王曉明，周文雅＊，吳志剛，2

壓電纖維復合材料驅動的機翼動態(tài)形狀控制

王曉明1，周文雅2，＊，吳志剛1，2

1．大連理工大學 工程力學系 工業(yè)裝備結構分析國家重點實驗室，大連 116024 2．大連理工大學 航空航天學院，大連 116024

利用壓電材料實現(xiàn)柔性機翼的主動形狀控制，能夠有效提高機翼結構效率和氣動性能；要實現(xiàn)連續(xù)、光滑的高精確形狀控制效果，機翼變形過程必須滿足一定的動態(tài)要求。本文利用在上下翼面反對稱鋪設的新型壓電纖維復合材料——宏纖維復合材料（MFC）提供驅動力矩，研究了機翼扭轉變形的前饋軌跡跟蹤控制。首先建立了機翼結構有限元模型和氣動力載荷模型，采用載荷比擬法得到MFC作動器的控制載荷向量，給出了氣動彈性控制方程及其狀態(tài)空間表達形式。為跟蹤預設的變形參考軌跡，以跟蹤誤差的時域積分為目標函數(shù)，對MFC作動器的電壓加載歷程進行了優(yōu)化設計。結果表明，采用規(guī)劃后的電壓加載歷程，機翼氣動彈性響應很好地跟蹤了預期參考軌跡，實現(xiàn)了連續(xù)、光滑的動態(tài)形狀控制效果，提高了控制精度。

柔性機翼；壓電纖維復合材料；宏纖維復合材料；氣動彈性；前饋控制；二次規(guī)劃

飛行器的飛行性能與機翼氣動特性密切相關，根據(jù)飛行狀態(tài)改變翼面形狀以提高機翼氣動效率和飛行性能是未來飛行器機翼設計的發(fā)展方向［1］；機翼形狀主動控制技術也得到了廣泛關注和研究［2－3］。傳統(tǒng)的機翼形狀控制是通過多個控制面的協(xié)調(diào)偏轉實現(xiàn)的［4］。隨著材料科學的發(fā)展，基于壓電材料等智能材料的機翼主動形狀控制成為研究熱點。這種主動機翼的外形可以實現(xiàn)連續(xù)變化，能夠最大限度提高機翼空氣動力效率；而且可以簡化翼面結構設計復雜性，省略舵機系統(tǒng)等附加機構，在降低結構重量的同時提高結構可靠性［5］。

傳統(tǒng)壓電材料具有變形量小、脆性大等缺點，限制了其使用范圍和應用環(huán)境［6］。而壓電纖維復合材料克服了上述缺點，能夠提供較大驅動應變并具備較好柔韌性。此外，面內(nèi)驅動的壓電纖維復合材料因其各向異性特點，能夠產(chǎn)生面內(nèi)切應變，實現(xiàn)結構扭轉或彎扭耦合控制［7］。趙壽根等［8］研究了壓電纖維復合材料主動結構的變形模式和扭轉特性。宏纖維復合材料（Macro Fiber Composites，MFC）［9］是目前較為先進的新型壓電纖維復合材料。利用MFC等壓電纖維復合材料實現(xiàn)機翼形狀控制在國內(nèi)外得到了廣泛研究。Bilgen等［10］采用MFC作為機翼變形驅動器以實現(xiàn)無人機的滾轉通道控制，并進行了風洞試驗和飛行試驗。李敏等［7］詳細分析了不同纖維鋪設方式下的機翼形狀控制效果。張紅艷等［11］利用MFC實現(xiàn)了旋翼槳葉模型的扭轉控制，并進行了試驗。

