李 靜， 李春旺， 張忠平

(空軍工程大學(xué) 理學(xué)院， 西安 710051)

考慮附加強(qiáng)化效應(yīng)的多軸穩(wěn)態(tài)循環(huán)塑性本構(gòu)模型

李 靜， 李春旺， 張忠平

(空軍工程大學(xué) 理學(xué)院， 西安 710051)

已有試驗(yàn)結(jié)果表明，非比例循環(huán)加載下應(yīng)變主軸連續(xù)旋轉(zhuǎn)，導(dǎo)致多滑移系開動，阻礙材料內(nèi)部形成穩(wěn)定的位錯結(jié)構(gòu)，使非比例加載下的應(yīng)力-應(yīng)變曲線高于比例加載下的應(yīng)力-應(yīng)變曲線，從而產(chǎn)生非比例附加強(qiáng)化現(xiàn)象. 由此，從應(yīng)力空間表述的塑性增量本構(gòu)模型一般形式出發(fā)，建立一個能夠反映非比例附加強(qiáng)化效應(yīng)的穩(wěn)態(tài)循環(huán)塑性本構(gòu)模型. 在Armstrong-Frederick模型背應(yīng)力演化方程的基礎(chǔ)上，新模型通過引入非比例度因子和附加強(qiáng)化系數(shù)，構(gòu)建了一個新的背應(yīng)力演化方程. 然后，通過一致性條件建立塑性模量方程與背應(yīng)力之間的關(guān)系. 同時，利用最小法向應(yīng)變范圍，提出一種計(jì)算非比例度因子的新方法，并針對一般的多軸加載情形，明確最小法向應(yīng)變范圍的計(jì)算步驟. 新模型從加載路徑和材料本身兩個方面來考慮非比例附加強(qiáng)化效應(yīng)的影響，克服Armstrong-Frederick模型中材料常數(shù)確定方法繁瑣，且通過單軸疲勞試驗(yàn)數(shù)據(jù)確定的材料常數(shù)不能很好地反映材料非比例附加強(qiáng)化現(xiàn)象的不足. 應(yīng)用新模型時，僅僅需要3個獨(dú)立的常規(guī)力學(xué)參量和2個疲勞參數(shù)，便于工程應(yīng)用. 利用多種多軸加載路徑下S460N鋼和304不銹鋼的試驗(yàn)結(jié)果對模型進(jìn)行驗(yàn)證，預(yù)測結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果吻合良好.

非比例附加強(qiáng)化；穩(wěn)態(tài)循環(huán)應(yīng)力應(yīng)變響應(yīng)；塑性本構(gòu)模型；非比例度因子；附加強(qiáng)化系數(shù)

多軸循環(huán)應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系是指材料在多軸載荷下應(yīng)力-應(yīng)變響應(yīng)的變化關(guān)系. 目前主要有兩種方法來描述這種變化關(guān)系[1]：一種是經(jīng)驗(yàn)公式法，另一種是循環(huán)本構(gòu)模型. 經(jīng)驗(yàn)公式法是基于全量理論來描述多軸循環(huán)應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系. 這種方法簡單、實(shí)用、方便. 但是，經(jīng)驗(yàn)公式法僅僅能較好地描述幾種典型多軸加載下的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系. 因此，各國研究者更多的是基于增量理論，利用循環(huán)本構(gòu)模型來描述材料的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系.

