金 瑾

(貴州工程應(yīng)用技術(shù)學(xué)院 數(shù)學(xué)系循環(huán)經(jīng)濟(jì)研究院, 貴州 畢節(jié) 551700)

零級(jí)超越亞純函數(shù)的q-差分多項(xiàng)式的值分布

金 瑾

(貴州工程應(yīng)用技術(shù)學(xué)院 數(shù)學(xué)系循環(huán)經(jīng)濟(jì)研究院, 貴州 畢節(jié) 551700)

利用Nevanlinna的亞純函數(shù)的值分布理論,研究零級(jí)超越亞純函數(shù)的q-微分多項(xiàng)式的值分布理論,討論差分多項(xiàng)式的特征函數(shù)和零點(diǎn),取得一些結(jié)果,并且對(duì)差分多項(xiàng)式零點(diǎn)的一些經(jīng)典結(jié)果建立差分模擬.

超越亞純函數(shù); 差分多項(xiàng)式; 值分布; Nevanlinna理論

1 主要結(jié)果

W. K. Hayman[1]證明了下面的著名定理.

定理1.1[1]設(shè)f(z)為超越亞純函數(shù),n為正整數(shù),如果n≥3,則fn(z)f′(z)取每一個(gè)非零有窮復(fù)數(shù)無(wú)窮多次.

L. R. Sons[2]證明了以下定理.

定理1.2[2](a) 若f(z)超越亞純函數(shù),并且N1(r,1/f)=S(r,f),令

ψ=fn0(f′)n1…(f(k))nk,

其中n0、n1、n2、…、nk是非負(fù)整數(shù),并且k≥1,n0≥1,如果

那么δ(a,ψ)<1,其中a≠0,∞.

(b)f(z)是超越亞純函數(shù),

ψ=fn0(f′)n1…(f(k))nk,

若nk≥1,n0≥2,且

那么δ(a,ψ)<1,其中a≠0,∞.N. Steinmetz[3]進(jìn)一步減弱了定理1.2的(b)條件,證明了以下定理.

定理1.3[3]若f(z)超越亞純函數(shù),ψ=fn0(f′)n1…(f(k))nk,如果nk≥1,n0≥2,則

其中，c≠0,∞為一常數(shù).

Jiang X. H.等[4]得到如下結(jié)論.

定理1.4[4]設(shè)f(z)為平面內(nèi)的超越亞純函數(shù),a為任意非零復(fù)數(shù),對(duì)任意的正整數(shù)m,i0,i1,…,in,λ=i0+i1+…+in,Δ=i0+2i1+…+nin，則當(dāng)m≥λ+Δ+2時(shí),

wm+awi0(w′)i1(w(2))i1…(w(n))in

可取無(wú)窮多個(gè)零點(diǎn).Fang M. L.[5]又研究了f(z)+a(f′(z))n的值分布,得到下面結(jié)論.

定理1.5[5]設(shè)f(z)為平面內(nèi)的超越亞純函數(shù),a為非零復(fù)數(shù),對(duì)任意的正整數(shù)n≥2,函數(shù)f(z)+a(f′(z))n取每一個(gè)有窮復(fù)數(shù)無(wú)窮多次.

張然然等[6]研究了亞純函數(shù)的差分多項(xiàng)式

(1)

定理1.6設(shè)f(z)是有限級(jí)亞純函數(shù),滿足N(r,f)=S(r,f),設(shè)H(z,f)形若(1)的差分多項(xiàng)式,其中系數(shù)是為f(z)的小函數(shù),且H(z,f)中僅有一個(gè)單項(xiàng)式具有最高次數(shù)degfH,則

H(z,f)=(degfH)T(z,f)+S(z,f).

在本文中,令

F(z)=f(q0z)i0f(q1z)i1f(q2z)i2…f(qkz)ik,

(2)

其中，k≥1為整數(shù),q1,q2,…,qk為相互不同的非零復(fù)常數(shù),i1,i2,…,ik為非負(fù)整數(shù),ai(z)為f(z)的小函數(shù).

