孫文豪， 張鋒， 汪涵， 羅順安， 李海燕

(華僑大學 機電及自動化學院， 福建 廈門 361021)

應用SOFxLMS算法的振動主動控制MATLAB仿真

孫文豪， 張鋒， 汪涵， 羅順安， 李海燕

(華僑大學 機電及自動化學院， 福建 廈門 361021)

為了改進振動主動控制中控制算法的性能和提高對振動的控制效果，以濾波-x型最小均方(FxLMS)算法為基礎改進得到SOFxLMS算法.在MATLAB/SIMULINK中利用level-2 S-函數(shù)搭建算法的自定義模塊和仿真結(jié)構(gòu)框圖，在保證系統(tǒng)穩(wěn)定及相同條件下分別對兩種算法進行仿真對比.結(jié)果表明：改進后的SOFxLMS算法有效，且具有更好的收斂性能；在振動主動控制中濾波器階數(shù)較少、迭代步長較大的情況下具有更好的控制效果.

振動主動控制； SOFxLMS算法； FxLMS算法； 次級通道； 脈沖響應系數(shù)； MATLAB仿真

振動主動控制是根據(jù)傳感器獲得的振動信號，通過作動器產(chǎn)生一個與振源大小相等、相位相反的振動信號來抵消有害振動[1].由于主動控制具有適應性強，控制效果好，計算復雜度低，能彌足被動控制技術(shù)的不足等優(yōu)點，成為近年來振動控制工程領域的熱點[2].控制算法是振動主動控制器的核心部分，而FxLMS(filtered-x least mean square)算法穩(wěn)定性好，能夠根據(jù)具體實際情況進行適應調(diào)整，被應用于時不變系統(tǒng)，是振動控制領域應用最廣泛的算法之一[3-4].目前,對FxLMS算法的研究多側(cè)重于其自身特性及改進結(jié)構(gòu)后在控制系統(tǒng)中應用.Qiu等[5]分析時域中影響單輸入單輸出FxLMS算法控制輸出的3個因素，提出了相應的解決方案.Chang等[6]提出一種基于神經(jīng)網(wǎng)絡的FxLMS算法來抵消非線性寬頻帶噪聲.Tang等[7]針對短暫的傅里葉變換的主動噪聲控制研究提出一種時頻域FxLMS算法，與時域FxLMS算法相比，此算法擁有更好的收斂性能和較低的計算復雜度.李以農(nóng)等[8]針對齒輪傳動系統(tǒng)振動主動控制，提出一種次級通道在線辨識的反饋FxLMS算法.Bo等[9]針對窄頻帶主動噪聲控制提出一種累積加權(quán)FxLMS算法，通過將動量LMS算法應用到FxLMS算法中改進得來.Song等[10]針對主動噪聲控制應用了一種基于FxLMS算法修正的可優(yōu)化變步長的仿射投影算法.以上諸多針對提升算法收斂速度和降低穩(wěn)態(tài)誤差的研究雖在一定程度上達到了預期效果，但往往增加了算法在結(jié)構(gòu)和計算上的復雜度.本文基于對FxLMS算法的分析，提出應用一種改進的SOFxLMS(self-orthogonalizing filtered-x least mean square)算法，并將SOFxLMS算法與FxLMS算法分別應用到振動主動控制的仿真研究中，對算法的整體性能和振動控制效果進行對比分析及驗證.

圖1 FxLMS算法結(jié)構(gòu)框圖Fig.1 FxLMS algorithm structure

1 SOFxLMS算法結(jié)構(gòu)

FxLMS算法的結(jié)構(gòu)框圖,如圖1所示.在FxLMS算法中，首先,參考信號X(n)經(jīng)過初級通道濾波延遲后得到初始振動信號；同時，參考信號X(n)經(jīng)模擬次級通道的模型后得到濾波后的輸入信號XS(n)；然后，XS(n)與誤差信號e(n)的乘積作為誤差梯度的估計值參與到算法的權(quán)值迭代過程之中.

誤差信號e(n)為初始振動信號d(n)與控制器輸出的反振動信號YS(n)之和，即e(n)=d(n)-YS(n)；N階FIR濾波器的輸出Y(n)等于卷積運算，有

在仿真中，次級通道傳遞函數(shù)在時域內(nèi)可以用m階FIR濾波器來建模，即S=[S0，S1，…，Sm-1]；而濾波后的輸入信號則為

控制器產(chǎn)生的控制信號等于濾波器與次級通道傳遞函數(shù)的卷積，即YS(n)=Y(n)S.

