錢桂圣

[摘 要] 解題教學(xué)要啟發(fā)學(xué)生什么？當(dāng)然是思維、思想、素養(yǎng)，而不是技巧、技能、方法.本文以解題教學(xué)中啟發(fā)學(xué)生什么為視角，談?wù)劗?dāng)下教學(xué)需要注意什么、避免什么.

[關(guān)鍵詞] 解題教學(xué)；數(shù)學(xué)；思維；思想；素養(yǎng)；技巧；技能；方法

數(shù)學(xué)解題教學(xué)教什么？這是一個(gè)很重要的問題. 不少教師認(rèn)可解題教學(xué)主要是教方法、技能，有很多著作都在提學(xué)生應(yīng)該掌握怎樣的解題方法. 近年來隨著自主招生的盛行，三位一體招生的實(shí)施，我們發(fā)現(xiàn)很多大學(xué)自主命題并不是看中學(xué)生有多少初等數(shù)學(xué)的技巧、技能，而更多的是考查學(xué)生的思維、思想、數(shù)學(xué)素養(yǎng). 筆者認(rèn)為，這正是高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)需要轉(zhuǎn)變的觀念.

從近年來各地高考真題來看，命題者在滲透一種教學(xué)理念：要讓陷入題海而加強(qiáng)熟練化的學(xué)生得不到高分，要讓學(xué)會(huì)思考、有想法、有思維的學(xué)生得到挖掘. 因此更多原創(chuàng)的高考問題注重考查學(xué)生的思維、挖掘數(shù)學(xué)的本質(zhì)、啟迪學(xué)生的素養(yǎng). 這是數(shù)學(xué)解題教學(xué)需要不斷滲透和關(guān)注的核心.

以重要數(shù)學(xué)思想啟發(fā)解題

初等數(shù)學(xué)的問題的確是千變?nèi)f化的，技巧和方法可以多種多樣，但在這些變換的背后存在著一些不變性——數(shù)學(xué)思想的使用. 中學(xué)數(shù)學(xué)是比較講究數(shù)學(xué)思想的引導(dǎo)的，這與初等數(shù)學(xué)本身有著重要關(guān)聯(lián). 從解題的途徑來看，主要是代數(shù)途徑和幾何途徑，因此數(shù)形結(jié)合思想是眾多思想方法中最值得啟發(fā)思維的一種思想.

筆者以為，以形輔數(shù)是用幾何的方式較好地呈現(xiàn)代數(shù)問題的解答，以數(shù)解形是用代數(shù)的方式全面地幫助圖形化存在的思考不全面的較好的“良藥”. 舉一例來說明學(xué)生用數(shù)學(xué)思想啟發(fā)問題的解決.

分析：以題中的形式來看，學(xué)生的基本思路是代數(shù)思考，但是又有無從入手的感覺. 代數(shù)的角度入手比較難（有興趣的讀者可從判別式角度思考），那么換一種簡(jiǎn)潔的思路是不是可以從幾何角度入手？

師：原式中有兩個(gè)變量，如何求最值呢？

師：（繼續(xù)引導(dǎo)）分子、分母中分別含有sinθ，cosθ，你能聯(lián)想到什么？

學(xué)生1：sin2θ+cos2θ=1.

學(xué)生2：?jiǎn)挝粓A上的點(diǎn).

師：但是sinθ，cosθ都有系數(shù)a，那么隨著a的變化，這好像不是一個(gè)單位圓. 那么可以怎樣處理呢？

學(xué)生3：a≠0，可以分子分母都除以a，這樣形式就比較整齊了.

師：很好！下面同學(xué)們討論如何求出“斜率”的最值.

說明：遇到一些較難的題目，學(xué)生無法入手時(shí)，教師也不應(yīng)該直接給出答案，而是應(yīng)該通過師生互動(dòng)的形式，逐步引導(dǎo)，搭建思維腳手架，讓學(xué)生積極參與感受思維過程，逐步形成數(shù)學(xué)思想，進(jìn)而提高思維品質(zhì). 通過師生互動(dòng)，交流、討論將不熟悉的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的常規(guī)問題. 學(xué)生在參與的過程中逐步形成化歸與轉(zhuǎn)化及數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想.通過共同合作將問題解決也可以培養(yǎng)學(xué)生的合作意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí). 有效的練習(xí)講評(píng)應(yīng)該注重思維過程，在潛移默化中培養(yǎng)學(xué)生啟發(fā)其數(shù)學(xué)思想的形成.

以典型易錯(cuò)問題啟發(fā)思維

典型問題、易錯(cuò)問題是具備典型性的重要問題，其有著重要的數(shù)學(xué)價(jià)值. 不少教師對(duì)于教學(xué)依舊存在教學(xué)兩大誤區(qū)：第一布置大量的訓(xùn)練，通過訓(xùn)練增加熟練度，將學(xué)生訓(xùn)練成流水線上的“熟練工”，從而遇到新的問題缺乏思考能力；第二正是因?yàn)榇罅康挠?xùn)練，教師對(duì)于錯(cuò)誤問題來不及思考，沒有深入點(diǎn)撥不同的學(xué)生不同的問題所在，導(dǎo)致學(xué)生聽懂了教師的解答，卻依舊在錯(cuò)誤的問題中越走越遠(yuǎn). 波利亞把解題活動(dòng)分為四個(gè)階段：理解題意、擬訂方案、執(zhí)行方案、回顧反思. 他指出：“數(shù)學(xué)問題的解決僅僅只是一半，更重要的是解題之后的回顧、思考.” 由此可見通過典型問題、易錯(cuò)問題對(duì)于啟發(fā)思維的重要性.

