王辛望，沈小林，劉新生

（1.中北大學(xué)計(jì)算機(jī)與控制工程學(xué)院，山西 太原 030051；2.江蘇曙光光電有限公司，江蘇 揚(yáng)州 225009）

改進(jìn)小波閾值法在MEMS陀螺隨機(jī)誤差分析中的應(yīng)用

王辛望1，沈小林1，劉新生2

（1.中北大學(xué)計(jì)算機(jī)與控制工程學(xué)院，山西 太原 030051；2.江蘇曙光光電有限公司，江蘇 揚(yáng)州 225009）

由于傳統(tǒng)小波閾值去噪法在減小MEMS陀螺隨機(jī)誤差有很大的局限性，介紹一種改進(jìn)閾值函數(shù)去噪法，通過調(diào)整閾值函數(shù)，克服傳統(tǒng)方法的缺點(diǎn)和不足，從而減小MEMS陀螺隨機(jī)誤差，提高M(jìn)EMS陀螺的精度。首先介紹傳統(tǒng)閾值函數(shù)去噪法，然后基于傳統(tǒng)閾值函數(shù)進(jìn)行改進(jìn)，提出一種新的閾值函數(shù)。采用改進(jìn)后的方法對MEMS陀螺輸出數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，并用Allan分析法比較傳統(tǒng)方法與改進(jìn)方法的效果。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，角度隨機(jī)游走（N）減少78.85%，零偏不穩(wěn)定性（B）減小82.14%，角速率隨機(jī)游走（R）減少92.53%，均值下降90.6%，均方差下降70%，信噪比增加26.43%，提高M(jìn)EMS陀螺的精度。

隨機(jī)誤差；MEMS陀螺；閾值函數(shù)；小波閾值去噪；Allan方差；信噪比

0 引 言

微機(jī)電系統(tǒng) （micro-electro-mechanical system）被提出后，自20世紀(jì)80年代以來微機(jī)械陀螺廣泛應(yīng)用于戰(zhàn)術(shù)武器領(lǐng)域、民用領(lǐng)域及大量低成本慣導(dǎo)系統(tǒng)中[1]。與激光陀螺、光纖陀螺等傳統(tǒng)陀螺相比較，微機(jī)械陀螺（MEMS）擁有體積小、高耐靠、價格低廉、功耗低等優(yōu)點(diǎn)。然而微機(jī)械陀螺的精度較差，誤差類別相對較多，會導(dǎo)致慣導(dǎo)系統(tǒng)的精度受到較大的影響，極大限制了微機(jī)械陀螺的發(fā)展。因此，如何減小它的隨機(jī)誤差以及提高其精度成為討論重點(diǎn)[2]。

文獻(xiàn)[3]僅提出了硬、軟閾值去噪法，但沒有對硬、軟閾值去噪法進(jìn)行改進(jìn)，文獻(xiàn)[4]采用小波分析法對MEMS陀螺隨機(jī)誤差進(jìn)行了分析，但是只進(jìn)行了濾波前后的方差對比，并沒有比較Allan方差辨識出的誤差系數(shù)，文獻(xiàn)[5]雖然提出了半軟閾值法、軟硬閾值折衷法和多項(xiàng)式插值法等方法，但是沒有解決閾值函數(shù)在平滑方面以及去噪后信號特征方面具有很多缺點(diǎn)。為了解決以上方法對改善MEMS陀螺隨機(jī)誤差的局限性，提出一種新閾值函數(shù)，相比于傳統(tǒng)閾值函數(shù)，改進(jìn)的閾值函數(shù)高階可導(dǎo)，既克服了硬閾值函數(shù)不連續(xù)的劣勢，又縮小了軟閾值函數(shù)的估計(jì)小波系數(shù)與分解小波系數(shù)之間的恒定偏差。運(yùn)用改進(jìn)后的方法與傳統(tǒng)方法對信號去噪后的效果對比，而且通過Allan方差辨識出的誤差系數(shù)相互比較，證明了改進(jìn)后此法的可行性和有效性。