次級通道主要包括D/A轉(zhuǎn)換器、功率放大器、作動器、物理通道、誤差傳感器及其他成分.當參考信號通過次級通道濾波后，輸入信號的自相關(guān)矩陣就不再對角化，且矩陣的特征值擴散度就會增大，算法的收斂速度就會降低[11].當次級通道的脈沖響應系數(shù)可知，就可利用其相關(guān)元素使濾波后輸入信號的自相關(guān)矩陣對角化，并將輸入信號的自相關(guān)矩陣的變形應用到算法的權(quán)值迭代更新公式中，從而得到改進后的SOFxLMS算法.因此，SOFxLMS算法是FxLMS算法運用一種數(shù)學的方法改進得來，故SOFxLMS算法的結(jié)構(gòu)與FxLMS算法無異.SOFxLMS算法的權(quán)值迭代公式為

圖2 SOFxLMS算法程序流程圖Fig.2 Flow chart of SOFxLMS algorithm

式(3)為SOFxLMS算法的權(quán)值迭代推導公式，在實際算法中,可按照以上公式設計算法的程序.SOFXLMS算法程序流程圖，如圖2所示.

2 SOFxLMS和FxLMS算法模塊的建立

MATLAB/Simulink中的信號處理工具箱可進行數(shù)字信號處理系統(tǒng)設計仿真及分析.由于level-1 S-函數(shù)無法處理復數(shù)數(shù)據(jù)及基于幀的數(shù)據(jù)，故采用SIMULINK中的level-2 S-函數(shù).分別自定義SOFxLMS和FxLMS控制算法模塊，采用M語言編寫算法程序.

文中利用主要的函數(shù)體完成基于level-2 S-函數(shù)的SOFxLMS和FxLMS控制算法模塊.在建立SOFxLMS和FxLMS算法模塊時主要應用以下回調(diào)方法.

1) 用Setup函數(shù)體進行模塊的初始化工作，而在構(gòu)建算法模塊時必須用到Setup函數(shù)體來執(zhí)行以下3類任務：① 設置參考信號，即濾波后輸入信號和誤差信號3個輸入端口，以及權(quán)值迭代系數(shù)和控制信號兩個輸出端口；② 設置端口的屬性，即維數(shù)、復雜度、數(shù)據(jù)類型及采樣時間；③ 設置對話參數(shù)并檢驗參數(shù)的有效性.

2) 用CheckPrms函數(shù)體檢驗算法步長μ值的合法性，如果對話參數(shù)超出自定義范圍，則程序進行報錯指示.

3) 設置變量的初始屬性.為了進行數(shù)據(jù)的及時更新，用DoPostPropSetup函數(shù)體建立兩個Dwork向量，分別為參考信號迭代向量X(n)和權(quán)值迭代向量ω.當搭建的 S-函數(shù)模塊被多次調(diào)用，則必須采用Dwork向量，而不能采用全局或靜態(tài)變量.

4) 用Start函數(shù)體設置Dwork向量的初值為0.

5) 用Outputs函數(shù)體將SOFxLMS和FxLMS算法的權(quán)值迭代,以及更新濾波器參數(shù)的計算結(jié)果送至輸出端.

3 算法實現(xiàn)及仿真驗證

為了對自建的SOFxLMS和FxLMS兩種算法模塊進行驗證，按照模塊化建模的思想[12]，在SIMULINK中分別搭建基于以上兩種算法的振動主動控制的仿真結(jié)構(gòu)，如圖3，4所示.

分別取激勵源為100,110,120 Hz，且幅值均為1的3個正弦信號和隨機信號疊加后作為模擬的初始振動信號;初級通道和次級通道均采用FIR濾波器，控制濾波器階數(shù)N分別設定為50,80及110;算法步長μ分別設為0.010 0,0.001 0及0.000 1，采樣時間為0.000 1 s，仿真時間為10 s.