20世紀(jì)60年代以來，人們提出了眾多基于增量理論的循環(huán)本構(gòu)模型，但不論何種模型，大都由三個基本部分組成[2]：屈服準(zhǔn)則；流動規(guī)律；硬化規(guī)律. 對于屈服準(zhǔn)則和流動規(guī)律，各模型基本都相同. 而硬化規(guī)律隨著加載方式的逐漸復(fù)雜，被不斷修正，從最初的線性硬化規(guī)律逐漸發(fā)展到非線性硬化規(guī)律. Armstrong等[3](A-F模型)在隨動強(qiáng)化律的基礎(chǔ)上，通過引入一個動態(tài)恢復(fù)項(xiàng)使隨動強(qiáng)化率具有非線性特征，建立了著名的動力恢復(fù)模型. Chaboche等[4]提出非線性硬化規(guī)律可以用一系列的背應(yīng)力分量來表示，對A-F模型進(jìn)行修正. 楊顯杰等[5]定義材料的屈服面和極限面分別遵循不同的演化規(guī)律，通過引入加載路徑的非比例度，提出一個可考慮材料循環(huán)強(qiáng)化/軟化效應(yīng)、塑性應(yīng)變歷史效應(yīng)和非比例循環(huán)加載效應(yīng)的雙曲面模型. D?ring等[6]分析發(fā)現(xiàn)Jiang模型[7]不能很好的反映材料的非比例附加強(qiáng)化現(xiàn)象，通過引入Tanaka非比例度因子[8]，對Jiang模型進(jìn)行修正. Khutia等[9]也通過引入Tanaka非比例度因子[8]對Chen等修正的Ohno-Wang模型[10]進(jìn)行了進(jìn)一步修正，并利用304不銹鋼的試驗(yàn)結(jié)果對修正模型進(jìn)行驗(yàn)證. Meggiolaro等[11]對Tanaka非比例度因子進(jìn)行瞬態(tài)響應(yīng)修正，并引入到Jiang模型中，較好地描述了316L不銹鋼的非比例附加強(qiáng)化現(xiàn)象. Gates等[12]基于Tanaka非比例度因子提出一個新的瞬態(tài)硬化準(zhǔn)則，并利用該準(zhǔn)則對Zhang-Jinag模型[13]進(jìn)行修正，修正模型較好地描述多種復(fù)雜載荷路徑下2024-T3鋁合金的非比例附加強(qiáng)化現(xiàn)象. Wu等[14]利用Tanaka非比例度因子[8]，在退化的2維偏應(yīng)力-應(yīng)變空間中量化了塑性應(yīng)變對廣義塑性模量的影響，所建多軸本構(gòu)關(guān)系可以體現(xiàn)三種強(qiáng)化效應(yīng). Shamsaei等[15]利用304L不銹鋼和1050QT合金鋼系統(tǒng)研究了多種復(fù)雜非比例加載路徑下材料的附加強(qiáng)化效應(yīng)，通過驗(yàn)證發(fā)現(xiàn)Tanaka非比例度因子[10]可較好地反映材料的非比例附加強(qiáng)化現(xiàn)象. 雖然Tanaka非比例度因子應(yīng)用較為廣泛，但是該因子中的材料常數(shù)需要借助相關(guān)多軸疲勞試驗(yàn)予以確定[16].

Itoh等[17]引入一個新的非比例度因子，建立一個新的循環(huán)本構(gòu)模型，該模型可以描述材料的非比例附加強(qiáng)化現(xiàn)象，且只含有6個材料常數(shù)，便于計(jì)算. 但是，利用多種復(fù)雜多軸加載下6061-T6鋁合金的試驗(yàn)結(jié)果對模型進(jìn)行驗(yàn)證發(fā)現(xiàn)，模型中的附加強(qiáng)化系數(shù)對模型的計(jì)算精度影響較大，而合理地確定附加強(qiáng)化系數(shù)，就需要借助材料的多軸疲勞試驗(yàn)數(shù)據(jù)，給模型的進(jìn)一步應(yīng)用帶來不便. Kowalewski等[18]建立一個三曲面本構(gòu)模型，并利用新模型較好地描述了2024鋁合金的單/多軸應(yīng)力-應(yīng)變響應(yīng). 但是，該模型的材料常數(shù)較多且大多需要借助試驗(yàn)予以確定，而Kowalewski等[18]未給出這些材料常數(shù)的具體確定方法. Madrigal等[19]通過定義應(yīng)力空間相鄰加載點(diǎn)的距離方程，建立一個新的多軸本構(gòu)模型. 但是，該距離方程也需要借助多軸疲勞試驗(yàn)予以確定. 概括來講，對于建立在A-F模型[3]基礎(chǔ)上，塑性模量通過一致性條件得到的耦合類本構(gòu)模型，至少存在以下三方面的問題：模型中材料參數(shù)較多，計(jì)算繁瑣；需要較多的附加單軸及多軸疲勞試驗(yàn)來確定模型中的材料常數(shù)；模型過于復(fù)雜，不利于工程應(yīng)用.

為克服現(xiàn)有本構(gòu)模型的上述缺點(diǎn)，本文在A-F模型背應(yīng)力演化方程的基礎(chǔ)上，通過引入非比例度因子和附加強(qiáng)化系數(shù)，構(gòu)建一個新的背應(yīng)力演化方程. 然后，通過一致性條件建立塑性模量方程與背應(yīng)力之間的關(guān)系. 同時，利用最小法向應(yīng)變范圍，提出一種計(jì)算非比例度因子的新方法. 利用多種多軸加載路徑下S460N鋼和304L不銹鋼的試驗(yàn)結(jié)果對模型進(jìn)行了驗(yàn)證，預(yù)測結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果吻合良好.