1 改進(jìn)的小波閾值去噪法

1.1 小波閾值去噪法

小波閾值去噪法的思想即對小波分解后的各層系數(shù)中模大于或者小于閾值的系數(shù)進(jìn)行計(jì)算，再根據(jù)計(jì)算得出小波系數(shù)進(jìn)行反變換，重構(gòu)處理后的信號。小波閾值去噪擁有簡便、運(yùn)算量不大、濾波程度最佳等特點(diǎn)，因此普遍應(yīng)用于工程實(shí)踐中[6-7]。其去噪步驟如圖1所示。

圖1 小波閾值去噪法步驟

一般主要使用硬閾值和軟閾值法，其閾值函數(shù)依次是式（1）、（2）。 其中wj，k和i，j分別是去噪前后小波變換系數(shù)，sign（·）是符號函數(shù)，閾值為噪聲程度的預(yù)計(jì)值，N是信號的長度[8]。

硬閾值函數(shù)：

軟閾值函數(shù)：

1.2 軟、硬閾值法的局限性

軟、硬閾值函數(shù)法的核心是閾值的設(shè)置，不一樣的閾值產(chǎn)生不同的效果。根據(jù)實(shí)際工程和以往經(jīng)驗(yàn)，兩種方法都有一定的劣勢。硬閾值法僅保留了大部分小波系數(shù)，卻將另外一小部分的系數(shù)直接取零，造成濾波后系數(shù)在閾值位置有間斷點(diǎn)，重構(gòu)時會造成信號的震蕩，而軟閾值法把大部分小波系數(shù)使用縮小變換，不會影響其間斷性，但濾波后的系數(shù)在i，j以及|wj，k|之間有一定的偏差λ，會改變重構(gòu)信號與原始信號之間的逼近程度[9]。硬閾值法在均方差上更優(yōu)于軟閾值法，但是所得到的估計(jì)信號會產(chǎn)生一定的震蕩，在光滑度上與原始信號存在一定的差異。同時，兩種方法皆把小于閾值的系數(shù)直接取零，把混疊在噪聲頻譜中的有效信號徹底去除，勢必使重構(gòu)信號與原始信號之間有恒定的誤差[10]。

1.3 改進(jìn)的小波閾值去噪法

為了解決傳統(tǒng)閾值函數(shù)的劣勢，介紹一種改進(jìn)小波閾值算法。改進(jìn)的閾值函數(shù)為

改進(jìn)后的閾值函數(shù)在軟、硬閾值函數(shù)中能夠隨意選擇，任意調(diào)整參數(shù)c、d，獲得合適的閾值函數(shù)。它是以i，j=wj，k為漸近線，隨著wj，k的增大，i，j逐漸靠近wj，k，減小了i，j和wj，k之間的誤差。 另外，改進(jìn)后函數(shù)不但在c、d取任何值時具有連續(xù)性，而且參數(shù)d可以選用更多的值[11]。同時，改進(jìn)后函數(shù)高階可導(dǎo)，有利于各種運(yùn)算處理，因而改進(jìn)后的方法比傳統(tǒng)方法具有相當(dāng)多的優(yōu)勢。

2 Allan方差分析法

Allan方差在1960年前后由David Allan首先提出，初期應(yīng)用于分析振蕩器的穩(wěn)定性。此后由于其作為頻率穩(wěn)定度的時域分析方法，容易獲得和辨識出各種隨機(jī)誤差源的統(tǒng)計(jì)特性，因此1971年被IEEE正式推薦并用于陀螺儀隨機(jī)誤差的建模。

假定MEMS陀螺以時間間隔t0采集一段時間，共收集到N個數(shù)據(jù)，將N個采樣點(diǎn)分為P組，每組共有n個采樣點(diǎn)，其中n＜（N-1）/2。每一組持續(xù)時間t=nt0稱為相關(guān)時間，則每一組的平均值：