問題2：將甲、乙、丙、丁、戊五個(gè)人保送到A、B、C、D四所大學(xué)，每個(gè)學(xué)校至少一人，求甲、乙兩人被保送到同一所大學(xué)的概率.

師：兩種解法看似都有道理，但是為什么答案不一樣呢？請(qǐng)同學(xué)們討論一下問題出在哪里.

學(xué)生通過分組討論覺得第一種解法應(yīng)該沒有問題，第二種解法有同學(xué)提出總數(shù)應(yīng)該是重復(fù)了.

師：你知道重復(fù)在哪里嗎？如果是3個(gè)人分配到兩所大學(xué)每個(gè)學(xué)校至少一人，請(qǐng)同學(xué)們分別按照以上兩種解法列舉一下基本事件的總數(shù).

學(xué)生通過列舉發(fā)現(xiàn)了第二種解法果然是出現(xiàn)了重復(fù)計(jì)算的問題，原來最后一個(gè)分配的學(xué)生和前面的計(jì)數(shù)出現(xiàn)了重復(fù).

師：如何避免這種重復(fù)呢？我們?cè)偎伎家粋€(gè)問題：從10名男生8名女生中選出3人參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，要求這3人中既有男生又有女生的選法有幾種？

學(xué)生：錯(cuò)了！又重復(fù)了！

師：很好那你們能總結(jié)一下如何避免類似的錯(cuò)誤嗎？

師生總結(jié)：“至多”“至少”問題要注意分類討論避免重復(fù)計(jì)數(shù).

說明：通過對(duì)學(xué)生的錯(cuò)誤解答進(jìn)行了有效的分析、講解，暴露了學(xué)生為什么錯(cuò)誤的過程，能提高糾錯(cuò)的針對(duì)性.對(duì)于排列組合問題而言，恰恰是需要提供以少許問題換取大量思考的典型. 數(shù)學(xué)中還有不少類似的問題，諸如抽象函數(shù)定義域、概率問題的求解、向量幾何化問題的解答、數(shù)列不等式的放縮等等，這些是需要思維量極大的知識(shí)點(diǎn)，是不能只通過大量訓(xùn)練得到的，這就需要分析典型的問題、易錯(cuò)的問題，從中思考知識(shí)的使用、知識(shí)的本質(zhì).

以數(shù)學(xué)相關(guān)實(shí)驗(yàn)拓展素養(yǎng)

核心素養(yǎng)于2016年在新的國(guó)家課程標(biāo)準(zhǔn)中被首次提出，這關(guān)乎數(shù)學(xué)教學(xué)重大的變革. 在中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中不能僅僅像以往那樣只注重基本知識(shí)、基本技能、基本思想方法，還要從數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)中獲得更高的有關(guān)人文的東西，比如說素養(yǎng). 國(guó)家課程標(biāo)準(zhǔn)提出了六大核心素養(yǎng)，如數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)、數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)、邏輯推理素養(yǎng)等等.

問題3：通過圖形計(jì)算器研究《冪函數(shù)》教學(xué).

？搖？搖通過給學(xué)生在平板上安裝圖形計(jì)算器APP，讓學(xué)生摸索與冪函數(shù)相關(guān)的性質(zhì). 學(xué)生操作時(shí)間25分鐘，第一次采用描點(diǎn)法在學(xué)案手動(dòng)繪制，第二次采用平板軟件繪制進(jìn)行驗(yàn)證.

思考1：冪函數(shù)有沒有共性？你找到了嗎？

思考2：所繪制的冪函數(shù)必定通過哪個(gè)象限？有沒有公共點(diǎn)？

思考3：冪函數(shù)的圖像變化與什么有關(guān)？為什么？

思考4：通過這些冪函數(shù)你能再繪制一些類似的冪函數(shù)嗎？

說明：這是一堂數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課，這堂課中筆者并沒有占用學(xué)生多少時(shí)間，更多的時(shí)候是以學(xué)生繪制學(xué)案上的冪函數(shù)圖像和利用數(shù)學(xué)軟件圖形計(jì)算器APP完成的，請(qǐng)學(xué)生用15分鐘時(shí)間總結(jié)他們的研究成果.筆者發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對(duì)于形如y=x（p，q互質(zhì)）圖像特征的總結(jié)遠(yuǎn)遠(yuǎn)比兩堂課的課堂教學(xué)效果好，因?yàn)樾畔⒓夹g(shù)的合理使用，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)中找到了自身探索的樂趣和方向，是教學(xué)值得思考的地方.從數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中讓學(xué)生的素養(yǎng)隨著數(shù)學(xué)知識(shí)的研究獲得了增加.

今天的數(shù)學(xué)教學(xué)已然不是只講求基本知識(shí)、基本技能等等，更要注重學(xué)生思維的啟發(fā)、數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)知、數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)，這些方方面面也要求了教師自身不斷的研究和學(xué)習(xí)，才能讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)得到更多的收獲，才明白數(shù)學(xué)解題教學(xué)啟發(fā)的是什么.endprint