1 多軸循環(huán)本構(gòu)模型的描述

一個完整的循環(huán)塑性本構(gòu)模型一般由屈服準(zhǔn)則、流動規(guī)律和硬化規(guī)律三部分組成. 在彈性范圍內(nèi)，應(yīng)力可利用Hooke定律由應(yīng)變確定，但在循環(huán)塑性變形過程中，應(yīng)力-應(yīng)變?nèi)Q于加載歷史，應(yīng)力-應(yīng)變通常利用增量理論來確定.

1.1屈服準(zhǔn)則

對于復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)，材料是否進(jìn)入塑性狀態(tài)，一方面和這些應(yīng)力分量有關(guān)，另一方面與材料的力學(xué)性能有關(guān). 就大多數(shù)金屬材料而言，恒溫下受到循環(huán)加載時，應(yīng)當(dāng)主要考慮加載歷史對應(yīng)力-應(yīng)變響應(yīng)的影響. 本文定義屈服條件服從von-Mises屈服準(zhǔn)則

Fi(s,α,k)=(s-α):(s-α)-2k2.

(1)

式中:s為偏應(yīng)力張量，α為背應(yīng)力張量，k為單剪狀態(tài)下的屈服強(qiáng)度，張量之間的“：”表示張量的點(diǎn)積.

1.2流動規(guī)律

根據(jù)小變形理論，總應(yīng)變增量dεt由彈性應(yīng)變增量dεe和塑性應(yīng)變增量dεp兩部分組成

dεt=dεe+dεp.

(2)

式中彈性應(yīng)變增量dεe可由Hooke定律求得

(3)

式中：E為彈性模量，νe為彈性泊松比，dσ為應(yīng)力增量張量，I為二階單位張量. 塑性應(yīng)變增量dεp可由流動規(guī)律求得[2, 7]：

(4)

其中:

(5)

(6)

(7)

(8)

式中：“〈〉”為MacCauley括號，“‖‖”為張量函數(shù)的模，de為偏彈性應(yīng)變增量，G為剪切模量.

由式(4)可知，當(dāng)ds:n>0時，材料產(chǎn)生塑性變形. 由式(4)～(8)，可得

(9)

對于控制應(yīng)力加載，塑性應(yīng)變增量可用式(4)進(jìn)行計(jì)算. 對于控制應(yīng)變加載，與式(4)相比，塑性應(yīng)變增量利用式(9)進(jìn)行計(jì)算更為方便.

1.3硬化規(guī)律

Jiang等[20]將A-F模型中的背應(yīng)力演化方程重新表述為

(10)

式中c和r都是材料常數(shù).

在A-F模型中，材料常數(shù)c和r的確定方法繁瑣，而且在非比例加載下，利用單軸疲勞試驗(yàn)數(shù)據(jù)確定的材料常數(shù)并不能很好地反映材料的附加強(qiáng)化現(xiàn)象. 為此，本文引入附加強(qiáng)化系數(shù)和非比例度因子對A-F模型的背應(yīng)力演化方程進(jìn)行進(jìn)一步修正.

Socie等[2]指出，多軸加載下，材料的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系可用Ramberg-Osgood公式為

σeq=(1+αnpfnp)K′(εeq,p)n′.

(11)

此時，材料的塑性模量為

(12)

式中：σeq為von-Mises等效應(yīng)力，εeq,p為von-Mises等效塑性應(yīng)變，K′為循環(huán)強(qiáng)度系數(shù)，n′為循環(huán)應(yīng)變硬化指數(shù)，fnp為非比例度因子. 附加強(qiáng)化系數(shù)αnp定義為[1]

(13)

將式(10)代入式(5)，可得

(14)

由式(14)中求出cr后代入式(10)，可得

p.

(15)

將式(12)代入式(15)，可得背應(yīng)力演化方程為

(16)

試驗(yàn)驗(yàn)證發(fā)現(xiàn)，當(dāng)r取值遠(yuǎn)大于材料的屈服面半徑時，r取值對材料應(yīng)力-應(yīng)變響應(yīng)的計(jì)算結(jié)果影響不大. 因此，本文中將材料常數(shù)r取為K′.

