● (溫州市第二十一中學(xué),浙江 溫州 325000)

2017-07-03

許光軍(1968-)，男，浙江溫州人，中學(xué)高級教師.研究方向數(shù)學(xué)教育.

推本溯源就式論式
——浙江省高考數(shù)列壓軸題的解題突破

●許光軍
(溫州市第二十一中學(xué),浙江 溫州 325000)

浙江省數(shù)學(xué)高考連續(xù)3年都以數(shù)列不等式的綜合題作為壓軸.文章剖析2017年浙江省數(shù)學(xué)高考的壓軸題，推本溯源，歸納出數(shù)列不等式的解題突破——就“式”論“式”，并用“就式論式”的思路突破浙江省近幾年的數(shù)列不等式壓軸題，為新一輪的高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)備考,提供一個啟迪思維、探究解法的視角.

數(shù)列壓軸題；就式論式；轉(zhuǎn)化變形

數(shù)列不等式綜合題是以數(shù)列知識為背景，以數(shù)列的通項(xiàng)、遞推公式、前n項(xiàng)和為載體，考查數(shù)列的構(gòu)造、求和、等價(jià)轉(zhuǎn)化以及不等式的證明.由于題目條件結(jié)構(gòu)簡明，知識交匯豐富，思維跨度較大，能力輻射面廣，思想方法滲透自然，具有較好的選拔功能，常常作為高考卷或模擬卷中的壓軸題出現(xiàn).

解答數(shù)列不等式綜合題，對學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和常用的數(shù)學(xué)思想方法應(yīng)用要求較高，相應(yīng)的題目難度也比較大.特別是近幾年的浙江省數(shù)學(xué)高考壓軸題，題目簡明單一，條件變形靈活，學(xué)生在解答時，不知從何入手.對于大多數(shù)學(xué)生來說，更多的是用不完全歸納法做一點(diǎn)淺層次地解答，甚至直接放棄，非?？上?筆者剖析浙江省近幾年的數(shù)列不等式的壓軸題，試圖以題目結(jié)論為目標(biāo)，就“式”論“式”，對題目條件進(jìn)行有針對性地轉(zhuǎn)化、變形，推本溯源，尋找這類數(shù)列不等式壓軸題的解題突破.

1 2017年浙江省高考壓軸題的“就式論式”

例1已知數(shù)列{xn}滿足：x1=1，xn=xn+1+ln(1+xn+1)(其中x∈N*),證明：當(dāng)n∈N*時，

1) 0

(2017年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第22題)

要證0

1.1 第1)小題的分析

要證明00且xn+1

xn-xn+1=ln(1+xn+1).

方法1分類討論

若xn+1=0，則xn=xn+1=0，與x1=1矛盾；

若xn+1<0，則xn-xn+1=ln(1+xn+1)<0，即xn+1>xn，從而xn+1>xn>…>x1=1，矛盾；

若xn+1>0，則xn-xn+1=ln(1+xn+1)>0，即xn+1

方法2直接應(yīng)用不等式

可得xn=xn+1+ln(1+xn+1)≤xn+1+xn+1=2xn+1，

從而

因?yàn)閤1=1,所以

又xn+1>0且xn-xn+1=ln(1+xn+1)>0,故0

1.2 第2)小題的分析

xn=xn+1+ln(1+xn+1)≥

1.3 第3)小題的分析

xn=xn+1+ln(1+xn+1)≤xn+1+xn+1=2xn+1,

從而

因?yàn)閤1=1,所以

即

從而

于是

故

2 “就式論式”突破2015年和2016年的高考壓軸題

下面以浙江省高考最近兩年的數(shù)列不等式壓軸題為例，進(jìn)一步說明“就式論式”的解題突破.

(2015年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第22題)

累加可得

因此

這是本題的難點(diǎn)所在，也是解答本題的關(guān)鍵.對比例1的解題過程，例2的變形更加靈活.

1)證明：|an|≥2n-1(|a1|-2)；

(2016年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第22題)

從而

于是

即

|an|≥2n-1(|a1|-2).

于是

即

|an|≤2.

評注累加是解決本題的關(guān)鍵.與例2相比，例3的條件變形沒有那么多樣，而是把條件的等價(jià)變形式向兩個方向累加，這是凸顯學(xué)生解題能力的亮點(diǎn).兩個小題，一正一反兩個方向，方法富有哲理，給人以茅塞頓開的啟迪.

3 2008年高考壓軸題的再“論式”

回看2008年浙江省數(shù)學(xué)高考壓軸題，如果用“就式論式”的視角來看，解題的突破口也非常自然可以找到.

1)an

2)Sn>n-2；

3)Tn<3.

(2008年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第22題)

2)要證Sn>n-2，將其變形為Sn-n>-2，即證

(a1-1)+(a2-1)+…+(an-1)>-2.

(a1-1)+ (a2-1)+…+(an-1)=

由第1)小題可知an<1,從而

于是Sn>n-2.

即

從而

找到解題的突破，于是

就式論式，向目標(biāo)靠近，尋求解題突破的本源.

由4年浙江省數(shù)學(xué)高考壓軸題分析可知：在數(shù)列不等式的求解中，數(shù)列求和、不等式的放縮等技巧僅僅是求解過程的某個環(huán)節(jié).高考中的數(shù)列壓軸題，更加注重能力立意，全方位地考查數(shù)學(xué)思維能力，面對這類試題，重復(fù)的題海訓(xùn)練往往感到乏力.在解題教學(xué)中，指導(dǎo)學(xué)生立足題目的結(jié)論，探究題目條件等價(jià)變形的方向，就式論式，推本溯源，才是一種有效的選擇.

從整個數(shù)學(xué)問題的求解來看，解題的本質(zhì)，就是從題目的條件到題目結(jié)論建立起邏輯聯(lián)系，平時在教學(xué)中常提的一些數(shù)學(xué)思想方法，都是達(dá)成這種聯(lián)系的必要工具，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)能力，具體體現(xiàn)在建立這種聯(lián)系的過程中.從這一點(diǎn)上來看，“就式論式”不僅僅是數(shù)列不等式的解題突破，也可以為新一輪高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)備考中“如何啟迪思維，怎樣提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)，探求解題本源”提供一個新的視角.

[1] 蔡小雄．更高更妙的高中數(shù)學(xué)思想與方法[M]．杭州：浙江大學(xué)出版社，2012.

[2] 盧明．穩(wěn)中求變 體現(xiàn)創(chuàng)新——2015年浙江數(shù)學(xué)高考理科數(shù)列試題評析[J]．中學(xué)教研(數(shù)學(xué))，2015(8)：23-27．

[3] 許光軍．如何從n=k到n=k+1[J]．高中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2008(10)：3-5．

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