別業(yè)廣，方照東，呂清花，呂祥，商逸遠，黃孝川，萬青

(1. 湖北工業(yè)大學太陽能高效利用湖北省協(xié)同創(chuàng)新中心，湖北 武漢 430068; 2. 湖北工業(yè)大學理學院，湖北 武漢 430068)

基于無衍射光莫爾條紋的微小位移測量分析

別業(yè)廣1,2，方照東1，呂清花1,2，呂祥1，商逸遠1,2，黃孝川1，萬青1

(1. 湖北工業(yè)大學太陽能高效利用湖北省協(xié)同創(chuàng)新中心，湖北 武漢 430068; 2. 湖北工業(yè)大學理學院，湖北 武漢 430068)

利用He-Ne激光器發(fā)出的激光經準直擴束鏡后通過軸錐鏡，形成徑向光強分布呈零階貝塞爾函數(shù)形式的無衍射光，該無衍射光方向性好，在通過反射與折射時不易產生能量損失.然后，通過多次分光與反射得到兩束無衍射光，并產生干涉形成莫爾條紋.最后，根據(jù)莫爾條紋產生的數(shù)目和中心點的位置變化得出位移量，建立莫爾條紋數(shù)量變化與微小位移間的數(shù)學模型，分析判斷工作臺產生的偏擺角、滾轉角以及俯仰角的誤差，并通過ZEMAX軟件仿真驗證該數(shù)學模型的正確性，實現(xiàn)高精度的微小位移測量.

無衍射光；莫爾條紋；ZEMAX軟件仿真；微小位移測量

0 引言

目前，很多大型設備需要通過非接觸的方式進行微小偏轉角度的測量[1-2]，不少學者做過微小角度測量的相關實驗.微小角度測控技術在許多領域均有應用，如航空、航天、航海、通信、電子、物理等，如杜佩之等采用動態(tài)雙光柵測量金屬熱膨脹系數(shù)[3].在國內外有許多運用莫爾條紋進行精密測量的儀器設備，例如武器口徑的檢測等，均用條形光柵，形成的莫爾條紋可看成是由光柵柵線遮擋所引起的明暗條紋的變化[4-5]，但這種檢測方法的結果不夠精確，且檢測結果不易觀察.本文中利用無衍射光的線焦特性并結合莫爾條紋的放大優(yōu)勢，提出基于無衍射光莫爾條紋的微小位移測量技術，采用無衍射光的光強分布模擬圓形光柵，將直角棱鏡和半透半反鏡組成運動測量單元，固定在光路中，利用探測器對光的吸收成像，結合莫爾條紋的放大特性，實現(xiàn)微小位移的測量，充分利用無衍射光的線焦穩(wěn)定性.由于運動測量單元的位置與所得到的莫爾條紋的數(shù)量和光的中心的位置有對應的數(shù)學關系，因此可以直接由莫爾條紋的數(shù)目推導得到微小位移量，從而提高系統(tǒng)測量的可靠性.

1 莫爾條紋的基本原理

兩束無衍射光產生莫爾條紋的原理圖如圖1所示，兩塊光柵在x軸方向的周期分別為d1和d2[5]，其空間頻率分別為:

圖1 兩束無衍射光產生莫爾條紋的原理

(1)

ξ2=1/d2

(2)

其透射率分別為：

(3)

(4)

當用單位強度的光垂直照射兩塊重疊的光柵時，其透射光的強度函數(shù)為:

T(x)=T1(x)T2(x)

(5)

(6)

設圓光柵同心圓的序數(shù)分別為m1和m2，半徑為x，則有：

x=md

(7)

(8)

(9)

其中序數(shù)方程：

m1+m2=p

(10)

m1-m2=q

(11)

p為等和條紋，q為等差條紋.

對于同心圓光柵，柵距為a，圓心距為2l，則有：

(x-l)+y2=(m1a)2

(12)

(x+l)+y2=(m2a)2

(13)

帶入序數(shù)方程(10)式和(11)式可得：

(14)

(15)

由(14)～(15)式可知等和條紋方程為橢圓方程，等差條紋方程為雙曲線方程，說明在光線干涉加強點的位置形成的亮莫爾條紋為橢圓形，在干涉相消點形成的暗莫爾條紋為雙曲線形[5-6]，該結果與仿真得出的實驗結果相對應.

