王 鵬， 張詠鷗， 王 晟， 張 濤

(華中科技大學 船舶與海洋工程學院，武漢 430074)

兩端固定載流管非線性振動IHB方法研究

王 鵬， 張詠鷗， 王 晟， 張 濤

(華中科技大學 船舶與海洋工程學院，武漢 430074)

增量平衡諧波法(IHB法)可用于求解兩端簡支載流管的非線性振動問題?？紤]非線性約束及集中質(zhì)量點的影響，利用Hamilton原理建立兩端簡支載流管運動微分方程，經(jīng)Galerkin離散后，通過改變控制變量頻率比得到系統(tǒng)的幅頻特性曲線。討論了系統(tǒng)運動參數(shù)例如速度、質(zhì)量比、非線性約束剛度及質(zhì)量點對系統(tǒng)幅頻特性的影響。計算結(jié)果表明增量平衡諧波法是一種求解載流管非線性振動較為有效的方法。

載流管；增量平衡諧波法；非線性約束；質(zhì)量點

載流管(Pipes Conveying Fluid)作為一種常見的載流裝置在現(xiàn)代工業(yè)中有著廣泛的應(yīng)用：小到生活中常見的自來水管，大到航空航天、海洋工程及能源化工等專用的傳送管道[1-2]。同時載流管系統(tǒng)是一個典型的線性-非線性振動系統(tǒng)，在管內(nèi)低流速時，非線性項對系統(tǒng)的振動影響不大，此時系統(tǒng)的振動可以看作是線性振動，而當系統(tǒng)中某些變量例如流速或壓力達到了一定數(shù)值時，非線性項不可忽略，此時系統(tǒng)因存在非線性項而為非線性系統(tǒng)。

Lee等[3]首先考慮了管路振動對流體運動狀態(tài)的影響，推導(dǎo)了非線性耦合的4方程模型，張立翔等[4]則在Lee研究基礎(chǔ)上增加了管道軸向運動和橫向運動的耦合，得到了較為全面的非線性全耦合模型。Wadham等[5]推導(dǎo)了懸臂管路的三維運動模型，并發(fā)現(xiàn)了其非線性方面與二維模型的區(qū)別。

針對上述振動微分方程，各種用于求解非線性微分方程的現(xiàn)代計算方法一一提出。最為基礎(chǔ)和有效的是基于Galerkin離散的龍格庫塔(Runge-Kutta)法[6]。龍格庫塔法則是求解常微分方程最有效的方法，可以較為準確的得到系統(tǒng)某一時刻的位移、速度及加速度值。該類方法應(yīng)用較多。微分轉(zhuǎn)換法(Differential Transformation Method)[7]也是一種較為成熟的求解管路非線性振動的數(shù)值計算方法。Gu等[8]采用廣義積分變換方法對兩端簡支載流管的動力響應(yīng)進行求解。增量平衡諧波法(IHB法)因其對所研究系統(tǒng)非線性程度的強弱并無限制，并且方法簡單求解方便，特別是其可跟蹤性，在研究載流管系統(tǒng)的非線性幅頻特性及分岔現(xiàn)象中存在其獨有的優(yōu)勢[9]。

實際上，對于兩端支撐載流管及懸臂載流管非線性振動，國內(nèi)外已有相關(guān)方面初步的研究。在兩端簡支管路方面，倪樵等[10]首先研究了單頻兩項諧波項組合下的兩端簡支載流管的幅頻曲線特性，并發(fā)現(xiàn)了幅頻曲線中幅值突變這一系統(tǒng)不穩(wěn)定現(xiàn)象；梁峰等[11]則通過IHB法系統(tǒng)性研究了兩端支撐輸流管管內(nèi)參數(shù)共振的情況。懸臂載流管方面，Pa?doussis等[12]研究了末端質(zhì)量點對懸臂載流管分岔特性的影響；倪樵等[13]研究了末端線性及非線性約束下懸臂載流管的幅頻特性，并發(fā)現(xiàn)了脈沖峰值現(xiàn)象。