根據(jù)一致性條件可知，單軸循環(huán)加載下，式(16)確定的塑性模量方程退化為由Ramberg-Osgood曲線確定的單軸塑性模量方程.

1.4非比例度因子

用K′代替式(16)中的材料常數(shù)r后，除了K′和n′，式(16)中不含有額外的材料常數(shù). 但是，在計(jì)算過程中，需要確定不同加載路徑下的非比例度因子fnp，以反映加載路徑非比例程度對材料循環(huán)應(yīng)力-應(yīng)變的影響. 因此，進(jìn)一步建立fnp的計(jì)算公式.

拉扭加載下，與薄壁圓管試件軸向夾角為α的平面上的法向應(yīng)變εn,α和剪切應(yīng)變γα分別為[21]：

(17)

γα=-(1+νeff)εxsin 2α+γxycos 2α.

(18)

式中νeff為等效泊松比，可將其取為0.5[2].

以正弦波加載為例，在控制應(yīng)變下對薄壁圓管試件施加的軸向應(yīng)變εx和剪切應(yīng)變γxy為：

(19)

(20)

式中:Δεapp和Δγapp分別為施加的軸向和剪切應(yīng)變范圍，φ為載荷間的相位差.

由式(17)～(20)可得，與薄壁圓管試件軸向夾角為α的平面上的法向應(yīng)變范圍Δεn,α和剪切應(yīng)變范圍Δγα分別為[21]：

νeff)cos2α-2νeff+λsin 2αcosφ]2}0.5,

(21)

Δγα=Δεapp{[λcos 2αsinφ]2+[λcos 2αcosφ-(1+νeff)sin 2α]2}0.5.

(22)

式中λ(=Δγapp/Δεapp)為應(yīng)變比.

(23)

圖1 不同相位差下各平面的法向應(yīng)變范圍(正弦波)

Fig.1 The normal strain range,Δεn,α, of each plane under different phase delays (sinusoidal wave)

當(dāng)加載波形為正弦波且軸向應(yīng)變εx和剪切應(yīng)變γxy的加載頻率相同時，可直接利用式(21)和式(23)來計(jì)算加載路徑的fnp. 對于一般的多軸加載情形，利用式(23)計(jì)算fnp的具體步驟如下：

1)根據(jù)輸入的軸向應(yīng)變εx和剪切應(yīng)變γxy，確定加載路徑形狀；

圖2 非比例度因子fnp隨應(yīng)變比λ的變化

Fig.2 Correlation between the nonproportionality factor,fnp, and the strain ratio,λ

2)對于一個加載周期，以微小的時間步長Δt，將εx和γxy進(jìn)行離散；

3)計(jì)算不同時刻，第i個平面(αi)上的法向應(yīng)變：

(24)

式中q表示一個循環(huán)內(nèi)離散的載荷步數(shù).

4)計(jì)算第i個平面(αi)上的法向應(yīng)變范圍：

Δεn,αi=max(εn,αi(j))-min(εn,αi(j)).

(25)

5)讓i在 [0°, 180°)內(nèi)以1°為步長變化，計(jì)算各平面上的法向應(yīng)變范圍. 比較各平面上法向應(yīng)變范圍的大小，確定最小法向應(yīng)變范圍(Δεn,α)min的值；

6)利用式(21)計(jì)算相同等效應(yīng)變時，圓路徑加載對應(yīng)的最小法向應(yīng)變范圍，即max((Δεn,α)min)；

7)利用式(23)計(jì)算加載路徑的fnp.

圖3 不同相位差下各平面的法向應(yīng)變范圍(三角波)

Fig.3 The normal strain range,Δεn,α, of each plane under different phase delays (triangle wave)

由圖3可見，三角波加載時，相同等效應(yīng)變、不同相位差下的最小法向應(yīng)變范圍((Δεn,α)min)仍然隨著相位差的增大而增大，與正弦波加載時觀察到的現(xiàn)象一致. 因此，利用(Δεn,α)min描述加載路徑的非比例度是合理的.

為進(jìn)一步驗(yàn)證本文所提方法合理性，利用式(23)計(jì)算文獻(xiàn)[25]中14種加載路徑(具體加載路徑形狀見文獻(xiàn)[25])的非比例度因子，并將計(jì)算值與測量值的對比列于圖4. 由圖4可見，所提方法可以較好的計(jì)算加載路徑的非比例度因子.

