王恒通，徐春媛，黨 磊

不同溫度下液體粘滯系數(shù)實驗的理論計算

王恒通，徐春媛，黨 磊

(陜西師范大學(xué) 物理學(xué)與信息技術(shù)學(xué)院，陜西 西安 710119)

落球法測液體粘滯系數(shù)是理工科高校的一個基本物理實驗。環(huán)境溫度對液體的密度和粘度有很大影響，所以溫度在該實驗中是一個重要的參數(shù)。該文從理論上對不同溫度下不同直徑的小球在測量區(qū)間內(nèi)勻速下落的時間、收尾速度和勻速下落起點位置進行了計算，并給出了這些參量隨著溫度變化的規(guī)律。實踐表明，這為實驗者選擇合適的實驗參數(shù)、判斷實驗數(shù)據(jù)準確性提供了依據(jù)，從而減少了誤差。

落球法；溫度；理論計算；粘滯系數(shù)

測量液體粘滯系數(shù)實驗是大學(xué)理工科專業(yè)的一個基本物理實驗。對液體粘滯系數(shù)的測量有很多不同的方法，如落球法、轉(zhuǎn)筒法和毛細管法等[1-3]。落球法是其中常用的一種方法，它可用于測量如蓖麻油和甘油這樣透明或半透明液體的粘滯系數(shù)[4]。一方面，該實驗物理現(xiàn)象明顯、原理直觀、實驗操作和訓(xùn)練內(nèi)容較多；另一方面，該實驗對于學(xué)生觀察液體的內(nèi)摩擦現(xiàn)象、了解小球在液體中的運動規(guī)律、了解液體粘滯系數(shù)測量方法及粘滯力在現(xiàn)實生活中的意義都有著非常重要的作用[5-6]。

落球法測量粘滯系數(shù)實驗過程中，要求實驗者憑經(jīng)驗在釋放小球后利用秒表來記錄小球在蓖麻油中勻速運動通過某段距離所用的時間。由于視差和測量者手動計時的反應(yīng)時間等因素的影響，實驗結(jié)果會產(chǎn)生誤差[7-8]，且液體的密度和粘度對于溫度變化比較敏感[9-11]。因此，本文通過理論模擬計算了不同溫度下不同直徑的小球在測量區(qū)間內(nèi)勻速下落的時間、收尾速度及勻速下落起點位置，給出了這些參量隨著溫度變化的規(guī)律，并為實驗者選擇合適的實驗參數(shù)、判斷實驗數(shù)據(jù)準確性提供了依據(jù)，從而減少誤差。

1 落球法實驗簡介和原理

如圖1(a)所示，直徑為d的光滑小鋼球無初速度進入液體后以速度v在液體中運動。小球受到3個作用力(如圖1(b)所示):重力G＝mg，浮力f浮＝ρ0gV和由液體內(nèi)摩擦產(chǎn)生的粘滯阻力F。根據(jù)斯托克斯公式，小球所受到的粘滯阻力:

式中，η是粘滯系數(shù)，v為小球在液體中的下落速度。當小球剛下落時，速度v很小，粘滯阻力F不大，小球做加速下降。隨著速度增加，阻力逐漸增大，速度達到一定值后，阻力與浮力之和與重力相等。這樣合外力為零，小球以收尾速度v0勻速下落，這時可得:

這里由于量筒有一定的內(nèi)徑D，所以器壁對小球的運動有影響[1，10]，需要將式(3)中的速度v0修正為:v′o＝v0(1＋2.4d/D)。 則式(3)可以改寫為:

式中t為小球在測量區(qū)間L距離內(nèi)以v0勻速下落所用的時間。式(4)給出了落球法測液體粘滯系數(shù)的理論公式。

圖1 落球法測粘滯系數(shù)示意圖

本實驗操作過程要求實驗者首先選擇并準確測量小剛球的直徑d。其次，如圖1所示，用鑷子夾持小球貼近液體液面沿量筒中心軸線自由釋放小球，觀察小球運動情況并利用秒表測量小球在圖1中ab之間勻速運動的時間t。當小球運動到圖1中液面以下的虛線a處開始計時；當小球運動到圖1中虛線b處時停止計時。然后，從比重計和溫度計中讀出待測液體的密度和溫度。最后，用游標卡尺和直尺分別測出量筒的直徑D和ab之間的距離L。本次實驗要求選擇5個小球并對其直徑、下落時間及下落的收尾速度進行測量和計算，并利用式(4)求出粘滯系數(shù)及其平均值和相對誤差。本實驗中，不同直徑小球的選擇、計時起點與液面間距離的設(shè)置及勻速運動時間的測量結(jié)果都是影響實驗結(jié)果的重要因素。