Allan方差定義：

其中＜·＞表示求整體的平均值。

對于不同的相關(guān)時間t，可求得對應(yīng)的Allan方差，Allan方差的平方根σAllan（t）一般稱為 Allan標(biāo)準(zhǔn)差，至此獲得一系列的點(diǎn)對ti～σ^2Allan（ti）或ti～σ^Allan（ti），i=1，2，3，…。

綜上，該方差法可以分離、辨識、量化數(shù)據(jù)中各種噪聲，如表1所示。

表1 功率譜與Allan方差的對應(yīng)關(guān)系

根據(jù)分布在不同頻段噪聲的不同特性，將MEMS陀螺隨機(jī)誤差的噪聲歸為量化噪聲Q、角度隨機(jī)游走N、零偏不穩(wěn)定性B、角速率隨機(jī)游走R和速率斜坡K。不同的噪聲分布在不同的t區(qū)域里，5類不同的噪聲項(xiàng)Q、N、B、R、K在Allan方差圖中依次表現(xiàn)為-1，-1/2，0，1/2，1 斜率的直線如圖 2 所示[12-14]。

圖2 Q、N、B、R、K的Allan方差分布圖

因此根據(jù)5類噪聲的上述特點(diǎn)，可以擬合成式（5）。一般來說，方差比較小，不易于比較，因此擬合成標(biāo)準(zhǔn)差不僅可以提高精度，還便于表示，可化簡為

根據(jù)最小均方定義，擬合函數(shù)σAllan（t），可以得出擬合函數(shù)An，然后根據(jù)上述公式可以計(jì)算出5類噪聲的估計(jì)值，依次為

3 隨機(jī)漂移誤差的分析

3.1 靜態(tài)數(shù)據(jù)采集

試驗(yàn)采用某型MEMS陀螺，將其采樣頻率設(shè)為100Hz并水平放在溫箱中固定，確保試驗(yàn)在恒溫恒濕的條件下進(jìn)行。首先先將陀螺通電預(yù)熱1h，保證其穩(wěn)定運(yùn)行后，以100Hz連續(xù)采集2h，重復(fù)上述過程連續(xù)采集5d，取其中一次比較好的20min數(shù)據(jù)作為樣本，獲得陀螺的靜態(tài)輸出，共采集到120000個數(shù)據(jù)樣本如圖3所示。

圖3 陀螺原始數(shù)據(jù)

3.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與討論

首先，分別用傳統(tǒng)去噪法以及改進(jìn)后的方法對原始數(shù)據(jù)處理，小波基選擇db4，分解層數(shù)選擇5，根據(jù)閾值計(jì)算公式，λ=0.26，對于改進(jìn)的閾值法，經(jīng)過多次試驗(yàn)，a=8500，b=13。改進(jìn)前和改進(jìn)后的去噪效果圖分別如圖4～圖6所示[14-15]。對比可看出，硬閾值和軟閾值去噪法并不理想，硬閾值法波形不僅有一定波動而且比較粗糙；軟閾值法雖然波形比較平滑，但是濾波后準(zhǔn)確度較差，可能會遺失重要信息。改進(jìn)后的波形較為光滑，重構(gòu)精度較高，結(jié)果更明顯[16]。

其次，通過Allan方差對數(shù)據(jù)解析，獲得Allan方差辨識得誤差系數(shù)。一般來說，方差相對較小，不利于對比，所以擬合成Allan標(biāo)準(zhǔn)差與相關(guān)時間的雙對數(shù)曲線。

圖4 硬閾值法

圖5 軟閾值法

圖6 改進(jìn)的閾值函數(shù)法

表2 Allan方差法辨識誤差系數(shù)

