姚力波， 劉 瑜， 董 凱， 熊 偉

(海軍航空工程學(xué)院 信息融合研究所， 山東 煙臺(tái) 264001)

基于矩陣?yán)碚摰摹皵?shù)字信號(hào)處理”教學(xué)研究

姚力波， 劉 瑜， 董 凱， 熊 偉

(海軍航空工程學(xué)院 信息融合研究所， 山東 煙臺(tái) 264001)

本文從矩陣?yán)碚摰慕嵌瘸霭l(fā)，分析數(shù)字信號(hào)及其處理，研究了離散傅立葉變換和數(shù)字濾波器的矩陣表示，通過分析得出，矩陣?yán)碚撌恰皵?shù)字信號(hào)處理”課程最基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)理論，向量和矩陣能夠更有效地表達(dá)數(shù)字信號(hào)及其處理，更有利于數(shù)字信號(hào)的分析。最后結(jié)合Matlab編程語言，給出了數(shù)字信號(hào)及其處理的矩陣表示和編程方法示例。

數(shù)字信號(hào)處理；矩陣?yán)碚?；Matlab

0 引言

“數(shù)字信號(hào)處理”課程是一門電子信息工程、通信工程、測(cè)控儀器、計(jì)算機(jī)等本科專業(yè)必修的基礎(chǔ)課程，同時(shí)也是上述專業(yè)研究生入學(xué)考試的專業(yè)考核基礎(chǔ)課程之一[1]。

“數(shù)字信號(hào)處理”是在“線性代數(shù)”、“信號(hào)與系統(tǒng)”等課程之后，在“現(xiàn)代數(shù)字信號(hào)處理”、“數(shù)字圖像處理”等課程之前開設(shè)的，具有極強(qiáng)的理論性和技術(shù)性，其顯著的特點(diǎn)是概念抽象繁多，公式證明繁瑣。

傳統(tǒng)的“數(shù)字信號(hào)處理”教學(xué)是以傅立葉變換和采樣定理為出發(fā)點(diǎn)，推導(dǎo)建立起數(shù)字信號(hào)處理的理論體系，雖然以數(shù)學(xué)變換為主線講解，但對(duì)于數(shù)字信號(hào)處理的數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)討論較少，不利于此后進(jìn)一步學(xué)習(xí)小波變換、多維數(shù)字信號(hào)處理等現(xiàn)代數(shù)字信號(hào)處理。同時(shí)，由于采用公式推導(dǎo)的方式講解，計(jì)算結(jié)果是以解析式的方式給出，不利于與Matlab等軟件編程進(jìn)行結(jié)合教學(xué)。

本文從矩陣?yán)碚摻嵌瘸霭l(fā)，分析數(shù)字信號(hào)、數(shù)字信號(hào)處理的矩陣?yán)碚摶A(chǔ)，并結(jié)合Matlab編程軟件，將先修的“線性代數(shù)”相關(guān)知識(shí)引入到“數(shù)字信號(hào)處理”課程教學(xué)中，使學(xué)生更加容易系統(tǒng)地理解數(shù)字信號(hào)處理的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和物理意義，提高學(xué)生對(duì)數(shù)字信號(hào)處理的理論認(rèn)識(shí)水平和實(shí)際設(shè)計(jì)能力。

1 基于矩陣?yán)碚摰臄?shù)字信號(hào)處理分析

1.1數(shù)字信號(hào)的矩陣分析

實(shí)際生活和工作中的信號(hào)大部分是模擬信號(hào)，數(shù)字信號(hào)處理則是采用專用數(shù)字信號(hào)處理芯片或者通用計(jì)算機(jī)來實(shí)現(xiàn)，其計(jì)算基礎(chǔ)是布爾代數(shù)，處理對(duì)象是數(shù)字信號(hào)。因此，無論是一維的語音信號(hào)，還是二維的圖像信號(hào)，或是陣列接收的多維信號(hào)，都必須先通過模數(shù)(A/D)轉(zhuǎn)換器轉(zhuǎn)換為數(shù)字信號(hào)，經(jīng)過A/D轉(zhuǎn)換后的數(shù)據(jù)都是二進(jìn)制表示的數(shù)字信號(hào)，并且以向量或者矩陣的形式存儲(chǔ)和處理的。

矩陣?yán)碚撗芯康膶?duì)象之一是線性空間，線性空間是對(duì)集合的元素在線性運(yùn)算方面所表現(xiàn)出來的共性加以概括而形成的概念，其元素可以是數(shù)學(xué)對(duì)象(如函數(shù))，也可以是物理對(duì)象(如力、速度)等。數(shù)字信號(hào)處理的對(duì)象是采樣數(shù)字化后形成的以向量或矩陣形式表示的有限長(zhǎng)度的數(shù)字信號(hào)，此類數(shù)字信號(hào)所屬的元素集合及其加法、數(shù)乘運(yùn)算也滿足線性空間的要求，構(gòu)成一個(gè)有限維線性空間[2]。