圖4 非比例度因子計(jì)算值與測量值的對比

2 試驗(yàn)驗(yàn)證

選用文獻(xiàn)[25-26]中S460N鋼和304不銹鋼在不同加載路徑下穩(wěn)態(tài)應(yīng)力-應(yīng)變響應(yīng)的試驗(yàn)數(shù)據(jù)來驗(yàn)證所建循環(huán)塑性本構(gòu)模型的預(yù)測精度和可靠性.

2.1S460N鋼

圖5 8種多軸加載路徑[26]

圖6顯示的是非比例圓路徑和比例加載路徑(包括單軸和純扭轉(zhuǎn)加載)下，S460N鋼的等效應(yīng)力-等效應(yīng)變關(guān)系. 由圖6可見，非比例加載路徑下S460N鋼存在附加強(qiáng)化現(xiàn)象. 根據(jù)附加強(qiáng)化系數(shù)αnp的定義(式(13))，由圖6可以確定S460N鋼的αnp為0.3. 利用式(23)計(jì)算得到各加載路徑下的fnp見表1.

圖6比例(包括單軸和純扭轉(zhuǎn))和非比例加載下S460N鋼的多軸循環(huán)力學(xué)行為[26]

Fig.6 Multiaxial cyclic behavior of S460N steel under proportional (including uniaxial and torsional) and non-proportional loadings[26]

表1 各加載路徑下的fnp

不同加載路徑下S460N鋼穩(wěn)態(tài)循環(huán)應(yīng)力-應(yīng)變響應(yīng)的試驗(yàn)結(jié)果與預(yù)測結(jié)果的比較見圖7. 由圖7可見不同加載路徑下，模型的預(yù)測結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果吻合較好，表明通過引入非比例度因子和附加強(qiáng)化系數(shù)來反映材料的非比例附加強(qiáng)化效應(yīng)是合理的.

圖7 S460N鋼穩(wěn)態(tài)應(yīng)力-應(yīng)變響應(yīng)試驗(yàn)結(jié)果與預(yù)測結(jié)果的比較(εa=0.173% and γa=0.3%)

2.2304不銹鋼

對于圖5中加載路徑D、E和F，304不銹鋼穩(wěn)態(tài)循環(huán)應(yīng)力-應(yīng)變響應(yīng)的試驗(yàn)結(jié)果與預(yù)測結(jié)果的比較見圖8. 由圖8可見，不同加載路徑下，模型的預(yù)測結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果吻合良好.

圖8 304不銹鋼穩(wěn)態(tài)應(yīng)力-應(yīng)變響應(yīng)試驗(yàn)結(jié)果與預(yù)測結(jié)果的比較(εa=0.4% and γa=0.695%)

3 討 論

大量試驗(yàn)結(jié)果表明，在相同等效應(yīng)變下，構(gòu)件非比例加載路徑下的疲勞壽命要遠(yuǎn)小于比例加載路徑下的疲勞壽命. 從微觀角度講，非比例加載路徑下應(yīng)變主軸連續(xù)旋轉(zhuǎn)，導(dǎo)致多滑移系開動，阻礙材料內(nèi)部形成穩(wěn)定的位錯結(jié)構(gòu)，從而產(chǎn)生非比例附加強(qiáng)化現(xiàn)象，這是導(dǎo)致非比例加載下疲勞壽命降低的主要原因[28]. 因此，為合理的預(yù)測構(gòu)件的疲勞壽命，在模擬材料的應(yīng)力-應(yīng)變響應(yīng)時，需要考慮非比例附加強(qiáng)化效應(yīng)的影響. 本文所建模型中，通過引入非比例度因子和附加強(qiáng)化系數(shù)，從加載路徑和材料本身兩個方面來考慮非比例附加強(qiáng)化效應(yīng)的影響.

由前面的分析可知，在計(jì)算過程中，本文利用S460N鋼多軸圓路徑和比例加載路徑下的試驗(yàn)結(jié)果來計(jì)算材料的附加強(qiáng)化系數(shù). 在缺少試驗(yàn)數(shù)據(jù)的情況下，為了仍然可以利用所建模型模擬材料的穩(wěn)態(tài)應(yīng)力-應(yīng)變響應(yīng)，需要建立附加強(qiáng)化系數(shù)的估算公式. Borodii等[29]通過分析25種材料的試驗(yàn)結(jié)果，建立如下經(jīng)驗(yàn)公式來計(jì)算材料的附加強(qiáng)化系數(shù)：

.