2 模擬結(jié)果

在本文的理論模擬中，蓖麻油粘滯系數(shù)隨溫度T變化采用參考文獻[11]中經(jīng)驗公式:

如表1所示，給出了利用式(5)求得的不同溫度下蓖麻油的粘滯系數(shù)。模擬中所用到的其他參數(shù)分別為:小球的密度ρ＝7.8 kg/m3；量筒的內(nèi)徑D＝115.55×10-3m；測量小球勻速下落的測量區(qū)間L＝245.55×10-3mm； 重力加速度 g＝9.797 m/s2。。在室溫(12～30℃)范圍內(nèi)，由于蓖麻油密度隨溫度變化量遠小于小球密度[12]，所以在本文中近似認為常數(shù) ρ0＝0.965×103kg/m3。

表1 不同溫度下蓖麻油的粘滯系數(shù) (溫度/℃；粘滯系數(shù)/Pa·s)

2.1 測量區(qū)間內(nèi)勻速下落的時間t

由式(4)和式(5)可得，測量過程中小球勻速下落時間t的表達式可寫為:

圖2 測量區(qū)間內(nèi)不同直徑小球勻速下落時間隨溫度變化

如圖2所示，給出了在測量區(qū)間內(nèi)不同直徑小球勻速下落時間隨著溫度的變化規(guī)律。從圖2中可以看到溫度越低時測量區(qū)間上小球勻速下落的時間t越長，溫度越高小球下落時間t越短。小球的直徑不同，在測量區(qū)間上勻速下落的時間t隨溫度減小的速率也不同，表現(xiàn)為小球的直徑越大，下落時間減小的速率越小。

圖2中的數(shù)據(jù)也可以為實驗估算提供一個合理參考。小球直徑選為0.5×10-3m左右，測量區(qū)間上小球的下落時間t在溫度小于23℃時可以達到100 s以上。當小球的直徑選為1.5×10-3m左右，測量區(qū)間上小球下落的時間t在15～30 s的范圍內(nèi)變化。而當小球的直徑選為2.5×10-3m以上的時候，測量區(qū)域上小球下落的時間t在10 s以內(nèi)。隨著溫度和小球直徑的繼續(xù)增加，下落時間甚至會在幾秒鐘以內(nèi)。所以，在實際實驗操作中對小球尺寸的選擇要盡量的小于2.5×10-3m，以保證小球下落有足夠長的時間。這樣實驗結(jié)果不會因為記錄過程中實驗者視差和反應(yīng)時間所導(dǎo)致的時間誤差而產(chǎn)生很大偏差。同樣，小球的直徑也不宜過小。如果小球直徑小于0.5 mm，在下落過程中小球容易偏離量筒的軸線從而產(chǎn)生誤差[1，13]。

2.2 收尾速度v0

由式 (3)可以得到小球勻速運動的速度v0，即收尾速度:

由于蓖麻油的粘滯系數(shù)遠遠大于空氣的粘滯系數(shù)，所以小球在蓖麻油中的運動很緩慢。如圖3所示，給出了不同直徑小球的收尾速度隨著溫度變化規(guī)律。小球下落的收尾速度整體上隨著溫度的增加而增加。小球的直徑越大其收尾速度越大，且小球直徑越大其收尾速度隨著溫度增加的速率也越大。當小球的直徑較小(小于1.0×10-3m)，收尾速度隨著溫度增加的變化率很小，如圖2所示，直徑為0.5×10-3m的小球，隨著溫度變化其收尾速度幾乎不發(fā)生變化。

圖3 不同直徑小球的收尾速度隨溫度增加的變化

從圖3所給出的數(shù)據(jù)還可以看到:溫度較低時，蓖麻油中不同直徑的小球收尾速度分布較集中(如T＝12℃，收尾速度均在0.02 m/s以內(nèi))；隨著溫度升高，不同直徑小球的收尾速度差異逐漸增加(如 T＝30℃，收尾速度分布在0.07 m/s以內(nèi))。這也說明了溫度較低，液體粘滯系數(shù)大，小球的重力勢能有很大一部分來克服粘滯阻力做的負功；而溫度較高，粘滯阻力做的負功較少，較多的重力勢能轉(zhuǎn)化為動能。

2.3 勻速下落起點位置

圖4 不同直徑小球勻速下落起點位置隨溫度變化

小球在達到收尾速度之前，小球下落距離與速度之間的函數(shù)關(guān)系為:

這里我們假設(shè)勻速下落起點為小球從蓖麻油表面釋放后速度v達到0.999v0時所運動到的位置。

如圖4所示，給出了不同直徑小球勻速下落起點位置(距離蓖麻油液面的距離)隨溫度的變化規(guī)律。隨著溫度的增加，小球勻速下落的起點位置也增加，且小球的半徑越大其勻速運動的起點位置距離液面就越遠。從圖4的數(shù)據(jù)也可以看出，即便溫度很高，小球進入蓖麻油后也會在距離液面幾毫米的地方就已經(jīng)達到了勻速運動狀態(tài)。

雖然小球進入液體后很短距離就可以達到勻速直線運動狀態(tài)，但是在實際實驗過程中，測量小球的勻速下落時間前仍需預(yù)留一段距離。一方面是避免在加速區(qū)間計時，另一方面，防止實驗者沒有從液面開始釋放小球，而使小球進入蓖麻油就已經(jīng)具有一定初速度。

3 結(jié)束語

利用計算模擬的方法，本文理論上討論了落球法測液體粘滯系數(shù)實驗中小球下落過程中的幾組重要參數(shù)(測量區(qū)間內(nèi)勻速下落的時間、收尾速度和勻速下落起點位置)，給出了這些參數(shù)對不同溫度和不同小球直徑的變化規(guī)律。一方面，本文的結(jié)果可以為落球法測定液體粘滯系數(shù)的實驗教學(xué)提供指導(dǎo)。如對小球直徑的選擇要保證小球有足夠長的下落時間以便實驗者有充裕的反應(yīng)時間而準確測量下落時間t，同時也需要較大的收尾速度避免出現(xiàn)湍流運動影響實驗結(jié)果。結(jié)合表1和表2中的數(shù)據(jù)，可以為實驗者在不同的實驗溫度下選擇合適的小球直徑提供指導(dǎo)，進而提高實驗測量結(jié)果的準確性(如溫度為23℃時，小球的直徑選為1.5×10-3m左右較為合適)。另一方面，本文的結(jié)果也為實際操作實驗時選擇合適的實驗參數(shù)及多次測量時判斷實驗數(shù)據(jù)的正確性提供參考，從而減少實驗誤差，提高測量結(jié)果的準確性。首先，根據(jù)表2結(jié)果可以為實驗設(shè)置計時起點的位置提供參考。其次，本文中的理論結(jié)果可以為判斷實際實驗所得到的下落時間t、收尾速度等實驗數(shù)據(jù)的準確性提供有效的參考依據(jù)。如表2所示的23℃下小球的下落時間t。

表2 不同直徑小球?qū)?yīng)的下落時間(T＝23℃)

對于表2中數(shù)據(jù)可以結(jié)合本文中2.1部分的模擬結(jié)果進行篩選:小球直徑在1.4～1.7 mm之間，下落時間應(yīng)該在12.4～8.4 s之間，并且隨著小球半徑增加下落時間縮短。很明顯，表2的數(shù)據(jù)中小球半徑為1.628 mm和1.562 mm對應(yīng)的測量結(jié)果11.22 s和7.34 s是不正確的(前者對應(yīng)時間應(yīng)在9.2 s左右，后者對應(yīng)時間應(yīng)在9.6 s左右)。因而，應(yīng)該在數(shù)據(jù)處理前將這兩組數(shù)據(jù)剔除掉，從而保證實驗結(jié)果的準確性。

最后，本文的理論分析和數(shù)值模擬部分也有助于實驗者加深對本實驗原理的理解及不同溫度下小球在粘性液體中的運動狀態(tài)的理解。

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Theoretical Computation for Experiment of Viscosity Coefficient of Liquid under Different Temperature

WANG Hengtong， XU Chunyuan， DANG Lei
(School of Physicsand Information Technology， Shanxi Normal University， Xi'an 710119， China)

Falling ball method， which measures the viscosity coefficient of liquid， is a basic physical experiment of science and engineering university.Environmental temperature has a significant effect on the fluid density and viscosity.Thus，the temperature is an important parameter in this experiment.In this paper， the falling time in the measuring interval， the terminal falling velocity and the starting position of uniform falling are theoretically calculated under different temperatures and diameters which were given.The results show the law of these parameters varied with the temperature.It provides the basis for the experimenter to select the appropriate experimental parameters，which can reduce the error.

falling ball method； temperature； theoretical simulation； viscosity coefficient

O4-3

A

10.3969/j.issn.1672-4550.2017.05.005

2016-02-24；修改日期:2016-03-30

陜西師范大學(xué)實驗教學(xué)改革研究項目(16SY16)；陜西師范大學(xué)勤助科研創(chuàng)新基金項目(KY2015YB49)。

王恒通(1985-)，男，博士，講師，主要從事物理學(xué)方面的教學(xué)和科研工作。