記i0+i1+…+ik=n=degfH,則有以下定理.

定理1.7設(shè)f(z)是零級(jí)超越亞純函數(shù),滿足N(r,f)=S(r,f),設(shè)F(z)、k、n為(2)式所定義,又設(shè)H(z,f)為形如(1)式的差分多項(xiàng)式,系數(shù)aλ(z)為f(z)的小函數(shù),且H(z,0)≠0,記H(z,f)中不同σλ,j的個(gè)數(shù)為m,如果

n>min{mdegfH+2(k+1),

m(degfH+1)+k+1}，

則φ(z)=F(z)+H(z,f)有無(wú)窮多個(gè)零點(diǎn),且滿足λ(φ)=σ(φ)=σ(f).

2 引理

對(duì)文獻(xiàn)[7]中的推論2.2作變形得到引理2.1.

引理2.1設(shè)f(z)是非常數(shù)有限級(jí)亞純函數(shù),η1、η2是任意復(fù)常數(shù),則

引理2.2[8]設(shè)f(z)是非常數(shù)的零級(jí)超越亞純函數(shù),對(duì)常數(shù)q∈C-{0},則有

應(yīng)用到文獻(xiàn)[9]的定理2.1,可以得到如下引理.

引理2.3設(shè)f(z)是非常數(shù)有限級(jí)亞純函數(shù),c≠0是任意復(fù)常數(shù),則

T(r+|c|,f)=T(r,f)+S(r,f),

N(r+|c|,f)=N(r,f)+S(r,f).

由文獻(xiàn)[10]得到:設(shè)f(z)是亞純函數(shù),則對(duì)任意的c≠0,當(dāng)r→∞時(shí),不等式

(1+o(1))T(r-|c|,f)≤

T(r,f(z+c))≤(1+o(1))T(r+|c|,f)

成立.由上述不等關(guān)系的證明過(guò)程知，上述不等關(guān)系對(duì)密指量也成立.由引理2.3容易得到下面引理.

引理2.4設(shè)f(z)是非常數(shù)有限級(jí)亞純函數(shù),r是任意復(fù)常數(shù),則

T(r,f(z+c))=T(r,f)+S(r,f),

N(r,f(z+c))=N(r,f)+S(r,f),

3 定理的證明

定理1.7的證明令

其中

則差分多項(xiàng)式H*(z,f)中每一個(gè)單項(xiàng)式的次數(shù)都大于或等于1,且有H(z,f)=H*(z,f)+H(z,0).令

(3)

則

(4)

由(4)式,并注意到F(z)=f(q0z)i0f(q1z)i1f(q2z)i2…f(qkz)ik和i0+i1+…+ik=n=degfH得到

(5)

H(z,0)g(q0z)i0g(q1z)i1g(q2z)i2…g(qkz)ik,

其中

由引理2.1和2.2以及T(r,aλ)=S(r,f),得到

m(r,bλ)=S(r,f),T(r,H(z,0))=S(r,f).

m(r,H(z,0))=S(r,f),

下面證明m(r,Ω)=nm(r,g)+S(r,g).記degfH=d.類(lèi)似于文獻(xiàn)[9]定理2的方法,將H(z,f)改寫(xiě)為

(6)

其中

i=1,2,…,d,

(7)

由于H(z,f)的系數(shù)aλ(z)是f(z)的小函數(shù),故有

m(r,aλ)≤T(r,aλ)=S(r,f).

因此,由引理2.1知,對(duì)i=0,1,2,…,d有

m(r,bi(z))=S(r,f),

(8)

若degfH=d=1時(shí),則H(z,f)=b1(z)f(z)+b0(z),所以有

m(r,H)≤m(r,f)+m(r,b1)+

m(r,b0)+O(1)=m(r,f)+S(r,f).

