李學(xué)輝，宋申民，陳海濤，郭 永

（1. 哈爾濱工業(yè)大學(xué) 控制理論與制導(dǎo)技術(shù)研究中心，哈爾濱 150001；2. 西北工業(yè)大學(xué) 自動化學(xué)院，西安 710000）

航天器終端接近的有限時間輸入飽和避碰控制

李學(xué)輝1，宋申民1，陳海濤1，郭 永2

（1. 哈爾濱工業(yè)大學(xué) 控制理論與制導(dǎo)技術(shù)研究中心，哈爾濱 150001；2. 西北工業(yè)大學(xué) 自動化學(xué)院，西安 710000）

針對航天器終端接近問題，解決了追蹤航天器在跟蹤到達期望目標(biāo)點的過程中不與目標(biāo)航天器發(fā)生碰撞的難題。首先，在目標(biāo)航天器軌道系下建立了航天器的相對運動和避碰模型。其次，考慮外界擾動上界已知和未知兩種情形，均給出了有限時間避碰控制器，且所設(shè)計的控制器都具有輸入飽和特性。最后，應(yīng)用 Lyapunov穩(wěn)定性理論證明了在所提出的控制器作用下系統(tǒng)是有限時間收斂的，并且，利用避碰勢函數(shù)證明了所設(shè)計的控制器能夠?qū)崿F(xiàn)避碰。仿真結(jié)果表明，所提出的控制器是有效的。

終端接近；避碰控制；有限時間控制；輸入飽和

航天器終端接近技術(shù)在航天在軌任務(wù)中有重要應(yīng)用[1-3]。為使追蹤航天器完成各種在軌服務(wù)任務(wù)，要求追蹤航天器跟蹤到達指定期望位置，當(dāng)?shù)竭_期望位置后，由追蹤航天器的捕獲機構(gòu)捕獲目標(biāo)航天器。

在追蹤航天器接近期望位置過程中，為了航天任務(wù)的順利完成，要求追蹤航天器避免與目標(biāo)航天器發(fā)生碰撞。為了解決避障問題，文獻[4]基于視線相對運動模型，利用模糊控制，研究了非合作自主交會對接的終端接近問題。文獻[5]基于橢圓蔓葉線，應(yīng)用人工勢函數(shù)制導(dǎo)方法解決了非合作目標(biāo)航天器自主交會對接與靜態(tài)障礙物躲避問題。文獻[6]利用線性二次模型預(yù)測控制研究了具有避障功能的航天器相對運動制導(dǎo)與控制問題。

在實際航天器控制中，執(zhí)行機構(gòu)的輸出是受限的，忽略了輸入飽和問題可能引起控制性能的下降，甚至可以引起系統(tǒng)不穩(wěn)定。為了解決輸入飽和問題，文獻[7]針對追蹤星徑向方向上推進器出現(xiàn)故障的情況，在常值推力下設(shè)計了切換控制，使得追蹤星沿著指定的軌跡運動，實現(xiàn)了主動避碰。文獻[8]利用高斯偽譜法研究了航天器交會對接問題，針對在推進系統(tǒng)輸出有界且功率受限以及避免碰撞的約束下，設(shè)計了燃料最優(yōu)的控制器。文獻[9]利用安全正不變集(safe positively invariant sets)研究了航天器相對運動的避障問題，通過應(yīng)用圖形搜索算法找到一條安全無碰撞路徑并能夠滿足推力限制。

為了能夠快速完成航天任務(wù)，有限時間控制在航天控制中得到了重要應(yīng)用[10-12]。針對有限時間避碰問題，目前大多數(shù)文獻還沒有有效方法。文獻[13]針對多水下機器人系統(tǒng)分別研究了有限時間位置一致性和碰撞避免問題，但所提出的考慮避免碰撞問題的協(xié)同控制器不能保證系統(tǒng)有限時間收斂。文獻[14][15]針對多體 Euler-Lagrange系統(tǒng)，通過基于零空間(null-space-based)行為控制方法，研究了有限時間編隊控制策略，但是當(dāng)處理有障礙物的情況時，系統(tǒng)仍無法實現(xiàn)有限時間收斂。

