● (鄞州高級(jí)中學(xué)，浙江 寧波 315100)

●任偉芳 (寧波市教育局教研室，浙江 寧波 315000)

2017-08-21

王世恩(1981-)，男，浙江寧波人，中學(xué)高級(jí)教師.研究方向數(shù)學(xué)教育.

基于培育邏輯推理素養(yǎng)的章引言教學(xué)
——以“推理與證明”的教學(xué)設(shè)計(jì)為例

●王世恩
(鄞州高級(jí)中學(xué)，浙江 寧波 315100)

●任偉芳
(寧波市教育局教研室，浙江 寧波 315000)

在章引言教學(xué)中培育邏輯推理素養(yǎng)需要引發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，引導(dǎo)學(xué)生會(huì)學(xué)數(shù)學(xué)，引領(lǐng)學(xué)生在新章節(jié)中探索遨游．推理與證明是培育數(shù)學(xué)邏輯推理素養(yǎng)的抓手，是貫穿于高中數(shù)學(xué)整個(gè)知識(shí)體系的思維方式，是理性思維的重要部分．

邏輯推理；章引言；推理課堂；實(shí)踐思考

近日，浙江省寧波市教研室組織了以“深化課程意識(shí)，培育核心素養(yǎng)”為主題的章引言課堂教學(xué)評(píng)比，章引言和核心素養(yǎng)教學(xué)引起了參會(huì)教師濃厚的興趣．活動(dòng)依托“推理與證明”等章引言內(nèi)容開設(shè)了10節(jié)同課異構(gòu)的評(píng)比課．筆者用新課程理念，根據(jù)授課內(nèi)容特點(diǎn)和學(xué)生認(rèn)知水平，通過(guò)注重培育邏輯推理素養(yǎng)所構(gòu)建的“推理”課堂，得到評(píng)委教師和學(xué)生的一致好評(píng)．下面以這節(jié)人教A版《數(shù)學(xué)(選修2-2)》第2章“推理與證明”章引言教學(xué)設(shè)計(jì)為例，談?wù)勅绾卧谡乱越虒W(xué)中培育邏輯推理素養(yǎng)的實(shí)踐與思考．

1 教學(xué)內(nèi)容的分析

推理與證明是一種數(shù)學(xué)的基本思維過(guò)程,也是人們學(xué)習(xí)和生活中經(jīng)常使用的思維方式之一[1]．“推理與證明”作為一個(gè)獨(dú)立的章節(jié)編入教材中是本次課程改革的一大亮點(diǎn)，說(shuō)明它對(duì)學(xué)生能力發(fā)展的重要性．推理與證明是培育數(shù)學(xué)邏輯推理素養(yǎng)的抓手之一，是學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，也是貫穿于高中數(shù)學(xué)整個(gè)知識(shí)體系的思維方式，是理性思維的重要部分．?dāng)?shù)學(xué)之所以區(qū)別于其他學(xué)科，在于數(shù)學(xué)規(guī)律的確定性必須由推理和證明來(lái)實(shí)現(xiàn)，因此“推理是數(shù)學(xué)的命根子”[2]．教材將推理與證明的一般方法進(jìn)行了總結(jié)和歸納,把過(guò)去滲透在具體數(shù)學(xué)內(nèi)容中的思維方法,以集中、顯性的形式在一個(gè)章節(jié)中呈現(xiàn)出來(lái)，使學(xué)生更加明確這些方法,同時(shí)對(duì)后繼知識(shí)的學(xué)習(xí)起到引領(lǐng)作用,并能在以后的學(xué)習(xí)中有意識(shí)地運(yùn)用這些方法,從而達(dá)到系統(tǒng)化螺旋式地培育學(xué)生邏輯推理素養(yǎng)的目的．

2 課堂實(shí)錄(片段)

2.1 環(huán)節(jié)1：創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，感受推理魅力

分析當(dāng)生物體死亡后，它機(jī)體內(nèi)原有的“碳14”會(huì)按確定的規(guī)律衰減，大約每經(jīng)過(guò)5 730年衰減為原來(lái)的一半，這個(gè)時(shí)間稱為“半衰期”．根據(jù)此規(guī)律，人們可以獲得生物體內(nèi)“碳14”含量P與死亡年數(shù)t之間的關(guān)系，由此可以推測(cè)化石距今約幾萬(wàn)年．

師：下面請(qǐng)同學(xué)們舉幾個(gè)在日常生活中有關(guān)推理的例子？

生1：中華醫(yī)學(xué)博大精深，中醫(yī)師可以通過(guò)把脈來(lái)診斷出病人的病情．

生2：氣溫瞬息萬(wàn)變，氣象專家可以通過(guò)云圖分析和實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)預(yù)測(cè)未來(lái)幾天天氣的狀況．

