依次增加，圖像越來越平滑。從圖5（d）中可以看出，高斯高通濾波器對小狗的胡須也能進行較為清晰的展現(xiàn)。

5結(jié)語

圖像頻域濾波主要是將時域中的圖像轉(zhuǎn)化到頻率域中進行相應(yīng)的濾波。圖像頻率域濾波的關(guān)鍵是濾波器的選擇，低頻代表圖像灰度值變化緩慢的部分、高頻代表圖像灰度值變化劇烈的部分、相位支配著圖像形狀、傅里葉譜信息主導(dǎo)著圖像的灰度信息，可以據(jù)此設(shè)計不同的濾波器。本文只介紹了3種濾波器，實際應(yīng)用中還有很多不同種類、不同功能的濾波器，例如梯形濾波器、高頻強調(diào)濾波器、同態(tài)濾波器等，可以根據(jù)實際情況選取。

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責(zé)任編輯（責(zé)任編輯：孫娟）endprint