上述文獻雖然對避免碰撞、輸入受限、有限時間收斂等問題進行了研究，但是在一些實際航天任務(wù)中，需要將多種約束進行同時考慮。為進一步解決考慮碰撞的航天器終端接近問題，本文設(shè)計了具有避碰功能的有限時間飽和控制器。相比于上述文獻，本文的創(chuàng)新之處在于：①利用雙曲正切函數(shù)，使所設(shè)計的控制器具有輸入飽和特性。②通過引入輔助系統(tǒng)，借助有限時間控制，設(shè)計的避碰控制器使系統(tǒng)有限時間收斂。③所設(shè)計的控制器能夠解決系統(tǒng)外部擾動上界已知和未知兩種情況。

1 軌道相對運動和避碰模型

由于追蹤航天器在到達期望位置的過程中可能與目標(biāo)航天器發(fā)生碰撞，下面分別建立航天器軌道相對運動和避碰模型，并給出本文的控制目標(biāo)。

1.1 航天器軌道相對運動模型

圖1 航天器終端接近系統(tǒng)Fig.1 System of spacecraft terminal approach

假設(shè)空間存在一顆運行在橢圓軌道上的目標(biāo)航天器，追蹤航天器從初始位置到達期望位置，其示意圖見圖1。其中，F(xiàn)I為赤道慣性坐標(biāo)系其原點oI為地心；xI軸位于赤道平面內(nèi)，指向春分點；zI軸沿地球自轉(zhuǎn)軸方向，向上為正；yI軸與xI軸和zI軸構(gòu)成右手直角坐標(biāo)系。Fo為目標(biāo)航天器軌道坐標(biāo)系作為航天器相對運動的參考坐標(biāo)系，基本平面為目標(biāo)航天器瞬時軌道平面，坐標(biāo)原點ot在目標(biāo)航天器的質(zhì)心，xo軸沿地心到目標(biāo)航天器的矢徑方向；yo軸在目標(biāo)航天器軌道平面上，與xo軸垂直，且沿目標(biāo)航天器運動方向；zo軸與xo軸和yo軸構(gòu)成右手直角坐標(biāo)系。tr和rc分別為地心到目標(biāo)航天器和追蹤航天器質(zhì)心的位置矢量在赤道慣性坐標(biāo)系FI下的表示。

假定目標(biāo)航天器不受主動控制力作用，其動力學(xué)模型為

追蹤航天器的動力學(xué)模型為

式(1)(2)中：mt和mc分別為目標(biāo)航天器和追蹤航天器的質(zhì)量；dt和dc分別為目標(biāo)航天器和追蹤航天器所受到的外部攝動力；uc為作用于追蹤航天器的主動控制力；tr和rc分別為地心到目標(biāo)航天器和追蹤航天器的距離，即為地球引力常數(shù)。

將公式(4)展開，則可得追蹤航天器相對于目標(biāo)航天器的軌道運動方程為[16]

其中，

假設(shè)追蹤航天器的期望位置和速度分別為rd、定義誤差向量為重寫式(5)，可以得到軌道相對運動學(xué)方程為

1.2 避碰模型與控制目標(biāo)

假設(shè)追蹤航天器與目標(biāo)航天器的最小安全距離為a，則以目標(biāo)航天器質(zhì)心為原點，半徑為a所形成的球為避碰區(qū)域。設(shè)避碰勢函數(shù)為

由h(r)的定義可知，當(dāng)追蹤航天器在避碰區(qū)域外時h(r)＞0，反之，當(dāng)追蹤航天器在避碰區(qū)域內(nèi)或避碰區(qū)域曲面上時

為了控制器的設(shè)計和定理的證明，我們給出如下假設(shè)。

假設(shè)1在初始時刻和期望位置，追蹤航天器在避碰區(qū)域外，即其中，

注1. 由假設(shè)1可知，為了避免追蹤航天器進入避碰區(qū)域，只需要保證追蹤航天器在到達期望位置的過程中h(r)≠0。

假設(shè)2系統(tǒng)式(11)外部擾動有界，滿足表示向量的2范數(shù)，

本文的控制目標(biāo)：設(shè)計有效的具有飽和特性的控制器，使追蹤航天器能有限時間到達期望位置，且在接近過程中不會與目標(biāo)航天器發(fā)生碰撞，即誤差向量e有限時間收斂到0，并且在收斂過程中h(r)＞0始終成立。