2 仿真平臺的搭建

圖2 實驗光路

如圖2所示，He-Ne激光器發(fā)出的激光經過準直擴束鏡后通過軸錐鏡形成無衍射光[6]，經分光棱鏡P1后，分成兩束無衍射光.光束一部分向上反射，經過反射鏡R1入射到分光棱鏡P2，經半透半反鏡和分光棱鏡P2以及反射鏡R2被探測器CCD1接收；透過半透半反鏡的另一部分光束經過直角棱鏡和分光棱鏡P3，投射到探測器CCD2上.經分光棱鏡P1后的另一束光經過反射鏡R3反射后，再經過P3的反射，也投射到探測器CCD2上，兩束無衍射光在探測器CCD2上發(fā)生干涉. 探測器CCD1上只接收到一束無衍射光，形成一個環(huán)形圓光斑[7]，如圖3所示；另一個探測器CCD2上接收到兩束具有一定光程差的無衍射光，形成干涉莫爾條紋，如圖4所示.

通過運用zemax光學仿真軟件，搭建對應光路平臺，用2 000 000條光線跟蹤，觀察探測器上的結果，在探測器CCD1上可以看到由單束無衍射光產生的同心圓環(huán)條紋(圖3)，在探測器CCD2上可以看到由兩束具有一定光程差的無衍射光產生的莫爾條紋(圖4).

圖3 單束無衍射光產生的同心圓環(huán)條

圖4 兩束具有一定光程差的無衍射光產生的莫爾條

(16)

(17)

θ為莫爾條紋與y軸的夾角，在y軸兩側莫爾條紋對稱分布.研究莫爾條紋的變化規(guī)律時，取斜率變化角度：0°～90°，可對稱地研究其他3個象限的莫爾條紋變化規(guī)律[7].

(18)

3 工作臺位移與莫爾條紋數(shù)目的關系

在zemax仿真軟件中，將工作臺即棱鏡和半透半反鏡組成的整體做一個跟隨，確保整體移動的距離和偏轉的角度一致，減小因移動不相等引起的誤差.zemax仿真軟件中設置光波長為默認的550 nm，軸錐鏡的折射率為1.5，后表面的一次系數(shù)為0.000 5，即可產生所需的無衍射光，仿真實驗平臺的相關參數(shù)如表1所示.

表1仿真實驗平臺參數(shù)

將工作臺沿y軸升高或下降0.1 mm記錄一次數(shù)據(jù)，統(tǒng)計相應的莫爾條紋數(shù)量，相應的實驗結果如表2所示.在觀察探測器CCD2時，探測器CCD2上接收到兩束相位差恒定的無衍射光，這兩束無衍射光發(fā)生干涉形成明暗相間的莫爾條紋.設置相應的顯示方式為反黑白，取適當?shù)钠交龋敼ぷ髋_位置對準時，莫爾條紋數(shù)目為3條，觀察由工作臺的位置變化引起的莫爾條紋數(shù)目的變化，分析結果可得，工作臺沿y軸升高0.1 mm，則多出2條莫爾條紋，對應的中心點的坐標變化0.2 mm.

表2 實驗數(shù)據(jù)

由

(19)

4 工作臺繞x、y、z軸偏轉與光的中心點位置的關系

工作臺分別在x，y，z軸上發(fā)生偏轉，則分別對應偏擺角、俯仰角和滾轉角的變化，相應中心點的位置坐標呈現(xiàn)一定規(guī)律的變化，通過幾何方法找出其對應的關系后，可直接分析結果，得出工作臺的偏擺角、俯仰角和滾轉角的誤差.

圖5 工作臺繞x軸偏轉時偏擺角變化示意

4.1偏擺角變化如圖5所示，工作臺繞x軸偏轉即偏擺角發(fā)生變化，其中O為半透半反鏡，P2為分光棱鏡，R2為反射鏡，CCD1為探測器.當半透半反鏡O繞x軸偏轉θ角后，探測器CCD1上接收到的光的中心點位置發(fā)生改變.偏擺角改變0.1度，則探測器CCD1上得到的同心圓環(huán)發(fā)生偏移，其中心點的位置發(fā)生改變.由相應幾何分析及理論推導，可知中心點位置坐標的偏移量與偏擺角之間的關系為線性關系.

假設AB=40 mm，AO=120 m，BO′=40 mm，AC=x1，CS=x2，SD=x3，DB=x4，

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

其中θ角較小，有

sin(θ)≈θ; tan(θ)≈θ

(25)

得Δy=400θ

y≈y0-400θ

(26)

其中θ的單位為rad.由仿真得出的實驗結果如表3所示，中心點x坐標變化很小，y坐標與偏擺角的關系基本符合式(26)，與理論推導相符.