本文在以上研究成果的基礎(chǔ)上，基于Hamilton原理給出兩端簡支管路運動方程，采用Galerkin方法進行離散化處理，使用IHB法求解探討上述兩端簡支邊界條件下的載流直管的幅頻特性。同時對管內(nèi)流速μ，質(zhì)量比β，非線性約束剛度K3和質(zhì)量點質(zhì)量Γ等對系統(tǒng)的幅頻特性的影響進行了探討。

1 運動微分方程及Galerkin離散

兩端簡支管路的運動方程可以根據(jù)Hamilton原理推導(dǎo)，兩端簡支管路模型示意圖可簡化為如圖1所示。

圖1 兩端簡支模型Fig.1 Schematics of simply supported pipe

圖1中，v表示管內(nèi)流體的流速，mmass表示集中質(zhì)量點，xm表示集中質(zhì)量點所處的位置，x0表示非線性約束所處的位置，ω表示管路橫向振動方向。

參考Pa?doussis等[14]提到的，兩端支撐管路科氏力不做功，科氏力項的非保守力所做的虛功為0。為了簡單起見，這里僅考慮ω方向的振動運動，無外力作用，并且非線性方面僅考慮管路軸向彎曲變形和加在管路上的非線性運動約束。

由以上假設(shè)，根據(jù)Hamilton原理，控制方程可寫成如下形式

(1)

式中：T為管路系統(tǒng)的動能；U為管路系統(tǒng)的彈性勢能；δ為在指定時間區(qū)間內(nèi)所取的變分。

管路因軸向彎曲變形而伸長，同時產(chǎn)生附加的軸向應(yīng)變，此軸向應(yīng)變可按照下面思路進行求解：取管路的dx微元段，在此微元段上，管道的伸長量為

(2)

則整個管路系統(tǒng)的總軸向彎曲應(yīng)變?yōu)?/p>

(3)

管路動能項T主要分為三部分：管道結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的動能、流體部分產(chǎn)生的動能及質(zhì)量點產(chǎn)生的動能，其表達式如式(4)所示，僅考慮ω方向動能項：

T=Tp+Tf+Tm,

(4)

勢能項如式(5)，僅考慮ω方向勢能，并且考慮到因彎曲變形產(chǎn)生的應(yīng)變

(5)

(6)

Kω3δ(x-x0)=0

(7)

式中：δ()為Dirac delta函數(shù)。

為了便于數(shù)值計算和分析比較，引入以下無量綱參變量對上式進行簡化分析

γ=EAl2/2EI，K3=Kl5/EI，

Γ=mmass/(mp+mf)l

(8)

將式(8)中的無因次量代入式(7)，可以得到如下無因次化運動微分方程

K3η3δ(ξ-ξ0)=0

(9)

式中：η?′的系數(shù)項中后兩項相比于1為一階小量，可略去不計。

上述運動微分方程的求解可以采用Galerkin方法，為了便于求解，首先將上述無因次化的四階偏微分方程進行離散化處理，將位置導(dǎo)數(shù)和時間導(dǎo)數(shù)分離，然后通過梁函數(shù)對位置導(dǎo)數(shù)進行積分，便可化簡得到二階振動常微分方程，為了簡單起見，這里忽略質(zhì)量點對振動方程的影響，具體實現(xiàn)步驟如下所示。

首先運動位移項η可以寫成如下形式

(10)

式中：ξ為管路廣義坐標；φi(ξ)為梁的振型函數(shù)。該振型函數(shù)滿足不同邊界條件，本例中該振型函數(shù)滿足兩端簡支邊界條件，即：

(11)

在保證計算精度的基礎(chǔ)上，取前兩項進行研究，則運動位移表達式可以寫成以下形式

η(ξ,τ)=φ1(ξ)q1(τ)+φ2(ξ)q2(τ)

(12)

為了規(guī)范化及后續(xù)變形計算，上式可以寫成如下矩陣形式

Φ=(φ1φ2)T，Q=(q1q2)T

η(ξ,τ)=QTΦ=ΦQT

(13)

需要說明的是Φ僅與梁的廣義坐標有關(guān)，Q僅與時間項有關(guān)。將式(13)代入式(9)，并去掉彎曲剛度項前一階小量，便可得到二階振動常微分方程。

(1+ε0)Φ?′TQ+

K3QTΦΦTQΦTQδ(ξ-ξ0)=0

(14)