2 有限時間飽和避碰控制器設(shè)計

本文利用有限時間控制的思想設(shè)計具有飽和特性的航天器終端接近控制器?？紤]到航天器在太空環(huán)境的復(fù)雜性，下面分別對航天器外部擾動上界已知和未知兩種情況進行討論，設(shè)計有限時間飽和避碰控制器，以實現(xiàn)控制目標(biāo)。

2.1 外部擾動上界已知下的避碰控制器設(shè)計

追蹤航天器在太空中會受到太陽光壓、地球重力梯度等擾動的影響。為了處理外部擾動上界已知的情況，下面設(shè)計魯棒的有限時間飽和避碰控制器。

設(shè)計控制器(13)和輔助系統(tǒng)(14)(15)：

定理1針對系統(tǒng)(11)，在假設(shè)1和2條件下，且系統(tǒng)外部擾動上界dm已知，控制參數(shù)滿足則在控制器(13)和輔助系統(tǒng)(14)(15)的作用下，可以得到如下結(jié)論（若控制參數(shù)不滿足則所設(shè)計的控制器將不能抵消外界擾動對系統(tǒng)的影響，從而可能導(dǎo)致系統(tǒng)是不穩(wěn)定的）：

1）追蹤航天器能夠有限時間運動到期望位置rd。

2）追蹤航天器在運動過程中不與目標(biāo)航天器發(fā)生碰撞。

3）所設(shè)計的控制器具有輸入飽和特性。

證明 選取如下Lyapunov函數(shù)：

對式(16)求導(dǎo)并將式(11)、控制器(13)和輔助系統(tǒng)(14)(15)代入，可得：

對式(19)求解可得V1滿足

2.2 外部擾動上界未知情況下的避碰控制器設(shè)計

由于外部擾動的復(fù)雜性，其上界很難精確得到，為了處理外部擾動上界未知的情況，下面設(shè)計魯棒自適應(yīng)有限時間飽和避碰控制器。

定理2針對系統(tǒng)(11)，在假設(shè)1和2條件下，且系統(tǒng)外部擾動上界dm未知，則在控制器(21)和輔助系統(tǒng)(22)～(24)的作用下，定理1的結(jié)論仍然成立。

證明 選取如下Lyapunov函數(shù)：

對式(25)求導(dǎo)并將式(11)、控制器(21)和輔助系統(tǒng)(22)(23)代入，可得：

利用矩陣A為反對稱的性質(zhì)以及假設(shè)2，并將式(24)代入，整理可得：

同定理1的證明，可以證明定理2的結(jié)論是成立的。

3 仿真分析

為驗證本文控制方法的有效性，下面對所設(shè)計的控制器進行仿真驗證。假設(shè)外界擾動主要考慮J2項引力攝動，設(shè)追蹤航天器與目標(biāo)航天器的最小安全距離追蹤航天器和目標(biāo)航天器的質(zhì)量均為100kg，目標(biāo)航天器的軌道參數(shù)為：其中分別是半長軸、離心率、升交點赤經(jīng)、軌道傾角、近地點幅角和真近點角。設(shè)追蹤航天器與目標(biāo)航天器相對距離和速度的初始值分別為期望相對距離為為了處理當(dāng)時出現(xiàn)的抖振問題，在時 用來代替

圖2 控制器(13)～(15)下控制力曲線圖Fig.2 Curves of control force under controller (13)-(15)

針對控制器(13)～(15)的仿真結(jié)果如圖2和圖3所示。圖 2為閉環(huán)系統(tǒng)的控制力曲線圖，可以看出控制力是有界的。圖 3給出追蹤航天器的運動軌跡，圖中球形區(qū)域為避碰區(qū)域，直線為起始位置與期望位置之間的連線。從圖3可以看出，若追蹤航天器直線運動到期望位置，必然進入避碰區(qū)域，而在所設(shè)計的控制器下，追蹤航天器能有效避免進入避碰區(qū)域，從而能夠安全地到達期望位置。