雖然利用MFC等壓電纖維復合材料來改善氣動彈性特性和提高飛行性能的可行性得到了理論上的證明，并在縮比機翼模型和小型飛行器上實現(xiàn)了相關試驗驗證；但尚未實現(xiàn)成熟的實際型號應用。一方面是受到幾何尺寸、制造成本和環(huán)境適用性等方面的制約［5］；另一方面機翼變形過程涉及到結構、氣動和控制之間的相互耦合，動力學特性復雜，為控制律設計增加了困難。在利用MFC等壓電纖維復合材料實現(xiàn)機翼形狀控制研究中，一般將變形過程作為靜態(tài)或準靜態(tài)過程進行分析，而沒有考慮變形的動態(tài)過程，如驅動電壓加載時間歷程的影響。在實際應用過程中，往往采用階躍或 斜 坡 等 電 壓 加 載 方 式［10，12－13］，這 些 簡單的電壓輸入形式往往會引起結構的瞬態(tài)和殘余振動，嚴重影響控制效果和精度［13］；相關風洞和飛行試驗也證明了這一點［10，14］。陸宇平和何真［15］指出機翼的形狀控制不僅要求結構能夠精確地達到某種曲面形狀，還要求變形過程能夠滿足一定的動態(tài)性能；因而需要精確的動態(tài)形狀控制，以實現(xiàn)連續(xù)的、光滑的變形。此外，在實際應用中機翼需要按預定程序變形［15］，以實現(xiàn)特定的機動；這就需要設計控制系統(tǒng)跟蹤預期的變形軌跡。Kalaycioglu和Silva［13］的研究表明通過規(guī)劃驅動電壓隨時間的加載歷程可以減少結構的振動幅值。Schrock等［16］研究了MFC驅動的柔性板結構變形的前饋軌跡跟蹤控制，但僅考慮了結構動力學，沒有涉及結構與氣動的耦合效應。在機翼形狀控制研究領域，面向軌跡跟蹤的動態(tài)形狀控制的研究還相對較少。

在本文研究中，利用上下翼面反對稱鋪設的MFC材料為作動器，以提供驅動機翼扭轉變形的控制扭矩。結合機翼結構有限元模型、氣動力載荷和MFC控制載荷，給出了氣動彈性控制方程及狀態(tài)空間模型。利用二次規(guī)劃方法對MFC作動器驅動電壓加載歷程進行了優(yōu)化設計，以跟蹤預設的機翼變形參考軌跡，實現(xiàn)連續(xù)、光滑的動態(tài)形狀控制效果。最后，以某縮比大展弦比機翼模型為例，驗證了本文控制方法的有效性。

1 數(shù)學模型

1．1 模型描述

鋪設MFC作動器的機翼結構示意圖如圖1所示。機翼展長為L、弦長為W、厚度為H；MFC作動器的長度為l、寬度為w、厚度為h。作動器中線與機翼中線重合，其在機翼展向位置可用L1和L2表示。每組MFC作動器均采用上下表面反對稱的鋪設方式（纖維鋪設角度相反）。如此通過施加同向電場，可產(chǎn)生驅動機翼產(chǎn)生扭轉變形的控制扭矩。具體的驅動方式分析將在1．4節(jié)中給出。這種鋪設方式的另一個好處是不會改變機翼彈性軸的位置［7］。

1．2 結構有限元模型

采用四節(jié)點板單元建立機翼的結構有限元模型。由于鋪設的MFC材料會引起結構局部剛度和質(zhì)量特性的改變，研究中結合復合材料層合板理論計算主動單元的剛度矩陣和質(zhì)量矩陣［17］。通過組裝得到總體剛度矩陣和質(zhì)量矩陣，并考慮阻尼效應；柔性機翼的動力學方程可表示為

式中：x為節(jié)點位移向量；M＝Mb＋Ma和K＝Kb＋Ka分別為結構整體質(zhì)量矩陣和剛度矩陣，其中下標b和a分別表示機翼基體材料層和MFC主動材料層對結構質(zhì)量矩陣和剛度矩陣的貢獻；C為阻尼矩陣，研究中采用Rayleigh阻尼假設；Q為空氣動力載荷向量；F為MFC作動器提供的控制載荷向量。

1．3和1．4節(jié)將給出氣動力載荷向量Q和MFC作動器的控制載荷向量F的表達式。

1．3 氣動力載荷

基于Grossman準定常理論建立氣動力模型［18］。不考慮機翼的彎曲變形，將氣動力載荷等效到機翼彈性軸上，如圖2所示。俯仰力矩表達式為

式中：Qm（）x為單位展長機翼繞彈性軸的抬頭氣動力矩；α（）x為扭轉角（迎角）；ρ為空氣密度；V為飛行速度；為升力系數(shù)；b為機翼半弦長；珔a為機翼彈性軸到中弦線之間的無量綱距離。

機翼展向的氣動力分布采用“片條原理”計算［18］。因此，氣動力載荷向量可表示為

式中：Cac和Kac為氣動力影響系數(shù)矩陣。

1．4 MFC控制載荷

圖3給出了機翼上下表面鋪設MFC作動器的機翼局部示意圖。對上下表面作動器施加同向電場，產(chǎn)生的驅動應力如圖3（a）所示?？梢?，由于MFC纖維鋪設方向是反對稱的，能夠產(chǎn)生驅動機翼扭轉變形的扭矩，如圖3（b）所示。圖中Oxyz為機翼總體坐標系，O′123為上表面MFC材料的局部坐標系；其中1方向表示MFC纖維鋪設方向（即材料主軸方向），與x方向夾角為θ（見圖4（a））。MFC作動器產(chǎn)生的驅動應力以及控制載荷向量可利用載荷比擬法計算得到［19］。采用載荷比擬法能夠大大降低有限元模型的自由度，且物理意義直觀，非常適用于工程研究；在機翼等結構的變形和振動主動控制方面得到了應用［7，20－21］。