設(shè)計(jì)意圖請(qǐng)學(xué)生舉例，說(shuō)明推理在科學(xué)研究和日常生活等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用．?dāng)?shù)學(xué)推理是依據(jù)已有數(shù)學(xué)概念、生活經(jīng)驗(yàn)、知識(shí)水平，運(yùn)用歸納、類比、觀察、猜想等推理方法，對(duì)數(shù)學(xué)事物或現(xiàn)象進(jìn)行科學(xué)、合理地判斷，繼而得出一定的結(jié)論．因此學(xué)習(xí)推理可以幫助學(xué)生鍛煉思維，科學(xué)客觀地看待問(wèn)題，會(huì)使人更聰明．

2.2 環(huán)節(jié)2：從特殊到一般的推理

師：有玩過(guò)如圖1所示的這個(gè)游戲嗎？今天我們來(lái)玩這個(gè)游戲．

圖1

問(wèn)題2在印度有個(gè)傳說(shuō)：在世界中心的神廟里，插著3根寶石柱子．印度教的主神梵天在創(chuàng)造世界的時(shí)候，在第一根柱子上從上到下穿了由小到大的64個(gè)純金的圓盤．不論白天黑夜，總有一個(gè)僧侶按照如下規(guī)則移動(dòng)圓盤，規(guī)則：

1)每次只能移動(dòng)1個(gè)圓盤;

2)較大的圓盤不能放在較小的圓盤上面,僧人們預(yù)言：當(dāng)所有圓盤都移到另一根柱子上時(shí)，世界將不復(fù)存在了．

師：這個(gè)預(yù)言會(huì)是真的嗎？

生3：假的．

師：預(yù)言的真假本質(zhì)上要研究怎樣的問(wèn)題？

生4：要解決64個(gè)圓盤從第一根柱子移到第二根柱子最少需要多少次的問(wèn)題．

師：很好，首先我們把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題．但64塊圓盤的數(shù)量過(guò)大，我們應(yīng)該怎么考慮？

生5：從1塊圓盤開始，然后2塊、3塊、4塊，依次下去……

師：接下來(lái)按課前分好的小組進(jìn)行漢諾塔游戲的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)．活動(dòng)要求：每個(gè)小組2人操作，1人記錄移動(dòng)步數(shù)(見表1)，1人最后匯報(bào)本組實(shí)驗(yàn)活動(dòng)的情況，猜想f(n)=______．

表1 漢諾塔游戲的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)統(tǒng)計(jì)

(動(dòng)手操作3分鐘后．)

師：哪一組來(lái)分享本組的結(jié)果？

生6：我們組的實(shí)驗(yàn)結(jié)果:f(n)分別是1,3,7,15．

師：很棒！說(shuō)一說(shuō)是怎么移動(dòng)的？

生7：這里關(guān)鍵是要用最快的速度將第一根柱子最底下一塊移到第二根柱子上．比如：當(dāng)有3塊的時(shí)候，要將上面2塊看成一個(gè)整體移動(dòng)到第3根柱子上．因?yàn)閷?塊移到另一個(gè)柱子上最快要3次，所以總次數(shù)就是3+1+3=7次．

師：厲害！事實(shí)上，移動(dòng)的過(guò)程就是一個(gè)推理過(guò)程．生活中人們往往需要進(jìn)行這樣那樣的推理，比如在警察偵破案件、考古學(xué)家推測(cè)遺址年代等，這是我們?yōu)槭裁磳W(xué)習(xí)本章的原因．當(dāng)有n個(gè)圓盤時(shí)，至少要移動(dòng)幾次呢？

生8：2n-1次.

設(shè)計(jì)意圖引進(jìn)漢諾塔的動(dòng)手游戲，對(duì)于64個(gè)圓盤，有學(xué)生提出：64個(gè)圓盤數(shù)字太大不好處理，應(yīng)該從1塊圓盤開始，然后2塊、3塊、4塊……依次下去，尋找規(guī)律更方便些，這是歸納推理最基本的思維方式．通過(guò)游戲活動(dòng)，學(xué)生經(jīng)歷觀察分析、逐漸發(fā)現(xiàn)結(jié)論的過(guò)程．在師生互動(dòng)中滲透歸納推理，一方面能培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和提出問(wèn)題的習(xí)慣;另一方面能優(yōu)化學(xué)生的思維，啟迪他們的智慧．