針對控制器(21)～(24)的仿真結(jié)果如圖4～6所示。圖4為閉環(huán)系統(tǒng)的控制力曲線圖，圖5為外部擾動上界的估計值d?m的曲線圖。從圖4可以看出，控制力是有界的。圖6給出追蹤航天器的運動軌跡，圖中球形區(qū)域為避碰區(qū)域，直線為起始位置與期望位置之間的連線。從圖6可以看出，若追蹤航天器直線運動到期望位置，必然進入避碰區(qū)域，而在所設(shè)計的控制器下，追蹤航天器能有效避免進入避碰區(qū)域，從而能夠安全地到達期望位置。

圖3 控制器(13)～(15)下追蹤航天器運動軌跡Fig.3 Curves of chaser spacecraft’s motion trajectory under controller (13)-(15)

圖4 控制器(21)～(24)下控制力曲線圖Fig.4 Curves of control force under controller (21)-(24)

圖5 曲線圖Fig.5 Curve of

圖6 控制器(21)～(24)下追蹤航天器運動軌跡Fig.6 Curves of chaser spacecraft’s motion trajectory under controller (21)-(24)

4 結(jié) 論

本文基于有限時間控制理論和勢函數(shù)法對航天器終端接近避碰控制問題進行研究分析，主要結(jié)論如下：

1）基于避碰勢函數(shù)，將終端接近的避碰問題轉(zhuǎn)化為避碰勢函數(shù)不能等于零的問題，從而為方便其避碰控制器設(shè)計提供了模型基礎(chǔ)。

2）針對系統(tǒng)外部擾動上界已知的情況，設(shè)計了有限時間終端接近避碰控制器，利用雙曲正切函數(shù)的有界性，使所設(shè)計的控制器是有界的。

3）設(shè)計了魯棒自適應(yīng)有限時間飽和避碰控制器，通過引入輔助系統(tǒng)，使所設(shè)計的控制器能夠處理擾動上界未知的情況。

4）利用李雅普諾夫理論對所設(shè)計的控制器給出了嚴(yán)格的理論證明，表明系統(tǒng)狀態(tài)為有限時間穩(wěn)定的，且能實現(xiàn)避碰。

對所設(shè)計的控制器進行了數(shù)值仿真，進一步驗證了所設(shè)計控制器的有效性。

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Finite-time and collision avoidance control for spacecraft terminal approach with input saturation

LI Xue-hui1, SONG Shen-min1, CHEN Hai-tao1, GUO Yong2
(1. Center for Control Theory and Guidance Technology, Harbin Institute of Technology, Harbin 150001, China;2. School of Automation, Northwestern Polytechnical University, Xi’an 710072, China)

This paper solves the avoid collision problem of spacecraft terminal approach to realize that a chaser spacecraft does not collide with the target spacecraft when reaching to the expected target point. The spacecraft relative motion and the collision avoidance model are established under the orbital coordinate system of target spacecraft. Two finite-time collision avoidance controllers are presented respectively in cases with/without knowing the upper bound of external disturbances, and the designed controllers have input saturation characteristics. Finally, Lyapunov stability theory is applied to prove the finite-time convergence of the designed controllers, and the collision avoidance potential function is used to prove that the controllers can realize the collision avoidance. Simulations demonstrate the effectiveness of the proposed controllers.

terminal approach; collision avoidance control; finite-time control; input saturation

1005-6734(2017)04-0530-06

10.13695/j.cnki.12-1222/o3.2017.04.019

V448.234

A

2017-04-17；

2017-07-20

國家自然科學(xué)基金（61174037，61333003，61021002）

李學(xué)輝（1988—），男，博士研究生。E-mail: lxh_hit@126.com

聯(lián) 系 人：宋申民（1968—），男，教授，博士生導(dǎo)師，研究方向為非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析、魯棒控制、導(dǎo)彈制導(dǎo)與飛行器控制。E-mail: songshenmin@hit.edu.cn