圖3 FxLMS算法仿真結(jié)構(gòu)框圖Fig.3 Simulation structure of FxLMS algorithms

圖4 SOFxLMS算法仿真結(jié)構(gòu)框圖Fig.4 Simulation structure of SOFxLMS algorithms

在保證系統(tǒng)穩(wěn)定和其他基本條件相同的前提下，對兩種算法采用相同控制濾波器階數(shù)，不同的迭代步長進行3組仿真研究，并通過對比分析兩種算法的收斂性能和振動主動控制效果.設定初級通道傳遞函數(shù)P(z)及次級通道傳遞函數(shù)S(z)[2]分別為

3.1算法的權(quán)值迭代圖和時域控制效果圖

當濾波器階數(shù)N分別為50，80,100時，兩種算法的權(quán)值收斂和振動時域控制效果圖，分別如圖5～7所示.圖5～7中：ω為權(quán)值；A為振幅；t為仿真時間.

由圖5可知：當兩種算法在濾波器階數(shù)N=50時的條件下，SOFxLMS算法在步長μ=0.001時開始收斂，算法在時域內(nèi)表現(xiàn)出良好的控制效果；而FxLMS算法始終發(fā)散，并沒有產(chǎn)生控制效果.

由圖6可知：當兩種算法濾波器階數(shù)增加至N=80時，SOFxLMS算法在步長達到0.001時開始收斂，表現(xiàn)出良好的振動控制效果；而FxLMS算法的迭代步長減小至μ=0.000 1時，仍舊無法收斂，但有呈現(xiàn)出欲收斂的態(tài)勢，也表現(xiàn)出一定的控制效果.

由圖7可知：當濾波器階數(shù)繼續(xù)增至N=110時，SOFxLMS算法依舊在μ=0.001時開始收斂，而FxLMS算法在μ=0.000 1時也開始收斂，而且兩種算法的控制效果也都較為明顯.

由圖5,6,7的(a),(c)可知:當算法濾波器階數(shù)N一定時，減小算法的迭代步長，F(xiàn)xLMS算法未開始收斂時，SOFxLMS算法已經(jīng)開始收斂，所以SOFxLMS算法整體上要比FxLMS算法表現(xiàn)出更出色的收斂性能.另外，不難發(fā)現(xiàn)當算法的迭代步長減小到一定時，增加濾波器階數(shù)，兩種算法最終都表現(xiàn)為收斂.當算法的迭代步長達到μ=0.000 1時，濾波器階數(shù)從N=50逐漸增加至N=110時，兩種算法都開始收斂.由圖5，6，7的(b)，(d)可知：SOFxLMS算法在收斂的同時也表現(xiàn)出良好的控制效果和控制穩(wěn)定性.

(a) SOFxLMS算法權(quán)值迭代(μ=0.001) (b) SOFxLMS算法時域控制(μ=0.001)

(c) FxLMS算法權(quán)值迭代(μ=0.000 1) (d) FxLMS算法時域控制(μ=0.000 1)圖5 兩種算法權(quán)值收斂和振動時域控制效果圖(N=50)Fig.5 Two algorithm convergence curve of weight and active vibration control effect (N=50)

(a) SOFxLMS算法權(quán)值迭代(μ=0.001) (b) SOFxLMS算法時域控制(μ=0.001)

(c) FxLMS算法權(quán)值迭代(μ=0.000 1) (d) FxLMS算法時域控制(μ=0.000 1)圖6 兩種算法的權(quán)值收斂圖和振動時域控制效果圖(N=80)Fig.6 Two algorithm convergence curve of weight and active vibration control effect (N=80)

通過分析兩種算法的權(quán)值迭代圖和振動時域控制效果圖，可以發(fā)現(xiàn)FxLMS算法在濾波器階數(shù)相對較多和迭代步長較小的條件下收斂效果要優(yōu)于SOFxLMS算法，控制效果也較好，如圖7(d)，(e)所示.當濾波器階數(shù)逐漸減少，同時迭代步長增大，F(xiàn)xLMS算法的性能明顯不如SOFxLMS算法，而且最終控制效果也明顯劣于后者.

(a) SOFxLMS算法權(quán)值迭代(μ=0.001) (b) SOFxLMS算法時域控制(μ=0.001)

(c) FxLMS算法權(quán)值迭代(μ=0.000 1) (d) FxLMS算法時域控制 (μ=0.000 1)

(e) SOFxLMS算法時域控制(μ=0.000 1)圖7 兩種算法的權(quán)值收斂和振動時域控制效果圖(N=110)Fig.7 Two algorithm convergence curve of weight and active vibration control effect (N=110)

縱觀圖5～7可知：在濾波器階數(shù)由少變多的大范圍內(nèi)，SOFxLMS算法的收斂性能和收斂速度較FxLMS算法有明顯優(yōu)越性.綜合整體性能考慮，改進后SOFxLMS算法相對FxLMS算法在振動主動控制的研究中具有一定的進步和優(yōu)勢.