2.3 環(huán)節(jié)3：從一般到特殊的推理

師：像這種由特殊的幾個(gè)概括得到一般結(jié)論的推理稱為歸納推理，歸納推理與類比推理統(tǒng)稱為合情推理，合情推理具有猜測(cè)和發(fā)現(xiàn)新結(jié)論的作用．剛才我們得到的結(jié)論是否一定正確呢？

生9：不一定正確．

問(wèn)題3著名的費(fèi)馬猜想：任何形如22n+1(其中n∈N*)的數(shù)都是質(zhì)數(shù)．

師：這個(gè)猜想在提出半個(gè)世紀(jì)后，被善于計(jì)算的歐拉發(fā)現(xiàn)，第5個(gè)費(fèi)馬數(shù)不是質(zhì)數(shù)．同學(xué)們剛才的預(yù)判是正確的！由此可見，由歸納推理得到的結(jié)論需要證明．常見證明方法有直接證明和間接證明，還有將在本章學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)歸納法，數(shù)學(xué)歸納法適用于處理與正整數(shù)相關(guān)的數(shù)學(xué)命題．再回歸到剛才得到的猜想，如果假定這個(gè)猜想是正確的，當(dāng)有64塊的時(shí)候，至少需要移動(dòng)幾次呢？

生10：264-1 ．

師：像這種從一般到特殊的推理過(guò)程稱為演繹推理．假定僧侶們每秒移動(dòng)一次圓盤，不停地移動(dòng)需要多少年呢？我們一起來(lái)見證偉大而不可思議的數(shù)據(jù)18 446 744 073 709 511 615(秒)，換算成年，相當(dāng)于大約5 846億年．而地球的壽命最多還有100～150億年，我們看到僧侶們的預(yù)言竟然是正確的！從漢諾塔的游戲開始，經(jīng)歷了推理中的歸納推理和演繹推理，本章還將學(xué)習(xí)一個(gè)從特殊到特殊的類比推理，譬如我們可將平面中的勾股定理類比推廣到空間當(dāng)中．看教材第97頁(yè)小結(jié)中的知識(shí)結(jié)構(gòu)，這就是本章我們要學(xué)習(xí)的內(nèi)容．

設(shè)計(jì)意圖培育邏輯推理核心素養(yǎng)需要有活動(dòng)作為載體．通過(guò)動(dòng)手實(shí)驗(yàn)把所有圓盤都移到另一根柱子上，在小組探究和成果分享中，使學(xué)生了解在進(jìn)行歸納推理時(shí)，要搜集到一定的事實(shí)材料，有了個(gè)別性的、特殊性的知識(shí)作為前提，然后才能進(jìn)行歸納推理．著名數(shù)學(xué)家波利亞曾說(shuō)：“合情推理是冒險(xiǎn)的，有爭(zhēng)議的和暫時(shí)的”，通過(guò)費(fèi)馬猜想的反例告訴學(xué)生要養(yǎng)成“大膽猜想，小心求證”的嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度．

2.4 環(huán)節(jié)4：俯瞰全貌，加強(qiáng)“會(huì)學(xué)”指導(dǎo)

師(小結(jié))：本章怎么學(xué)呢？提兩點(diǎn)學(xué)習(xí)建議：第一，我們既要用合乎情理的推理大膽猜想和發(fā)現(xiàn)未知的結(jié)論，又要合理運(yùn)用數(shù)學(xué)證明的基本方法，對(duì)猜想的合理性進(jìn)行證明，從而養(yǎng)成言之有理、論證有據(jù)的習(xí)慣；第二，了解全章的知識(shí)結(jié)構(gòu)，能把書讀厚，又能把書讀薄，讀薄就是抓住本質(zhì)，抓住重點(diǎn)．最后，老師根據(jù)章引言的內(nèi)容，自編一首歌曲作為本節(jié)課的結(jié)束，讓我們愉快地開始本章的學(xué)習(xí)吧！

生(跟唱)：漢諾塔，真有趣，引領(lǐng)我們?yōu)g覽“推理與證明”全貌，動(dòng)手實(shí)驗(yàn)幾分鐘，歸納演繹顯本質(zhì)，醫(yī)生診斷病癥，警察偵破案情，專家預(yù)測(cè)天氣，考古推斷文物，大家論證命題，內(nèi)涵推理證明，都擋不住數(shù)學(xué)眼光看穿它呀，相互合作、披荊斬棘、同心協(xié)力，培育我們邏輯推理素養(yǎng)．