壓電纖維復合材料總應變可分解為

式中：ε為總應變；εe和εE分別為彈性應變和壓電應變；σ為應力；E為電場強度；s為恒電場強度下的柔度；d為壓電應變常數(shù)矩陣。壓電驅動的比擬應力和比擬載荷表達式為

式中：σs為比擬應力；Fs為等效比擬載荷；A為作動器有效面積；c為彈性矩陣。MFC作動器的厚度h遠小于長度l和寬度w，因此厚度方向的應力σs3可設為零，從而簡化為平面應力問題［7］。MFC材料的1－2平面為正交各向異性平面，其柔度矩陣為

在材料坐標系O′123下的面內(nèi)比擬應力（如圖4（b）所示）為

式中：εE1＝d11E1和εE2＝d12E1為面內(nèi)壓電應變；d11和d12為壓電應變常數(shù)；E1為1方向（MFC材料極化方向）的電場強度。將式（8）展開可得

以上是在材料坐標系下計算得到的應力，利用材料力學中的“莫爾圓”［22］可計算出在機翼總體坐標系下的比擬應力σx、σy和τxy，如圖4（c）所示。例如，上表面鋪設的MFC作動器在L1處形成的扭矩可寫為

綜上，MFC作動器的控制載荷向量可表示為

式中：Fp為作動器單位電壓產(chǎn)生的驅動力；u為加載電壓向量，其維數(shù)與作動器組數(shù)相同。其中，每一組作動器包括上下表面反對稱鋪設的2片MFC作動器。

1．5 模型降階與狀態(tài)空間表達式

將氣動力載荷向量表達式（式（3））和 MFC控制載荷向量表達式（式（12））代入式（1），并整理可得

由于有限元模型單元數(shù)、節(jié)點數(shù)較多，動力學方程式（13）階數(shù)較高，不便于進行控制律設計。研究中采用模態(tài)截斷法進行模型降階［23］，引入式（14）所示的模態(tài)坐標變換。

式中：q為廣義坐標向量；Φ為扭轉振型矩陣。將式（14）代入式（13），在公式兩端左乘ΦT；并進一步整理可得

為便于設計控制器，將系統(tǒng)模型表示為狀態(tài)空間形式為

式中：X＝ qTq［］TT為狀態(tài)變量；y為控制輸出。系統(tǒng)矩陣和控制輸入矩陣的表達式為

設n為被控模態(tài)數(shù)，m為MFC作動器組數(shù)，則X和u分別為維數(shù)為2n×1和m×1的向量，A和B分別為維數(shù)為2n×2n和2n×m的矩陣。

系統(tǒng)的控制輸出y以及輸出矩陣Cy可根據(jù)不同任務或者控制目標而設定，如可將控制輸出y選擇為機翼的翼尖扭轉角度或翼面升力增量等；其中翼面變形引起的升力增量計算公式為

2 機翼動態(tài)形狀前饋跟蹤控制器設計

設計跟蹤控制器的目的是希望機翼形狀的變化能夠跟蹤預設的參考軌跡，實現(xiàn)連續(xù)、光滑的動態(tài)變形過程，滿足特定任務需求，如：按一定規(guī)律增加升力，實現(xiàn)特定的橫滾機動，修正機翼形狀誤差等。