(26)

式中Su和Sy分別是材料的抗拉強(qiáng)度和屈服強(qiáng)度. 由上式可知，在缺少試驗(yàn)數(shù)據(jù)時，利用材料的抗拉強(qiáng)度和屈服強(qiáng)度就可以對附加強(qiáng)化系數(shù)進(jìn)行估算.

材料手冊中容易查找到材料的常規(guī)力學(xué)參量，但是對于循環(huán)強(qiáng)度系數(shù)K′和循環(huán)應(yīng)變硬化指數(shù)n′，很多材料在手冊中并未給出. 為解決這一問題，Li等[30]利用121種合金鋼的試驗(yàn)數(shù)據(jù)建立了K′和n′的估算公式：

(27)

(28)

式中ψ為材料的斷面收縮率.

圖9 r取值對路徑C預(yù)測結(jié)果的影響

Fig.9 The predicted stress response for Path C, showing the influence ofr

根據(jù)上述估算公式(式(26)～(28))，在缺少試驗(yàn)數(shù)據(jù)時，僅僅利用常規(guī)力學(xué)參量即可由本文所建本構(gòu)模型來模擬多軸載荷下材料的穩(wěn)態(tài)循環(huán)應(yīng)力-應(yīng)變響應(yīng)，便于工程應(yīng)用.

4 結(jié) 論

1)建立一個新的考慮非比例附加強(qiáng)化效應(yīng)的穩(wěn)態(tài)循環(huán)塑性本構(gòu)模型. 應(yīng)用新模型時，僅僅需要3個獨(dú)立的常規(guī)力學(xué)參量和2個疲勞參數(shù). 而且，在缺少疲勞試驗(yàn)數(shù)據(jù)時，結(jié)合文獻(xiàn)[29-30]中的估算公式，僅僅利用常規(guī)力學(xué)參量便可由所建模型來模擬多軸載荷下材料的穩(wěn)態(tài)循環(huán)應(yīng)力-應(yīng)變響應(yīng)，便于工程應(yīng)用.

2)新模型中引入的非比例度因子和附加強(qiáng)化系數(shù)，從加載路徑和材料本身兩個方面來考慮非比例附加強(qiáng)化效應(yīng)對穩(wěn)態(tài)循環(huán)應(yīng)力-應(yīng)變響應(yīng)的影響.

3)利用最小法向應(yīng)變范圍，提出一種計(jì)算加載路徑非比例程度的新方法. 該方法克服了利用載荷間相位差無法描述相位差相同，應(yīng)變比不同時加載路徑非比例程度的不足.

需要說明的是，所建模型適用于塑性不可壓金屬材料小變形范圍內(nèi)的穩(wěn)態(tài)循環(huán)應(yīng)力-應(yīng)變響應(yīng)特性分析，并假設(shè)材料為各向同性且處于自然無變形狀態(tài).

[1] SHAMSAEI N, FATEMI A. Effect of microstructure and hardness on non-proportional cyclic hardening coefficient and predictions[J]. Materials Science and Engineering A, 2010, 527: 3015-3024. DOI:10.1016/j.msea.2010.01.056.

[2] SOCIE D, MARQUIS G. Multiaxial fatigue[M].Warrendale: Society of Automotive Engineers Inc., 2000: 53-67.

[3] ARMSTRONG P J, FREDERICK C O. A mathematicalrepresentation of the multiaxial Bauschinger effect: RD/B/N731 [R]. Berkely: Central Electricity Generating Board, Berkely Nuclear Laboratories, 1966.

[4] CHABOCHE J L. On some modifications of kinematic hardening to improvethe description of ratcheting effects [J]. International Journal of Plasticity, 1991, 7: 661-678.

[5] 楊顯杰, 高慶, 孫訓(xùn)方. 循環(huán)塑性雙曲面多軸本構(gòu)模型研究[J]. 力學(xué)學(xué)報, 1993, 25(5): 569-574.

YANG Xianjie, GAO Qing, SUN Xunfang. A study on twosurface multiaxial constitutive model of cyclic plasticity [J]. Acta Mechanica Sinica, 1993, 25(5): 569-574 (in Chinese).

[6] DORING R, HOFFMEYER J, SEEGER T, et al. A plasticity model for calculating stress-strain sequences under multiaxial nonproportional cyclic loading [J].Computational Materials Science,2003,28:587-596. DOI:10.1016/j.commatsci.2003.08.015.

