周 武, 陸征一

(1. 西南民族大學(xué) 計算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院, 四川 成都 610041; 2. 四川師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與軟件科學(xué)學(xué)院, 四川 成都 610066)

三維Lotka-Volterra系統(tǒng)的全局扇形穩(wěn)定性

周 武1, 陸征一2

(1. 西南民族大學(xué) 計算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院, 四川 成都 610041; 2. 四川師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與軟件科學(xué)學(xué)院, 四川 成都 610066)

將Volterra-Lyapunov矩陣穩(wěn)定性蘊(yùn)含全局扇形穩(wěn)定的結(jié)論推廣到三維情形,得到了Volterra-Lyapunov矩陣半穩(wěn)定性蘊(yùn)含全局扇形穩(wěn)定.

Volterra-Volterra半穩(wěn)定; 邊界平衡點; 全局穩(wěn)定性

考慮如下Lotka-Volterra系統(tǒng)

(1)

關(guān)于此系統(tǒng)正平衡點的存在性及其全局穩(wěn)定性,特別是在相互作用矩陣A=(aij)n×n的Volterra-Lyapunov穩(wěn)定性和平衡點的局部穩(wěn)定下,對于鏈型系統(tǒng)[1-4]、環(huán)形系統(tǒng)[4-5]和一般系統(tǒng)[1,6-7]的全局穩(wěn)定性研究已經(jīng)有很多結(jié)果,這些問題的解決最終都化為LaSalle不變集的確定,一旦其LaSalle不變集得到確定[1,7],就可得到系統(tǒng)的全局動力學(xué)行為.

本文利用Volterra-Lyapunov函數(shù),將邊界平衡點的穩(wěn)定性問題化為系統(tǒng)對應(yīng)的LaSalle不變集的確定問題,通過分析其LaSalle不變集的結(jié)構(gòu),得到系統(tǒng)的全局扇形穩(wěn)定性.

考慮三維系統(tǒng)

(2)

為了討論扇形穩(wěn)定性,本文給出幾個相互作用矩陣的穩(wěn)定性概念.

定義2[7]矩陣A稱為是Volterra-Lyapunov穩(wěn)定的,如果存在正對角矩陣C,使得CA+ATC負(fù)定.

定義3[1]矩陣A稱為是Volterra-Lyapunov半穩(wěn)定的,如果存在正對角矩陣C,使得CA+ATC半負(fù)定.

對于Lotka-Volterra系統(tǒng)正平衡點的全局穩(wěn)定性來說,相互作用矩陣A為Volterra-Lyapunov穩(wěn)定是充分的[1,6-7].而A為Volterra-Lyapunov半穩(wěn)定是不夠的,還需要矩陣的結(jié)構(gòu)或平衡點的局部漸進(jìn)穩(wěn)定性作為附加條件[3,7].

例1

(3)

1 主要結(jié)果

(4)

又因為A為Volterra-Lyapunov半穩(wěn)定的,故存在正對角矩陣C=diag(c1,c2,c3),使得Volterra-Lyapunov函數(shù)

V(x)=c1x1+c2(x2-lnx2)+c3(x3-lnx3)

滿足

(5)

(6)

(7)

(8)

情況3當(dāng)秩(B)=1時,不妨設(shè)

當(dāng)b12=b13=0時,x1=0,故有

(9)

代入(4)式有

(10)

綜上,定理得證.

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Global Sector Stability for Three-dimensional Lotka-Volterra Systems

ZHOU Wu1, LU Zhengyi2

(1.SchoolofComputerScienceandTechnology,SouthwestUniversityforNationalities,Chengdu610041,Sichuan;2.CollegeofMathematicsandSoftwareScience,SichuanNormalUniversity,Chengdu610066,Sichuan)

The global stability for a positive equilibrium of a three-species Lotka-Volterra system is generalized to the global stability for a nonnegative equilibrium under the Volterra-Lyapunov stability for the interaction matrix of the system.

Volterra-Volterra semistability; boundary equilibrium; global stability

2016-08-30

高等學(xué)校博士學(xué)科點專項科研基金(20115134110001)

周 武(1962—),男,副教授,主要從事運籌學(xué)與控制論及微分方程的研究,E-mail:744971475@qq.com

O193

A

1001-8395(2017)05-0606-03

10.3969/j.issn.1001-8395.2017.05.007

2010MSC:34D05

(編輯 周 俊)