跟蹤控制器的設計可轉化為一個優(yōu)化問題，即通過設計最優(yōu)控制輸入，使得實際控制輸出與預設的參考輸出軌跡之間的誤差最小。

2．1 優(yōu)化問題提法

具有一般性的前饋跟蹤控制問題可以描述為：尋求最優(yōu)控制輸入式（20），使得式（21）的二次型目標函數(shù)（性能指標）取得極小值。

式中：yr為預先給定的參考輸出軌跡；珚Q和R為加權矩陣。目標函數(shù)中的第1項表征實際輸出與參考輸出之間的跟蹤誤差，第2項表征控制能量。式（21）可展開為

此外，設計變量和目標函數(shù)受到系統(tǒng)動力學方程、初邊值條件以及MFC電壓限制等條件的約束。約束方程可表示為

式中：X0為系統(tǒng)初始狀態(tài)；umin和umax為 MFC作動器允許可用的最小和最大加載電壓。

2．2 優(yōu)化方法

式（20）、式（21）和式（23）給出了優(yōu)化問題的三要素：設計變量、目標函數(shù)和約束條件。求解上述優(yōu)化問題可利用多種優(yōu)化算法。該優(yōu)化問題的目標函數(shù)是系統(tǒng)狀態(tài)和輸入的二次型積分表達式，約束條件為線性約束；針對該特點，本研究將采用非線性規(guī)劃理論中的二次規(guī)劃方法對優(yōu)化問題進行求解。首先將目標函數(shù)（積分形式）和系統(tǒng)方程（微分形式）在時間域上采用有限差分法離散；從而將目標函數(shù)和動力學方程轉化為代數(shù)表達式。進而采用二次規(guī)劃方法進行求解，使得目標函數(shù)極小化，并給出對應的最優(yōu)控制輸入。優(yōu)化過程需要考慮不等式約束，因此本文采用二次規(guī)劃理論中的“有效集”算法進行求解［24］。

3 算例與結果分析

3．1 算例介紹

本文以文獻［7］給出的大展弦比機翼縮比模型為例驗證第2節(jié)動態(tài)形狀控制算法的有效性；算例中機翼和MFC作動器的參數(shù)如表1所示。共鋪設2組MFC作動器，上下表面的纖維鋪設角度分別為＋45°、－45°。結構阻尼比設為0．02，用于計算Rayleigh阻尼比例系數(shù)。飛行狀態(tài)設定為：飛行速度V＝120m／s，空氣密度ρ＝0．088 9kg／m3（飛行高度為20km）。

仿真中，首先以翼尖扭轉角為控制輸出。設機翼初始為未變形狀態(tài)，初始控制輸入為零，即X0＝0，u0＝0。期望通過控制作用使機翼的翼尖扭和式（17）可求出達到期望控制輸出所需的MFC作動器穩(wěn)態(tài)電壓值為uf＝［379．1 531．8］TV。值得一提的是，如果不考慮氣動力載荷的作用，即令Q＝0，則所需電壓值為［424．9 597．7］TV；這體現(xiàn)了氣動彈性效應的影響。

表1 仿真中機翼與MFC作動器的參數(shù)Table 1 Parameters of wing and MFC actuators in simulations

如前所述，MFC作動器電壓加載的時間歷程（電壓值從u0加載到uf的過程）對機翼變形過程的動態(tài)響應有較大影響。圖5給出了機翼翼尖扭轉角和翼面升力在斜坡電壓加載歷程下的響應曲線。在這種加載方式下，機翼達到目標形狀后仍存在殘余振動。雖然機翼的振動幅值在阻尼作用下會逐漸衰減，但所需時間較長；短時間內(nèi)機翼振動得不到有效抑制。文獻［10］進行了利用MFC驅動機翼變形實現(xiàn)小型飛行器飛行控制的試驗；試驗中采用了階躍輸入信號。文章中指出施加電壓后機翼產(chǎn)生了低頻的扭轉振動，導致明顯降低了實際控制效果。因此如果在實際應用中采用這類簡單的電壓加載方式，容易導致機翼振動和氣動力波動的問題。機翼振動會嚴重降低形狀控制精度，引起結構的強度和疲勞問題；而氣動力的波動會對飛行器飛行穩(wěn)定性造成不利影響。

3．2 機翼動態(tài)形狀控制

為實現(xiàn)連續(xù)、光滑的動態(tài)形狀控制過程，提高控制精度，圖6給出了一條預先設計的控制輸出參考軌跡。跟蹤該參考軌跡有兩個作用：① 實現(xiàn)特定的動態(tài)控制目標，達到所需控制性能；② 抑制機翼在形狀控制過程中的瞬態(tài)和殘余振動。

利用第2節(jié)給出的前饋跟蹤控制方法，可以規(guī)劃出實現(xiàn)跟蹤圖6給出的參考軌跡所需的最優(yōu)控制輸入，如圖7（a）所示。在最優(yōu)控制輸入作用下，機翼翼尖扭轉角的響應曲線如圖7（b）所示。

可以看出，在二次規(guī)劃方法優(yōu)化設計得到的MFC作動器最優(yōu)電壓加載歷程下，機翼形狀的變化過程很好地跟蹤了預設參考軌跡；且沒有產(chǎn)生明顯的瞬態(tài)和殘余振動，實現(xiàn)了連續(xù)、光滑的形狀控制效果。

增加升力以提高飛行器氣動性能是機翼主動形狀控制的重要目的之一［6］。下面以翼面升力增量為控制輸出給出機翼動態(tài)形狀控制效果。為滿足飛行機動的需要，假設需要翼面升力按圖8給出的參考軌跡規(guī)律增加。