為了得到矩陣形式，上式兩端左乘Φ，得到以下形式

(1+ε0)ΦΦ?′TQ+

K3QTΦΦTQ·ΦΦTQδ(ξ-ξ0)=0

(15)

式(15)在[0,1]上對廣義坐標ξ進行積分，可以得到以下標準的非線性振動常微分方程

(16)

利用梁振型函數(shù)正交性特征

(17)

λ1，λ2為梁函數(shù)的前兩階特征值，對于兩端簡支梁分別為π和2π。則線性項有

K=(μ2-ε0γ)△2+△4

(18)

非線性項均為位移的三次項。K3(Q)=K3ε(Q)+K3f(Q)。

(19)

將上述矩陣代入式(16)即可得到兩端簡支直管的二階非線性動力學方程組。該方程組可以用增量平衡諧波法進行求解。求解方法見文獻[15]，增量平衡諧波法要求所求的解為周期性的解，限于計算資源，這里求解載流管問題均取兩項諧波項，則q1和q2可以寫成如下形式

q1(τ)=a1cos(ωτ)+a2cos(3ωτ)+

b1sin(ωτ)+b2sin(3ωτ)，

q2(τ)=a3cos(ωτ)+a4cos(3ωτ)+

b3sin(ωτ)+b4sin(3ωτ)

(20)

式中：ω為頻率比，即振動頻率與簡支管基頻的比值。代入式(16)，便可進行求解。在實際的求解過程中，需要選擇合適的主動控制變量，這里對于兩端簡支載流管選擇頻率比ω作為主動控制變量，便可以進行迭代求解并且可以通過延續(xù)算法得到系統(tǒng)振動幅值-頻率特性。在增量計算中設(shè)置合適的計算初值及收斂誤差，便可通過牛頓迭代得到穩(wěn)定解。

2 計算結(jié)果及分析

兩端簡支載流管計算參數(shù)選取如下：β= 0.15，ε0= 0，非線性約束位置取ξ0= 0.5，在此基礎(chǔ)上討論了各種參數(shù)(包括管內(nèi)流速μ，質(zhì)量比β，非線性約束剛度K3和質(zhì)量點質(zhì)量Γ等)對兩端簡支輸流直管路的幅頻特性及其他非線性特性的影響。取ξ0= 0.7處管路無因次振動幅值作為觀察值，下文如無特殊說明幅值均取該處振幅。

首先是管內(nèi)流速變化對系統(tǒng)振動幅值的影響。按照線性理論，無因次流速μ在大于3.14時管路將發(fā)生屈曲失穩(wěn)，以下給出該速度范圍內(nèi)不同速度下的振動幅頻曲線，如圖2所示。

圖2 不同無因次流速下管路振動的幅頻特性曲線Fig.2 Amplitude-frequency curves of the pipe vibration at different dimensionless velocity

從圖2中可以看到較為明顯的幅值突變情形，幅值突變的幅度和流速大小有關(guān)，圖中隨著流速的增加，其突變的幅度逐漸增大。另外，在無因次流速在3.14～6.28內(nèi)，發(fā)生幅值突變處的無因次頻率比ω隨著流速的增加而增大，但在6.28～9.43內(nèi)，發(fā)生幅值突變處的無因次頻率比ω并不遵循上述規(guī)律。這從另一方面說明在低速范圍內(nèi)，管路振動仍存在一定的線性因素，而在流速較大情況下，管路振動中非線性逐漸明顯。

無因次流速μ大于9時管路振動存在零響應(yīng)、穩(wěn)

定和不穩(wěn)定響應(yīng)共存的情況，系統(tǒng)的實際響應(yīng)和計算時設(shè)定的初始值有關(guān)，這里僅給出同一種初始值下的響應(yīng)幅頻曲線見圖3。圖中均存在幅值突變的情形，并且隨著流速的增加，幅頻特性中突變的幅度增大。

圖3 μ= 8，9，10，11，12時管路振動的幅頻特性曲線Fig.3 Amplitude-frequency curves of the pipe vibration at different dimensionless velocity