[7] JIANG Y, SEHITOGLU H. Modeling of cyclicratcheting plasticity, Part I: Development of constitutive relations[J]. Journal of Applied Mechanics, 1996, 63: 720-725.

[8] TANAKA E. A nonproportionality parameter and a cyclic viscoplastic constitutive model taking into account amplitude dependence and memory effects of isotropic hardening [J]. European Journal of Mechanics A/Solids, 1994, 13: 155-173.

[9] KHUTIA N, DEY P P, HASSAN T. An improved nonproportional cyclic plasticity model for multiaxial low-cycle fatigue and ratchetingresponses of 304 stainless steel[J]. Mechanics of Materials,2015, 91: 12-25. DOI: 10.1016/j.mechmat.2015.05.011.

[10]CHEN X, JIAO R. Modified kinematic hardening rule for multiaxial ratcheting prediction[J].International Journal of Plasticity, 2004, 20: 871-898. DOI:10.1016/j.ijplas.2003.05.005.

[11]MEGGIOLARO M A, WU H, CASTRO J T P. Nonproportional hardening models for predicting mean and peak stress evolution in multiaxial fatigue using Tanaka’s incremental plasticity concepts [J]. International Journal of Fatigue, 2016, 82: 146-157. DOI:10.1016/j.ijfatigue.2015.07.027.

[12]GATES N R, FATEMI A. A simplified cyclic plasticity model for calculating stress-strain response under multiaxial nonproportional loading[J].European Journal of Mechanics A/Solids,2016,59:344-355. DOI:10.1016/j.euromechsol.2016.05.001.

[13]ZHANG J. JIANG Y. Constitutive modeling of cyclic plasticity deformation of a pure polycrystalline copper[J]. International Journal of Plasticity,2008,24(10):1890-1915.DOI:10.1016/j.ijplas. 2008.02.008.

[14]WU H, MEGGIOLARO M A, CASTRO J T P. Computational implementation of a non-linear kinematic hardening formulation for tension-torsion multiaxial fatiguecalculations[J]. International Journal of Fatigue,2016,91:304-312. doi:10.1016/ j.ijfatigue.2016.01.005.

[15]SHAMSAEI N, FATEMI A, SOCIE D F. Multiaxial cyclic deformation and non-proportional hardening employing discriminating load paths [J].International Journal of Plasticity, 2010, 26: 1680-1701. DOI:10.1016/j.ijplas.2010.02.006.

[16]KRISHNA S, HASSAN T, NACEURI B, et al. Macro versus micro-scale constitutive models in simulating proportional and nonproportional cyclic and ratcheting responses of stainless steel 304[J]. International Journal of Plasticity, 2009, 25: 1910-1949. DOI: 10.1016/j.ijplas.2008.12.009.

[17]ITOH T, KAMEOKA M, OBATAYA Y. A new model for describing astable cyclic stress-strain relationship under nonproportional loading on activation state of slip systems [J]. Fatigue & Fracture of Engineering Materials and Structures, 2004,27:957-967. DOI:10.1111/j.1460-2695.00818.x.

[18]KOWALEWSKI Z L, SZYMCZAK T, MACIEJEWSKI J. Material effects during monotonic-cyclic loading [J]. International Journal of Solids and Structures, 2014, 51: 740-753. DOI: 10.1016/j.ijsolstr.2013.10.040.

[19]MADRIGAL C, NAVARRO A, CHAVES V. Biaxial cyclic plasticity experiments and application of a constitutive model forcyclically stable material behaviour[J]. International Journal of Fatigue,2016,83:240-252. DOI:10.1016/j.ijfatigue.2015.10.019.

[20]JIANG Y, KURATH P. Characteristics of the Armstrong Frederick type plastic models[J].International Journal of Plasticity, 1996, 12(3): 387-415.

[21]LI J, LI C W, QIAO Y J, et al.Fatigue life prediction for some metallic materials under constant amplitude multiaxial loading [J]. International Journal of Fatigue, 2014, 68: 10-23. DOI:10.1016/j.i jfatigue.2014.06.009.

[22]ELLYIN F, XIA, Z. A rate-independent constitutive model for transient nonproportional loading [J]. Journal of Mechanics of Physics and Solids, 1989, 37: 71-91.

[23]KANAZAWA K, MILLER K J, BROWN M W. Low cycle fatigue under out of phase loading conditions [J]. Journal of Engineering Materials and Technology, 1977, 99: 222-228.