3.2算法的頻域控制效果圖

雖然通過時域控制效果圖可以明顯看出兩種算法的控制效果，但為了進一步證明兩種算法的有效性和在初始振動信號對應頻率(f)所產(chǎn)生的控制效果，文中列舉一組對比圖進行分析證明.在濾波器階數(shù)N=110，迭代步長μ=0.000 1時,根據(jù)圖7(d)，(e)進行傅里葉變換得到兩種算法在振動頻域內(nèi)的控制效果圖，分別如圖8(a)，(b)所示.圖8中：S(x)為功率譜密度;f為頻率.

(a) FxLMS算法 (b) SOFxLMS算法 圖8 兩種算法的頻域控制效果(N=110，μ=0.000 1)Fig.8 Two algorithm control effect in frequency domain (N=110， μ=0.000 1)

由圖8(a)，(b)對比可知：兩種算法在目標頻率處都有明顯的控制效果，但FxLMS算法要較好于SOFxLMS算法，這說明FxLMS算法只在階數(shù)較多、步長較小的良好條件下控制效果要強于SOFxLMS算法，但并不影響改進后的SOFxLMS算法的整體性能和對振動的控制效果.

4 結(jié)論

以FxLMS算法為基礎改進得到SOFxLMS算法，通過改變次級通道脈沖響應系數(shù)，從而降低次級通道的影響和提高濾波x型最小均方(FxLMS)算法的收斂速度.利用MATLAB/SIMULINK中相應的模塊搭建控制結(jié)構(gòu)，對以上兩種算法的控制性能進行分析和驗證，得到以下3點主要結(jié)論.

1) 將改進后的SOFxLMS算法應用到振動主動控制仿真研究中，利用次級通道脈沖響應系數(shù)的元素使輸入信號的自相關(guān)矩陣對角化，降低了次級通道對參考信號的影響.仿真結(jié)果證明了改進的SOFxLMS算法的正確性及實效性.

2) 仿真結(jié)果表明，當算法的調(diào)節(jié)參數(shù)在一定范圍內(nèi)，改進后的SOFxLMS算法較FxLMS算法在收斂速度和振動控制效果等方面得到明顯的提高和改善，且參考信號的主要頻率成分也得到有效抑制.

3) 當控制算法的濾波器階數(shù)逐漸增大，計算復雜度增加，迭代步長逐漸減小，算法整體上收斂速度變慢，F(xiàn)xLMS算法比SOFxLMS算法逐漸表現(xiàn)出更好的控制效果和收斂穩(wěn)定性.

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(責任編輯： 陳志賢英文審校： 崔長彩)

MATLABSimulationofActiveVibrationControlUsingSOFxLMSAlgorithm

SUN Wenhao， ZHANG Feng， WANG Han， LUO Shunan， LI Haiyan

(College of Mechanical Engineering and Automation， Huaqiao University， Xiamen 361021， China)

In order to improve the performance of the control algorithm in active vibration control, an improved algorithm SOFxLMS was obtained based on the filtered-x least mean square (FxLMS) algorithm. The level-2 S-function was utilized to set up the custom blocks of the algorithms and the block-diagram of simulation in MATLAB/SIMULINK. Two algorithms are simulated and compared under the conditions of ensuring the system stability and the same conditions. The results verified that the improved SOFxLMS algorithm is effective and has better convergence performance, and it has the better control effect under the conditions with lower order and larger iteration step size.

active vibration control； SOFxLMS algorithm； FxLMS algorithm； secondary channel； impulse response coefficient； MATLAB simulation

10.11830/ISSN.1000-5013.201611025

TB 535

A

1000-5013(2017)06-0779-07

2016-11-18

張鋒(1979-)，男，講師，博士，主要從事從事齒輪動力學、振動主動控制、壓電智能材料等的研究.E-mail:alwaysqing@126.com.

國家自然科學基金資助項目(51405169)； 福建省自然科學基金面上資助項目(2015J01636)