圖4、5、6為無因次流速μ為4、8和12的管路振動的時歷曲線和相圖(極限環(huán))?？梢钥吹?，在速度較低的情況(μ= 4)中，其管路振動基本上是單頻的，不存在疊加情況，可見此時系統(tǒng)主要為線性的；而在速度較大的情況下，管路振動存在多個頻率疊加，此時系統(tǒng)非線性因素不可忽視。

圖4 μ=4時管路振動時歷曲線和相圖Fig.4 Time history and phase portrait for μ=4

圖5 μ=8時管路振動時歷曲線和相圖Fig.5 Time history and phase portrait for μ=8

圖6 μ=12時管路振動時歷曲線和相圖Fig.6 Time history and phase portrait for μ=12

質(zhì)量比對載流管的振動幅頻特性有一定的影響，并且以上不同速度區(qū)間中其影響不盡相同，圖7～圖10

給出了不同速度區(qū)間中不同質(zhì)量比對載流管振動幅頻曲線的影響關(guān)系。

圖7 μ=4時不同質(zhì)量比下管路振動幅頻曲線Fig.7 Amplitude-frequency curves of the pipe vibration when dimensionless velocity is μ= 4

圖8 μ=8時不同質(zhì)量比下管路振動幅頻曲線1Fig.8 Amplitude-frequency curves of the pipe vibration when dimensionless velocity is μ= 8

圖9 μ=8時不同質(zhì)量比下管路振動幅頻曲線2Fig.9 Amplitude-frequency curves of the pipe vibration when dimensionless velocity is μ= 8

首先是低速段μ=4，可以看到質(zhì)量比僅僅影響幅頻曲線中突變處的頻率比，對突變前后的幅值均無影響；對于中速段μ=8，圖中可以看到質(zhì)量比不僅僅影響幅頻曲線中突變處的頻率比，同樣對突變前的幅值有很大影響，但對突變后的振幅影響較小，并且隨著質(zhì)量比的增大毫無規(guī)律可言；到了高速段，上述中速段的規(guī)律仍適用，同樣的結(jié)論也可見于文獻[10]。

前文討論的是兩端簡支管路僅考慮管路沿中線的軸向變形所產(chǎn)生的非線性因素，當然，兩端簡支管的非線性不僅僅局限于此，管內(nèi)不穩(wěn)定流或者是非線性約束同樣會引起載流管豐富的非線性振動現(xiàn)象。下面討論非線性運動約束剛度對管路振動的影響。

非線性運動約束下的管路振動是管路非線性振動中一個熱門的研究課題。通常而言，非線性運動約束產(chǎn)生的對管路的反作用力可由三次非線性彈簧來進行模擬[16]，并且可以通過該三次非線性彈簧的剛度系數(shù)來表征該運動約束的軟硬程度，剛度系數(shù)越大代表運動約束越剛，反之亦然。這里，對于兩端簡支載流直管路，假定其非線性約束的位置在管路中間，即非線性約束位置取ξ0= 0.5，其他參數(shù)μ= 4；β= 0.15，ε0= 0，流速選擇參考文獻[16]。圖11給出了不同非線性約束無因次剛度值對應(yīng)的載流管幅頻特性曲線。

圖中可以很明顯看到，在運動約束剛度較小的時候，即運動約束剛度在1 000以內(nèi)，非線性運動約束對管路振動基本無影響，其發(fā)生振幅突變的無因次頻率比均為2.23處左右，由此可見，對于運動約束無因次剛度值較小的情況，載流管振動非線性體現(xiàn)在其他方面(軸向彎曲變形)，運動約束對管路非線性的動力學特性基本無影響；僅改變運動約束剛度至100 000，圖中可以看到不同頻率比對應(yīng)的振動幅值開始明顯減小，說明此時運動約束和軸向彎曲變形一樣在很大程度上影響了管路系統(tǒng)的動力學特性，這點和文獻[16]通過四階龍格庫塔法計算的結(jié)論不謀而合。但本文的計算量無疑要小于龍格庫塔法，這說明了增量平衡諧波法對于分析載流管非線性振動方面問題的有效性和優(yōu)越性。