[24]BENALLAL A, MARQUIS D. Constitutive equations for non-proportional cyclic elasto-viscoplasticity [J]. Journal of Engineering Materials and Technology, 1987, 109: 326-336.

[25]ITOH T, SAKANE M, OHNAMI M, et al. Non-proportional low cycle fatigue criterion for type 304 stainless steel [J]. Journal of Engineering Materials and Technology, 1995, 117: 285-292.

[26]HOFFMEYER J, DORING R, SEEGER T, et al. Deformation behaviour, short crack growth and fatigue lives under multiaxial nonproportional loading [J].International Journal of Fatigue, 2006, 28: 508-520. DOI:10.1016/j.ijfatigue.2005.05.014.

[27]JIANG Y, OTT W, BAUM C, et al.Fatigue life predictions by integrating EVICD fatigue damage model and an advanced cyclic plasticity theory [J]. International Journal of Plasticity, 2009, 25: 780-801. DOI:10.1016/j.ijplas.2008.06.007.

[28]朱正宇, 何國球, 張衛(wèi)華,等. 非比例載荷下多軸疲勞微觀機(jī)理的研究進(jìn)展[J]. 同濟(jì)大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版), 2006, 34(11): 1510-1514.

ZHU Zhengyu, HE Guoqiu, ZHANG Weihua, et al. Recent advances in micromechanisms of multiaxial fatigue under nonproportional loading [J]. Journal of Tongji University (Natural Science), 2006, 34(11): 1510-1514.

[29]BORODII M V, SHUKAEV S M. Additional cyclic strain hardening and its relation to materialstructure, mechanical characteristics, and lifetime [J]. International Journal of Fatigue, 2007, 29: 1184-1191. DOI:10.1016/j.ijfatigue.2006.06.014.

[30]LI J, ZHANG Z P, LI CW. An improved method for estimation of Ramberg-Osgood curves of steels from monotonic tensile properties [J]. Fatigue & Fracture of Engineering Materials and Structures, 2016, 39: 412-426. DOI: 10.1111/ffe.12366.

Plasticconstitutivemodelformultiaxialstabilizedcyclicstress-strainresponseconsideringadditionalhardeningeffects

LI Jing, LI Chunwang, ZHANG Zhongping

(The Science Institute, Air Force Engineering University, Xi’an 710051, China)

Existing test results show that the continuous rotation of principal strain axis in cyclic deformation leading to actuation of multi-slip systems which hinders the forming of stable dislocation substructures inside the material, during nonproportional cyclic loading. As a result, the stress response under nonproportional loading will be larger than that under proportional loading. In other words, the material shows additional hardening upon nonproportional cycling. Therefore, a new constitutive model for modeling stabilized cyclic stress-strain response is proposed to consider the effect of nonproportional additional hardening based on the general form of stress-space incremental plasticity relation. In the hardening rule of the proposed model, the evolution of the back stress is simulated by introducing the nonproportionality factor,fnp, and the additional hardening coefficient,αnp, into the basic Armstrong-Frederick model. The consistency condition is enforced to obtain the relationship between the back stress and plastic modulus. Besides, a new algorithm is proposed to calculate the nonproportionality factor on the basis of the minimum normal strain range. Procedures to determine the minimum normal strain range are presented for the general multiaxial loadings. In the proposed model, the effect of nonproportional additional hardening is reflected by introducingfnpandαnp, not only on the shape of the loading path, but also on the material and its microstructure. Meanwhile, the two drawbacks of the Armstrong-Frederick model are overcome. The proposed model requires only five material constants for estimating the stabilized response. Comparisons between test results of S460N steel and 304 stainless steel and model predictions under various loading paths show that the proposed model predicts relatively accurate stress responses under both proportional and nonproportional loading paths.

nonproportional additional hardening; stabilized cyclic stress-strain response; plastic constitutive model; nonproportionality factor; additional hardening coefficient

10.11918/j.issn.0367-6234.201612058

O344

A

0367-6234(2017)11-0143-08

2016-12-12

國家自然科學(xué)基金(51601221, 51575524)；陜西省自然科學(xué)基礎(chǔ)研究計(jì)劃(2015JM5240)；空軍工程大學(xué)理學(xué)院博士科研啟動資金

李 靜(1985—)，男，博士，講師

李 靜，lijing02010303@163.com

(編輯苗秀芝)