若degfH=d>1時(shí),則(6)式改寫(xiě)為

H(z,f)=f(z)(bd(z)fd-1(z)+…+b1(z))+b0(z).

所以有

m(r,H)≤m(r,f)+m(r,(bd(z)fd1-1(z)+…+

b1(z))+b0(z))+S(r,f),

(9)

由(9)式和歸納法知

m(r,H)≤dm(r,f)+S(r,f),

(10)

由H(z,f)中僅有一個(gè)單項(xiàng)式具有最高次數(shù)degfH=d，故

因此,由T(r,aλ)=S(r,f)和引理2.1得到

(11)

(12)

令E1={θ||f(reiθ)|≥2A(reiθ),0≤θ≤2π},E2是E1的補(bǔ)集,因此當(dāng)θ∈E1時(shí)有

于是,當(dāng)z=reiθ,θ∈E1時(shí)有

|H(z,f)|=|f(z)|d|bd(z)+

從而

dm(r,f)=m(r,fd)=

(13)

由(8)式以及(11)～(13)式得到

dm(r,f)≤m(r,H)+S(r,f),

由上式及(10)式,并注意到degfH=d,得到

m(r,H)=dm(r,f)+S(r,f).

像上述一樣也可得到

m(r,Ω)=nm(r,g)+S(r,g).

(14)

m(r,Ω)=nT(r,f)+S(r,f),

(15)

利用第二基本定理以及(3)式得到

(16)

由(15)和(16)式得到

(17)

S(r,f)=mdN(r,f)+S(r,f).

此外,采用上述(6)～(10)式的方法得到m(r,H)≤dm(r,f)+S(r,f).因此

O(1)≤mdT(r,f)+S(r,f).

(18)

(19)

知,如果z0滿足F(z0)=∞和Ω(z0)+1=0,則H(z0,f(z0))=∞.因此有：

由(19)式又得

(20)

因此由(20)式得

(21)

由引理2.4得到

(22)

(23)

由上式和(18)、(22)和(23)式得到

(n-md-(k+1)-m)T(r,f)≤

(24)

再由(20)和(23)式得

(25)

又由(17)、(23)和(25)式得到

由上式和(18)式又可得

(n-md-2(k+1))T(r,f)≤

(26)

再由假設(shè)條件

n≥min{mdegfH+2(k+1),

m(degfH+1)+k+1},

以及(24)和(26)式并注意d=degfH可得

所以φ(z)=F(z)+H(z,f)有無(wú)窮多個(gè)零點(diǎn),且滿足λ(φ)≤σ(f),又由引理2.4知

λ(φ)≤σ(φ)≤σ(f),

因此函數(shù)φ(z)有無(wú)窮多個(gè)零點(diǎn)且λ(φ)=σ(φ)=σ(f).

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The Value Distribution ofq-difference Polynomials of Zero Order Transcendental Meromorphic Functions

JIN Jin

(DepartmentofMathematicsResearchInstituteofCircularEconomy,GuizhouUniversityofEngineeringScience,Bijie551700,Guizhou)

In this paper, the value distribution ofq-differential polynomials on zero order meromorphic function is studied by Nevanlinna value distribution theory on meromorphic function. We obtain some results for differential polynomials, and establish difference analogues of some classical result about the zeros of differential polynomials.

transcendental meromorphic function; difference polynomial; value distribution; Nevanlinna theory

2016-01-24

貴州省科學(xué)技術(shù)基金(2010GZ43286和2012GZ10526)、貴州省教育廳科學(xué)技術(shù)基金([2015]392)和貴州省畢節(jié)市科研基金 ([2011]02)

金 瑾(1962—),男,教授,主要從事復(fù)分析研究，E-mail:jinjin62530@163.com

O174.5

A

1001-8395(2017)05-0661-05

10.3969/j.issn.1001-8395.2017.05.017

2010MSC：30D35； 39A10

(編輯 陶志寧)