自由端質(zhì)量點也是懸臂載流管非線性振動中一個重要的研究方向。為了簡單起見，本文不考慮質(zhì)量點對非線性項的作用，Galerkin離散過程與上述介紹的流程一致，且質(zhì)量點位于管路上距ξ= 0.3處。

取無因次參數(shù)μ= 4；β= 0.2，不同無因次質(zhì)量點質(zhì)量Γ= 0，0.02，0.05，0.1，0.2，計算得到不同質(zhì)量點質(zhì)量的低頻率比下系統(tǒng)的幅頻特性曲線如圖12所示。

圖10 μ= 10時不同質(zhì)量比下管路振動幅頻曲線Fig.10 Amplitude-frequency curves of the pipe vibration when dimensionless velocity is μ= 10

圖11 不同非線性約束剛度值下管路幅頻特性曲線Fig.11 Amplitude-frequency curves of the pipe vibration at different stiffness of nonlinear constraint

在低頻率比段，上述幾種不同質(zhì)量的質(zhì)量點對系統(tǒng)的幅頻特性基本上影響較??；質(zhì)量點對幅頻曲線突變處的頻率比及之后相同頻率比對應(yīng)的幅值有一定的影響，并且隨著質(zhì)量點質(zhì)量的增加，突變點對應(yīng)的頻率比減小，同時質(zhì)量點質(zhì)量越大，相同頻率比下振動幅值越大。

3 結(jié) 論

本文利用Hamilton原理建立了兩端簡支載流直管運動微分方程，經(jīng)Galerkin離散，利用增量平衡諧波法，研究了兩端簡支載流直管路的非線性振動特性，得到以下結(jié)論：

(1)對于兩端簡支載流管，在臨界流速以上，隨著流速的增加，突變的幅度逐漸變大；無因次流速在3.14～6.28范圍內(nèi)，幅值突變處的無因次頻率比隨著流速的增加而增大。

(2)質(zhì)量比及非線性約束剛度均對兩端支撐管路振動幅頻特性曲線產(chǎn)生較大影響。質(zhì)量比對幅頻特性曲線在不同速度區(qū)間上影響不盡相同；非線性約束剛度在剛度較低時對幅頻曲線基本上無影響，而在剛度大于某一值時，振動幅值隨著剛度的增加而明顯減小。

(3)增量平衡諧波法能有效針對載流管非線性振動進行求解。在求解載流管非線性振動中，增量平衡諧波法不僅可以考慮系統(tǒng)參數(shù)中諸如流速、質(zhì)量比等因素對系統(tǒng)非線性振動的影響，同樣可以考慮管路附件例如非線性約束及集中質(zhì)量點對系統(tǒng)非線性的影響，得到與龍格庫塔積分法類似的結(jié)果，是一種較為準確及簡潔的半解析、半數(shù)值計算方法。該研究可為載流管設(shè)計提供一定的參考。

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NonlinearvibrationofhingedpipesconveyingfluidwiththeIHBmethod

WANG Peng，ZHANG Yong’ou，WANG Sheng，ZHANG Tao

(School of Naval Architecture and Ocean Engineering, Huazhong University of Science and Technology, Wuhan 430074, China)

The nonlinear vibration of simply supported pipes conveying fluid was investigated through the incremental harmonic balance method. The differential motion equations of simply supported pipes conveying fluid were derived based on the Hamilton principle, considering the influence of the nonlinear constraint and the tip lumped masses. The equations were discretized by the Galerkin scheme. The amplitude-frequency characteristics curves of the pipes conveying fluid were obtained by changing the frequency ratio. The effect of the fluid speed, mass ratio, the stiffness of the nonlinear constraint, and the tip lumped masses on the amplitude-frequency characteristics of the pipes conveying fluid were discussed. The results show that the incremental harmonic balance method is an effective method to solve the problem of the nonlinear vibration of the pipes conveying fluid.

pipes conveying fluid；incremental harmonic balance method；nonlinear constraint；the tip lumped masses

2016-04-29 修改稿收到日期：2016-07-30

王鵬 男，碩士生，1991年生

張濤 男，博士，副教授，1976年生

O633.1

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.20.037