1.2數(shù)字信號(hào)處理的矩陣分析

“數(shù)字信號(hào)處理”課程的核心內(nèi)容是離散傅立葉變換DFT(Discrete Fourier Transform)和數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)，DFT也可以看作一種數(shù)字濾波器，數(shù)字濾波器通常是離散線性移不變LSI系統(tǒng)，其基本運(yùn)算是相乘和卷積。假設(shè)數(shù)字濾波器的單位沖激響應(yīng)h(n)，其長(zhǎng)度為N，輸入信號(hào)x(n)，其長(zhǎng)度為M，輸出信號(hào)y(n)，長(zhǎng)度為L(zhǎng)，數(shù)字濾波器時(shí)域計(jì)算公式為[3]

(1)

用向量和矩陣形式可以表示為

y=xH

(2)

其中：

x=[x(0)x(1) …x(M-1)]

(3)

y=[y(0)y(1) …y(L-1)]

(4)

y(n)的下標(biāo)區(qū)間為0≤n≤N+M-2，因此，可以推導(dǎo)出L=N+M-1。

(5)

由上式可見，H共有M行，L+M-1列，是一個(gè)Toeplitz矩陣，其各行依次等于前一行右移一個(gè)位置補(bǔ)零形成，平行于主對(duì)角線的各對(duì)角線元素相同。

矩陣?yán)碚摿硪粋€(gè)研究對(duì)象是線性映射，線性映射研究線性空間之間的關(guān)系。線性映射滿足可加性和齊次性，線性空間上的線性映射可以用具體的矩陣來處理。“數(shù)字信號(hào)處理”課程講解的數(shù)字濾波器滿足可加性、齊次性和移不變性。以一維數(shù)字濾波器為例，如果濾波器處理的是復(fù)數(shù)信號(hào)，則輸入信號(hào)x(n)是一個(gè)M維復(fù)數(shù)向量，輸出信號(hào)y(n)是一個(gè)L維復(fù)數(shù)向量，即x(n)CM，y(n)CL，數(shù)字濾波器時(shí)域運(yùn)算可以看作是由線性空間CM到線性空間CL的一個(gè)線性映射，該線性映射對(duì)應(yīng)的映射矩陣為HCM×L，通過研究該映射矩陣的數(shù)學(xué)特性能夠?qū)?yīng)描述該數(shù)字濾波器的特性。

離散傅立葉變換DFT既可以從線性映射的角度分析，也可以從線性空間的角度進(jìn)行分析。以N點(diǎn)有限長(zhǎng)一維數(shù)字信號(hào)x(n)為例，其N點(diǎn)DFT變化公式為[4]

(6)

用向量和矩陣形式可以表示為

X=WNx

(7)

其中：

x=[x(0)x(1) …x(N-1)]T

(8)

X=[X(0)X(1) …X(N-1)]T

(9)

(10)

可以看出，X是WN列向量的線性組合，其坐標(biāo)系數(shù)為x。

類似的，數(shù)字信號(hào)處理中的卷積、相關(guān)、相乘等運(yùn)算都可以在矩陣?yán)碚撝姓业狡鋽?shù)學(xué)理論基礎(chǔ)。因此，數(shù)字信號(hào)處理的本質(zhì)就是數(shù)學(xué)意義上的映射(變換)，線性映射又可以用矩陣?yán)碚撝R(shí)來研究。

2 基于Matlab的數(shù)字信號(hào)處理矩陣

“數(shù)字信號(hào)處理”課程既需要嚴(yán)密數(shù)學(xué)理論推導(dǎo)，同時(shí)其處理和分析的實(shí)現(xiàn)也需要大量計(jì)算才能實(shí)現(xiàn)。Matlab編程軟件以矩陣運(yùn)算為基礎(chǔ)，擁有強(qiáng)大的矩陣運(yùn)算能力，具有算法開發(fā)、數(shù)據(jù)可視化、數(shù)據(jù)分析、數(shù)值計(jì)算和系統(tǒng)模擬等功能，已經(jīng)成為本科生和研究生必須掌握的一項(xiàng)基本能力，是高校教學(xué)應(yīng)用的重要軟件工具。下面以Matlab為編程環(huán)境，對(duì)基于矩陣?yán)碚摰臄?shù)字信號(hào)生成和處理進(jìn)行仿真設(shè)計(jì)和分析。