表3 工作臺繞x軸偏轉引起的光的中心點變化

4.2俯仰角變化當工作臺繞y軸偏轉即俯仰角發(fā)生變化時，產生的誤差對仿真實驗結果影響較大，光的中心點位置向左移動，不能得到莫爾條紋.但仍可依據(jù)扭曲變形的同心圓環(huán)干涉條紋，得到光的中心點位置坐標的偏移量與俯仰角的關系.同樣可以理論推導得到探測器CCD2上同心圓的中心點位置的x坐標與俯仰角成線性關系：

x≈x0-23θ

(27)

其中θ的單位為rad.由仿真得出的實驗結果如表4所示，中心點y坐標變化很小，x坐標與俯仰角的關系基本符合式(27)，與理論推導相符.

表4 工作臺繞y軸偏轉引起的光的中心點變化

圖6 工作臺繞z軸偏轉時滾轉角變化示意圖

4.3滾轉角變化如圖6所示，工作臺繞z軸偏轉即滾轉角發(fā)生變化，其中H為直角棱鏡，P3為分光棱鏡，CCD2為探測器.當直角棱鏡H發(fā)生微小角度的變化時，經過分光棱鏡P3到達探測器CCD2上的光的中心位置發(fā)生變化，兩束干涉光所形成的條紋發(fā)生改變，但僅改變中心條紋的偏轉，不改變莫爾條紋的數(shù)目.由于工作臺繞z軸偏轉，在空間中屬于二次偏轉，在zemax仿真軟件中，相應的工作臺的位置需要設置成使用x，y，z全局坐標，若沒進行此設置，則繞z軸旋轉后無法形成莫爾條紋，得到的是無規(guī)律的圖像.同樣可以理論推導得到探測器CCD2上光的中心點位置的x坐標與滾轉角成線性關系：

x≈x0+40θ

(28)

其中θ的單位為rad.由仿真得出的實驗結果如表5所示，中心點y坐標變化很小，x坐標與滾轉角的關系基本符合式(28)，與理論推導相符.

表5 工作臺繞z軸偏轉引起的光的中心點變化

5 結論

本文中分析莫爾條紋形成的原理，研究莫爾條紋在精確測量運動誤差方面的應用，采用無衍射光為分析光束，減少光路中反射和折射的能量損耗，設計的光路簡單，涉及的器件少.采用zemax光學模擬軟件仿真，得出莫爾條紋數(shù)目與運動測量單元的位置之間的對應關系，與理論推導相符.在精密儀器的檢測中能更精確反映儀器的實驗誤差.

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Thetinydisplacementmeasurementbasedonthenon-diffractingmoirefringe

BIE Yeguang1,2, FANG Zhaodong1, LV Qinghua1,2, LV Xiang1, SHANG Yiyuan1,2, HUANG Xiaochuan1, WAN Qing1

(1. Hubei Collaborative Innovation Center for High-efficient Utilization of Solar Energy, Hubei University of Technology, Wuhan 430068, China; 2.School of Science, Hubei University of Technology, Wuhan 430068, China)

Using the laser beam emitted by the He-Ne laser is passed through an axicon to generate non-diffracting beam whose radial light distribution is in the form of zero-order Bessel function. Good direction and less energy loss through reflection and refraction are the notable features. Then, two non-diffracting beams are obtained through times of reflection, which will interfere and form moire fringes. Finally, displacement can be calculated using the number of fringes and the position change of beam center. We established the mathematical model between a number of moire fringe change and tiny displacement successfully,and the error of the yaw angle, the roll angle and the pitch angle were analyzed and judged,and then we used ZEMAX software simulation to verify the correctness of the mathematical model, to realize high precision measurement of tiny displacement.

non-diffracting beam;moire fringes;ZEMAX software simulation;the tiny displacement measurement

2017-03-30

國家自然科學基金(51405143,51575164,61475044)、湖北省大學生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)項目(20151050023)和湖北省太陽能高效利用開放基金(HBSKFZD2014007)資助

別業(yè)廣(1964-)，男，副教授；呂清花，通信作者，博士，講師， Linsa080@126.com

1000-2375(2017)06-0585-06

O436.1

A

10.3969/j.issn.1000-2375.2017.06.005

(責任編輯 郭定和)

收稿日期：2016-12-30

作者簡介：張帆(1992-)，男，碩士生；章天金，通信作者，教授，E-mail：zhangtj@hubu.edu.cn

文章編號：1000-2375(2017)06-0597-04