設(shè)計(jì)意圖“授之于魚，不如授之以漁，這與學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)的理念一致，‘會(huì)學(xué)’比‘學(xué)會(huì)’更重要”[3]．為了引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)本章知識(shí)，提出全章的知識(shí)結(jié)構(gòu)和學(xué)習(xí)建議．同時(shí)對(duì)學(xué)生進(jìn)行學(xué)法指導(dǎo)——“推理”要言之有理，“證明”要論證有據(jù)．根據(jù)章引言中的有關(guān)介紹，自編了一首歌曲，既能使學(xué)生了解本章學(xué)習(xí)內(nèi)容，又能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣．

3 教學(xué)反思

3.1 做好章引言的引導(dǎo)者，培育邏輯推理素養(yǎng)更科學(xué)

在平時(shí)的教學(xué)中，章引言往往容易被遺忘．沒(méi)有足夠的課時(shí)，內(nèi)容相對(duì)簡(jiǎn)單，種種理由讓我們對(duì)其視而不見、棄之不用．如何使學(xué)生對(duì)本章將要學(xué)習(xí)的內(nèi)容、結(jié)構(gòu)，甚至思想方法有一個(gè)大致的了解，發(fā)揮章引言的“導(dǎo)游圖”作用，應(yīng)從以下3個(gè)方面著手：

1)為何引．章引言位于每個(gè)章節(jié)的起始位置，言簡(jiǎn)意賅地介紹了本章節(jié)所涉及的內(nèi)容和思想方法，是章節(jié)內(nèi)容的高度概括，起著提綱挈領(lǐng)的作用.它可以使學(xué)生初步了解該章節(jié)的學(xué)習(xí)目標(biāo)、學(xué)習(xí)內(nèi)容和學(xué)習(xí)方法．章引言還結(jié)合學(xué)習(xí)內(nèi)容圖文并茂地展示相關(guān)的知識(shí)背景、數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)文化、現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用．豐富的材料可以開拓學(xué)生的數(shù)學(xué)視野，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)生對(duì)即將開始的學(xué)習(xí)內(nèi)容充滿期待．

本節(jié)課首先列舉了大量的生活實(shí)例，然后指出它們的關(guān)系與作用，再介紹本章的知識(shí)體系．這些材料可以讓學(xué)生感受推理與證明源于生活和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí).通過(guò)章引言教學(xué),學(xué)生不僅看到了知識(shí)的“來(lái)龍”，而且知道了它的“去脈”，了解了知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展過(guò)程，這將有助于學(xué)生克服畏難情緒，充滿自信地開始新知識(shí)的學(xué)習(xí)．

2)引什么．首先引發(fā)興趣啟發(fā)思考：教學(xué)的藝術(shù)不在于傳授本領(lǐng)，而在于激勵(lì)、喚醒、鼓舞．章引言是激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣、激活學(xué)生思維、鼓舞學(xué)生不斷追求新知、充分調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)主動(dòng)性的重要教學(xué)環(huán)節(jié)．其次引出主題指明方向：引出本章的主題，介紹即將學(xué)習(xí)的內(nèi)容，會(huì)涉及一些尚未學(xué)習(xí)的概念，此時(shí)沒(méi)有必要對(duì)這些新概念一一解釋，只需帶領(lǐng)學(xué)生粗略地展望新的學(xué)習(xí)內(nèi)容，了解概貌即可．當(dāng)然，除了教學(xué)內(nèi)容之外，更應(yīng)該盡力滲透學(xué)習(xí)方法、學(xué)習(xí)策略的指導(dǎo)，關(guān)注對(duì)學(xué)生思維、思想的引領(lǐng)，在開啟新篇章之際，引領(lǐng)學(xué)生入門．

本節(jié)課通過(guò)漢諾塔游戲引發(fā)興趣啟發(fā)思考，使學(xué)生經(jīng)歷從特殊到一般、再?gòu)囊话愕教厥獾倪^(guò)程，從而為后續(xù)學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)．同時(shí)課堂中豐富的生活實(shí)例和漢諾塔游戲的數(shù)學(xué)建模，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)的思維分析世界，用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)世界．

3)怎么引．設(shè)計(jì)切實(shí)可行、自然平順的章引言教學(xué)需要結(jié)合具體內(nèi)容，去提煉生活中的數(shù)學(xué)，去思考知識(shí)發(fā)生發(fā)展的邏輯，去洞悉學(xué)生思維的最近發(fā)展區(qū)．學(xué)習(xí)的關(guān)鍵在于學(xué)生的悟，但也離不開教師的引．

本節(jié)課第4個(gè)環(huán)節(jié)教師提出本章學(xué)習(xí)的兩點(diǎn)建議和自編歌曲的跟唱，目的是挖掘章引言的內(nèi)涵和價(jià)值，引發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，引導(dǎo)學(xué)生“會(huì)學(xué)”數(shù)學(xué)，引領(lǐng)學(xué)生在新的章節(jié)學(xué)習(xí)中探索遨游．