2.1基于Matlab的矩陣信號(hào)表示

模擬信號(hào)經(jīng)過采樣后，形成一個(gè)有限長(zhǎng)序列，如果滿足采樣定理，即采樣頻率大于模擬信號(hào)中最高頻率成分的兩倍，就能夠保證采樣后信號(hào)不失真。因此，通常數(shù)字信號(hào)處理的研究對(duì)象是有限長(zhǎng)序列，可以用一個(gè)向量來表示，但是向量并沒有包含采樣位置的信息。因此，完全表示數(shù)字信號(hào)x(n)需要x和n兩個(gè)向量，如果其長(zhǎng)度為N，則0≤n≤N-1，而Matlab中變量下標(biāo)從1開始，1≤n≤N。

例如長(zhǎng)度N=4，起始下標(biāo)n=-1的矩形序列可以表示為

x=[1,1,1,1];n=[-1,0,1,2]

(11)

2.2基于Matlab的矩陣信號(hào)運(yùn)算

Matlab即“矩陣實(shí)驗(yàn)室”，是以矩陣為基本運(yùn)算單元，直接處理向量或矩陣。Matlab中矩陣或者向量可以直接按行方式輸入每個(gè)元素，并且提供了許多生成向量和矩陣的函數(shù)，例如linspace、sym、zeros、eye、ones、rand、logspace等函數(shù)。Matlab還提供了信號(hào)處理工具箱，包括數(shù)字信號(hào)分析、IIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)、FIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)、窗函數(shù)等，并且提供了圖形可視化等用戶接口[5]。

以一維數(shù)字信號(hào)x(n)離散傅立葉變換計(jì)算為例，相關(guān)矩陣Matlab計(jì)算如下：

t=linspace(1e-3,100e-3,10)%s時(shí)間序列

xn=sin(100*2*pi*t)%生成信號(hào)序列

N=length(xn)%計(jì)算序列長(zhǎng)度

WNnk=dftmtx(N)%計(jì)算DFT系數(shù)矩陣

Xk=xn(N)*WNnk%計(jì)算DFT

可見，結(jié)合矩陣?yán)碚摵蚆atlab能夠清晰展示數(shù)字信號(hào)處理概念、性質(zhì)的物理意義，并且?guī)椭鷮W(xué)生擺脫繁瑣的數(shù)值計(jì)算，更加關(guān)注數(shù)字信號(hào)處理的方法和應(yīng)用。

3 結(jié)語

“數(shù)字信號(hào)處理”課程培養(yǎng)學(xué)生理論理解和實(shí)踐分析兩方面的能力，綜合性較強(qiáng)。本文從矩陣?yán)碚摰慕嵌龋瑢?duì)“數(shù)字信號(hào)處理”課程的教學(xué)提出了建議和方法，通過分析得出，矩陣?yán)碚撌菙?shù)字信號(hào)處理最基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)理論，向量和矩陣能夠更有效地表達(dá)數(shù)字信號(hào)及其處理，更有利于數(shù)字信號(hào)的分析，更適合于運(yùn)用Matlab進(jìn)行程序設(shè)計(jì)和實(shí)現(xiàn)。

[1] 邱關(guān)源, 羅先覺主編. 電路(第四版)[M]. 北京: 高等教育出版社, 1999年6月.

[2] 張賢達(dá). 矩陣分析與應(yīng)用[M]. 北京:清華大學(xué)出版社，2013年.

[3] 程佩青. 數(shù)字信號(hào)處理(第四版)[M]. 北京：清華大學(xué)出版社，2013年.

[4] 陳懷琛. 數(shù)字信號(hào)處理教程-Matlab釋義與實(shí)現(xiàn)[M]. 北京：電子工業(yè)出版社，2004年.

[5]羅軍會(huì)，羅永江，白義臣等. Matlab7.0在數(shù)字信號(hào)處理中的應(yīng)用[M]. 北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2005年.

TheTeachingResearchofDigitalSignalProcessingBasedonMatrixTheory

YAOLi-bo,LIUYu,DONGKai,XIONGWei

(InstituteofInformationFusion,NavalAeronauticalandAstronauticalUniversity,Yantai264001,China)

This paper analyzes digital signal processing using matrix theory and studies the representation of DFT (Discrete Fourier Transform ) and digital filter using matrix (vector) form. Matrix theory is the mathematic fundamental of Digital Signal Processing course. The representation of digital signal using matrix (vector) form is more efficient for digital signal analysis and programming design. In the end, the representation of digital signal and its′ processing is designed using Matlab.

digital signal processing; matrix theory; Matlab

2016-09-27;

2017-01-08

姚力波(1980-)，男，博士，講師，主要從事衛(wèi)星遙感數(shù)據(jù)處理、信息融合研究工作，E-mail：yirujiwang0511@gmail.com

G642.0

A

1008-0686(2017)05-0097-03