圖7 原始數(shù)據(jù)Allan標(biāo)準(zhǔn)差雙對數(shù)曲線

圖8 硬閾值法Allan標(biāo)準(zhǔn)差雙對數(shù)曲線

圖9 軟閾值法Allan標(biāo)準(zhǔn)差雙對數(shù)曲線

從圖中和表2中可以看出，對比5類誤差系數(shù)，量化噪聲（Q）和速率斜坡（K）沒有明顯變化，而角度隨機(jī)游走（N）、零偏不穩(wěn)定性（B）、角速率隨機(jī)游走（R）的改變較為明顯，特別是提出的改進(jìn)后的方法，N、B、R皆有明顯改善。此外，3種方法的均值如表3所示，根據(jù)表中的數(shù)據(jù)可以看出，改進(jìn)后的方法明顯比傳統(tǒng)方法在均值的對比上更占有一定優(yōu)勢。因此改進(jìn)后的方法可以明顯增強(qiáng)MEMS陀螺性能。

圖10 改進(jìn)的閾值函數(shù)法Allan標(biāo)準(zhǔn)差雙對數(shù)曲線

表3 均值對比

表4 均方差和信噪比對比

為了再一次驗(yàn)證改進(jìn)的閾值函數(shù)法的可用性，計(jì)算并對比了3種方法去噪前后信噪比和均方差。針對帶有噪聲的信號，處理后的信噪比越大，均方差越小表明去噪結(jié)果更優(yōu)。從均方差和信噪比對3種方法進(jìn)行分析，由表4可見改進(jìn)的方法優(yōu)于其他方法[16]。

4 結(jié)束語

通過常用小波閾值去噪法分析，根據(jù)工程以及實(shí)際需要，介紹一種改進(jìn)的閾值函數(shù)，采用幾種方法對MEMS陀螺隨機(jī)誤差進(jìn)行分析。實(shí)驗(yàn)結(jié)果證明，角速度隨機(jī)游走減少78.85%，零偏不穩(wěn)定性減小82.14%，角速率隨機(jī)游走減少92.53%，均值下降90.6%，均方差下降70%，信噪比提高26.43%。改進(jìn)后的方法較傳統(tǒng)方法可以顯著減少M(fèi)EMS陀螺的隨機(jī)誤差，解決了其精度低的難題。

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（編輯：劉楊）

Application of improved wavelet thresholding method for analysising MEMS gyroscope random error

WANG Xinwang1， SHEN Xiaolin1， LIU Xinsheng2
（1.School of Computer and Control Engineering，North University of China，Taiyuan 030051，China；2.Jiangsu Shuguang opto-electronics Co.，Ltd.，Yangzhou 225009，China）

Because the traditional wavelet threshold de-noising method has limitations in reducing the random errorof MEMS gyroscope， thispaper introducesan improved threshold function de-noising method， by adjusting the threshold function， to overcome the shortcomings of traditional methods，so as to reduce the random error and to improve the accuracy of MEMS gyroscope.The traditional threshold function de-noising methods have been introduced first，and then the methods have been improved，a new threshold function has been proposed.The new method and Allan analysis are used to analyze the random error of MEMS gyroscope and compare to the effect of these methods.Experimental results indicate that the angular random walk is reduced by 78.85%，the bias instability is reduced by 82.14%，the rate random walk is reduced by 92.53%，the average is declined 90.6%，average variance is decreased by 70%，the SNR is increased by 26.43%and the accuracy of MEMS gyroscope is improved.

random error； MEMS gyroscope； threshold function； wavelet threshold de-noising；Allan variance；signal-noise ratio

A

1674-5124（2017）11-0026-05

10.11857/j.issn.1674-5124.2017.11.006

2017-03-09；

2017-05-04

王辛望（1991-），男，河北石家莊市人，碩士研究生，專業(yè)方向?yàn)榭刂评碚撆c控制工程，導(dǎo)航、制導(dǎo)與控制。