利用第2節(jié)給出的前饋跟蹤控制算法，可以計算出跟蹤預期升力變化軌跡所需的最優(yōu)控制輸入如圖9（a）所示，跟蹤控制效果如圖9（b）所示。

可以看出，利用優(yōu)化設計得到了MFC作動器最優(yōu)電壓加載歷程，翼面升力的變化過程很好地跟蹤了預設的參考軌跡。氣動力沒有產(chǎn)生明顯波動，這對于飛行器的飛行穩(wěn)定性具有重要作用。

對比圖5、圖7和圖9，在利用壓電纖維復合材料實現(xiàn)機翼形狀控制過程中，不僅需要機翼能夠精確地達到某個形狀，還須滿足一定的動態(tài)性能。利用本文的前饋跟蹤控制算法，可以規(guī)劃出最優(yōu)電壓加載歷程，實現(xiàn)較好的軌跡跟蹤控制，可以提高機翼動態(tài)形狀控制效果和飛行器飛行性能。

4 結 論

1）利用MFC材料面內(nèi)驅動的各向異性特點，在機翼上下表面反對稱鋪設MFC作動器可實現(xiàn)機翼的扭轉控制。

2）建立了MFC驅動的機翼氣動彈性主動控制方程；仿真結果表明，不合理的電壓加載方式會引起機翼瞬態(tài)和殘余振動，影響形狀控制效果。

3）基于給定的預設控制輸出參考軌跡，利用二次規(guī)劃方法，通過優(yōu)化設計得到了最優(yōu)電壓控制輸入信號，較好地跟蹤了參考軌跡，實現(xiàn)了連續(xù)、光滑的機翼動態(tài)形狀控制效果。

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Dynamic shape control of wings using piezoelectric fiber composite materials

WANG Xiaoming1，ZHOU Wenya2，＊，WU Zhigang1，2
1．State Key Laboratory of Structural Analysis for Industrial Equipment，Department of Engineering Mechanics，Dalian University of Technology，Dalian 116024，China
2．School of Aeronautics and Astronautics，Dalian University of Technology，Dalian 116024，China

The structure efficiency and aerodynamic performance of flexible wings can be effectively improved with active shape control using piezoelectric materials．In order to realize the effect of continuous smooth dynamic shape control with high precision，some dynamical requirements must be satisfied in shape control process of the wings．In this study，new piezoelectric fiber composite materials—macro fiber composite（MFC），which are laid anti－symmetrically on the top and bottom wing surfaces，are used for actuation to achieve feedforward tracking control of twist motion of the wing．The structural finite element model for the wing and the aerodynamic loads are established．The control input vector for the MFC is obtained using load simulation method．The active aeroelastic equations and the state space representation are presented．In order to track the pre－defined deformation reference trajectory，the voltage profiles for MFC actuators are optimized with time－domain integration of tracking errors being chosen as the objective function．The simulation results show that the aeroelastic responses of the wing follow the prospective reference trajectory well with application of the optimal voltage profiles．Continuous smooth dynamic shape control effect has been realized，and control precision has been improved．

flexible wings；piezoelectric fiber composite materials；MFC；aeroelasticity；feedforward control；quadratic programming

2016－04－11；Revised：2016－05－15；Accepted：2016－07－06；Published online：2016－07－21 08：39

URL：www．cnki．net／kcms／detail／11．1929．V．20160721．0839．002．html

s：National Natural Science Foundation of China（11432010，11502041）

V214．3

A

1000－6893（2017）01－220313－09

http：／hkxb．buaa．edu．cn hkxb＠buaa．edu．cn

10．7527／S1000－6893．2016．0207

2016－04－11；退修日期：2016－05－15；錄用日期：2016－07－06；網(wǎng)絡出版時間：2016－07－21 08：39

www．cnki．net／kcms／detail／11．1929．V．20160721．0839．002．html

國家自然科學基金 （11432010，11502041）

＊通訊作者 ．E－mail：zwy＠dlut．edu．cn

王曉明，周文雅，吳志剛．壓電纖維復合材料驅動的機翼動態(tài)形狀控制［J］．航空學報，2017，38（1）：220313．WANG X M，ZHOU W Y，WU Z G．Dynamic shape control of wings using piezoelectric fiber composite materials［J］．Acta Aeronautica et Astronautica Sinica，2017，38（1）：220313．

（責任編輯：徐曉）

＊Corresponding author．E－mail：zwy＠dlut．edu．cn