3.2 利用獨(dú)立成章優(yōu)勢(shì)，培育邏輯推理素養(yǎng)更完美

“推理與證明”獨(dú)立成章的設(shè)置，讓學(xué)生感受合情推理、演繹推理和數(shù)學(xué)證明在數(shù)學(xué)命題的發(fā)現(xiàn)、猜想與數(shù)學(xué)體系建構(gòu)中的重要作用，有利于學(xué)生掌握推理與證明的思維方法．

1)以游戲?yàn)橹骶€激發(fā)興趣為培育邏輯推理素養(yǎng)創(chuàng)造條件．湯姆遜語(yǔ):“數(shù)學(xué)不應(yīng)被想象為一種費(fèi)解而又違背常識(shí)的東西.實(shí)際上,數(shù)學(xué)正是常識(shí)的精微化.”數(shù)學(xué)由于是常識(shí)的精微化,它具有系統(tǒng)性強(qiáng)、抽象程度高的特點(diǎn)，因而本節(jié)課引入章頭圖中漢諾塔游戲貫穿始終，將本章推理與證明中涉及到的重要概念如合情推理、演繹推理包含其中．先提出漢諾塔傳說(shuō)中“預(yù)言會(huì)是真的嗎”這個(gè)問(wèn)題,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣;然后通過(guò)動(dòng)手實(shí)踐、小組合作，探究當(dāng)有n個(gè)圓盤時(shí)至少需要移動(dòng)的次數(shù)，學(xué)生在前面的鋪墊下很容易歸納出猜想的結(jié)論;最后又回到“預(yù)言會(huì)是真的嗎”的話題，寓教于樂(lè)的教學(xué)設(shè)計(jì)激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，為提升素養(yǎng)創(chuàng)造了條件．

2)用導(dǎo)圖引領(lǐng)思維為培育邏輯推理素養(yǎng)提供保障．在邏輯推理核心素養(yǎng)的形成過(guò)程中，學(xué)生能夠發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和提出命題,能掌握推理的基本形式，理解數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系，建構(gòu)知識(shí)框架,形成有論據(jù)、有條理、合乎邏輯的思維品質(zhì)，這些都離不開思維導(dǎo)圖的引領(lǐng)．本節(jié)課由淺入深，由簡(jiǎn)單到復(fù)雜，不斷深化，思維的導(dǎo)圖如圖2所示：

圖2

在提出猜想后沒(méi)有進(jìn)行嚴(yán)格證明猜想，因而舉了著名的費(fèi)馬猜想例子，說(shuō)明在大膽猜想的同時(shí)還要小心求證，這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)不會(huì)影響推理的完整性和知識(shí)的嚴(yán)密性．

為了總體把握知識(shí)體系，為后續(xù)學(xué)習(xí)作好準(zhǔn)備，在總結(jié)環(huán)節(jié)給出了本章的知識(shí)結(jié)構(gòu)的思維導(dǎo)圖(如圖3所示)：

圖3

3)處理好合情與演繹、推理與證明關(guān)系是培育邏輯推理素養(yǎng)的根本．長(zhǎng)期以來(lái)在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中一直強(qiáng)調(diào)其嚴(yán)謹(jǐn)性，過(guò)分渲染演繹推理的重要性而忽視了生動(dòng)活潑的合情推理， 使人們誤認(rèn)為數(shù)學(xué)就是一門純粹的演繹科學(xué)．事實(shí)上數(shù)學(xué)發(fā)展史中的每一個(gè)重要的發(fā)現(xiàn)，除演繹推理外，合情推理也起著重要作用．因此在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，既要強(qiáng)調(diào)思維的嚴(yán)密性和結(jié)果的正確性，也要重視思維的直覺(jué)探索性和發(fā)現(xiàn)性，即應(yīng)重視數(shù)學(xué)合情推理的合理性和必要性，從而達(dá)到“合情與演繹相輔相成，推理與證明相得益彰”的最高境界．

“推理與證明”章引言教學(xué)中培育邏輯推理素養(yǎng)，需要在實(shí)踐中勇于創(chuàng)新，不斷探索．只有教師運(yùn)用啟發(fā)性的教學(xué)設(shè)計(jì)，構(gòu)建高效的數(shù)學(xué)“推理”課堂，在趣味化的推理中優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì)、發(fā)展自主學(xué)習(xí)能力，才能讓學(xué)生滿懷樂(lè)趣與憧憬去開始新一章的學(xué)習(xí)．

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