廣東省中山市實驗中學(xué)(528404) 郭立祥

基于高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)下直觀想象能力的培養(yǎng)

廣東省中山市實驗中學(xué)(528404) 郭立祥

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實驗)》修訂稿提出了數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運算、直觀想象和數(shù)據(jù)分析這六大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)也將以新的課程標(biāo)準(zhǔn)為導(dǎo)向開展教育教學(xué),其中提高高中生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)作為重要考察目標(biāo).在建立以學(xué)生為主體、教師為輔的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動中,直觀想象有利于促進學(xué)生的知識與能力形成,有利于提高學(xué)生分析和解決問題能力,從而養(yǎng)成良好數(shù)學(xué)思維習(xí)慣、創(chuàng)新意識、以及應(yīng)用數(shù)學(xué)意識與欣賞數(shù)學(xué)之美.

高三備考教學(xué)中,充分發(fā)揮學(xué)生直觀想象能力,來進一步培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),對于一些問題的解決往往會起到意想不到收獲.例如全國卷理科第24題滿分10分,我們把它作為必得分題組,但是在實際教學(xué)過程中,有部分學(xué)生仍然沒有掌握含有絕對值不等式的解法.基于培養(yǎng)學(xué)生直觀想象能力基礎(chǔ)上,我們來共同探究關(guān)于解含有絕對值不等式的問題.

教學(xué)片段

例題(2016年高考理科數(shù)學(xué)試卷全國卷2改編)已知函數(shù)f(x)=|x+1|?|2x?3|.求不等式|f(x)|＞1的解集.

師:對于這一道改編的高考題,直觀感覺它包含哪些知識點?又怎么來解決呢?

生1:f(x)是含有兩個絕對值的函數(shù),求解的不等式中也含有三個絕對值,可以將f(x)化為如下分段函數(shù),再進行分類討論.

師評論:這種方法巧妙將絕對值轉(zhuǎn)化為分段函數(shù),利用函數(shù)圖象進行分類討論,體現(xiàn)函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化和化歸思想,涉及到零點問題、穿針法、分段函數(shù)、畫函數(shù)圖象、解絕對值不等式等知識點.

師:那么是否有其他方法呢?

因為|f(x)|＞1,所以|x?4|＞1,解得x＞5,或x＜3,所以x≤?1;當(dāng)?1＜x＜時,

因為|f(x)|＞1,所以|3x?2|＞1,解得x＞1,或所以

因為|f(x)|＞1,所以|4?x|＞1,解得x＞5,或x＜3,所以

師評論:這種解法利用函數(shù)零點來進行分類討論,涉及到函數(shù)零點、轉(zhuǎn)化和化歸來解絕對值不等式.它通過零點去絕對值,把它轉(zhuǎn)化成為我們比較熟悉的函數(shù)形式,這種找零點,實際上也是劃分區(qū)間,變成分段函數(shù),同學(xué)們也可以進一步畫出分段函數(shù)的圖象,再根據(jù)函數(shù)的圖象進行分段討論.第一種方法利用分段函數(shù)去絕對值,第二種方法通過零點來確定分段區(qū)間,第三種方法結(jié)合分段函數(shù)畫出函數(shù)圖象,這三種方法核心都是將絕對值化為分段函數(shù),異曲同工之妙.

師推進1:如果同學(xué)們在考試,可能在哪些地方出現(xiàn)扣分?

生3:可能會出現(xiàn)漏了某一個區(qū)間或區(qū)間端點,也可能解題不規(guī)范.

師推進2:我們做了這一道題,自然想到如果“?”變成“+”怎么解?

變式一、(2016年高考理科數(shù)學(xué)試卷全國卷1)已知函數(shù)

M為不等式f(x)＜2的解集.

(I)求M;

(II)略.

師推進3:函數(shù)解析式有什么幾何意義?

生4:f(x)可以看成點P(x,0)到的距離.

師推進4:函數(shù)解析式中含有兩個無參數(shù)絕對值都解決了,那么含有參數(shù)的絕對值不等式怎么來解呢?

變式二(2015年高考理科數(shù)學(xué)試卷全國卷1改編)已知函數(shù)f(x)=|x+1|?2|x?a|,a＞0,求不等式f(x)＞1的解集;

試題分析利用零點分析法將不等式f(x)＞1化為一元一次不等式組來解;

(II)根據(jù)函數(shù)函數(shù)f(x)的兩個零點函數(shù)?1和a＞0分為三個區(qū)間,根據(jù)題意列出關(guān)于a的不等式,即可解出a的取值范圍.

試題解析由于?1和a＞0是函數(shù)的兩個零點,因此討論如下:當(dāng)x≤?1時,

因為f(x)＞ 1,所以x＞2a+2,所以不等式無解.當(dāng)?1＜x≤a時,

因為f(x)＞1,所以當(dāng)x＞a時,

因為f(x)＞1,所以x＜2a,所以a＜x＜2a.綜上所述,所以不等式的解集為0}.

為了進一步加強學(xué)生對于含參數(shù)不等式的知識的運用,在前三題的基礎(chǔ)上,進行了如下六種變式.

變式三已知函數(shù)f(x)=|x+1|?2|x?a|=x?2a?1,a∈R求關(guān)于x的不等式f(x)＞1的解集.

變式四已知函數(shù)f(x)=|ax+1|?2|x?1|,a∈R求關(guān)于x的不等式f(x)＞1的解集.

變式五已知函數(shù)f(x)=|x+1|?2|ax?1|,a∈R求關(guān)于x的不等式f(x)＞1的解集.

變式六已知函數(shù)f(x)=|x+1|+2|x?a|,a∈R求關(guān)于x的不等式f(x)＜1的解集.

變式七已知函數(shù)f(x)=|ax+1|+2|x?1|,a∈R求關(guān)于x的不等式f(x)＜1的解集.

變式八已知函數(shù)f(x)=|x+1|+2|ax?1|,a∈R求關(guān)于x的不等式f(x)＜1的解集.

師:這六道變式題在變式二的基礎(chǔ)上,函數(shù)包含了兩個絕對值的和與差,以及解含參數(shù)的絕對值不等式f(x)＜1與f(x)＞1.

教學(xué)反思本節(jié)的教學(xué)目標(biāo)是利用學(xué)生的直觀想象來培養(yǎng)學(xué)生高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),教學(xué)過程中從求絕對值不等式

的解集出發(fā),類比求絕對值不等式

的解集,聯(lián)想到求含參數(shù)絕對值不等式

的解集,推廣到求含參數(shù)絕對值不等式

的解集,再拓廣到另外六種變式,從而不斷挖掘題目的內(nèi)涵,拓廣其外延,增強學(xué)生的直觀想象能力,達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)目的.通過數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中的知識、方法積累與掌握、運用與內(nèi)化,創(chuàng)設(shè)不同情境讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)多角度思考問題,用數(shù)學(xué)思想來分析問題,用數(shù)學(xué)方法來解決問題,從而形成具有良好數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的能力、習(xí)慣和品質(zhì)等.