王文鵬，周三平

（西安石油大學機械工程學院，陜西西安 710065）

專論與綜述

群體平衡模型在氣液攪拌數(shù)值模擬的研究進展

王文鵬，周三平

（西安石油大學機械工程學院，陜西西安 710065）

氣液攪拌反應釜在過程工業(yè)中應用廣泛，在氣液的分散和混合過程中，準確模擬預測離散相系統(tǒng)中氣泡大小與分布在流體力學和傳質(zhì)中起著關(guān)鍵性作用。群體平衡模型（Population Balance Model，PBM）是描述兩相以及多相流體系中分散相的尺寸大小及分布程度隨時間和空間變化的通用方程模型，可以較準確的預測釜內(nèi)流場和氣泡的大小與分布。對群體平衡模型在氣液攪拌數(shù)值模擬中的應用進行了綜述，討論了PBM的數(shù)學模型和主要的數(shù)值求解方法，然后著重介紹了近年來采用PBM對氣液攪拌數(shù)值模擬的情況，進行了總結(jié)和展望。

氣液攪拌；群體平衡模型；氣泡尺寸；數(shù)值模擬

攪拌與混合是應用最為廣泛的過程操作之一，同時攪拌反應釜大量應用于化工、輕工、醫(yī)藥、食品、生物發(fā)酵及廢水處理等行業(yè)中。其中，氣液攪拌反應釜應用較為廣泛。在氣液的分散和混合過程中，液相中的氣泡大小與分布在流體力學和傳質(zhì)中起著重要作用，在實際工況下，它決定著氣泡的上升速度和氣體在液相中的停留時間，影響著液相中的氣含率及氣液的接觸面積[1]。群體平衡方程（Population Balance Equation，PBE）是描述兩相以及多相流體系中分散相的尺寸大小及分布程度隨時間和空間變化的通用方程，能夠具體地描述離散相實體的分布情況和影響分布變化的離散相微觀活動。由此創(chuàng)建了群體平衡模型（Population Balance Model，PBM），形成了一種通用方法。最初由Hulburt＆Katz[2]于1964年在化工過程中使用。近年來隨著計算機科學的快速發(fā)展，以及對PBE求解方法的深入研究，將PBM應用于越來越多的化工過程中，尤其是在氣液攪拌過程中，獲得了氣相在液相中，氣泡的直徑大小和氣泡的分布情況。同時，計算流體力學（Computional Fluid Dynamics，CFD）技術(shù)的發(fā)展與完善，在多相流領域越來越受到關(guān)注。將CFD對流場預測能力強與適應范圍廣的特點和PBM計算氣體顆粒大小與分布的優(yōu)點相結(jié)合，利用CFD-PBM耦合模型，應用于氣液攪拌反應釜中，可以得到與實驗更加一致的數(shù)值模擬結(jié)果，有利于更加深入地了解攪拌過程中的多相流動和傳遞規(guī)律，為攪拌反應釜的優(yōu)化設計、操作和放大提供理論指導。本文對群體平衡模型在氣液攪拌反應釜數(shù)值模擬中的應用情況進行綜述，同時包括其基本模型方程和主要的求解方法以及其中的聚并、破碎模型，最后對群體平衡模型在氣液攪拌中的應用進行總結(jié)和展望。

1 模型與數(shù)值求解方法

1.1 數(shù)學模型

PBE是描述多相流體系中顆粒狀態(tài)分布隨時間與空間連續(xù)變化的偏微分方程[3]。其中，粒子狀態(tài)矢量是通過一系列的外部坐標x→以及內(nèi)部坐標來定義的，外部坐標代表粒子的空間位置，內(nèi)部坐標則包含粒子的大小、溫度、組成等相關(guān)量。

局部平均粒子數(shù)量密度為（即每單位體積的粒子總數(shù)）：

所有粒子的總體積分數(shù)為：

其中：V（φ）-粒子在狀態(tài)空間φ中的體積。

因此群體平衡方程的表示，假定φ為粒子體積，數(shù)量密度函數(shù)的傳遞方程為：

其邊界條件以及初始條件為：

1.2 數(shù)值求解方法

1.2.1 聚并與破碎 在粒子聚并和破碎過程中往往伴隨著新粒子的生成和死亡。其中，在氣-液攪拌體系中，氣泡之間發(fā)生聚并現(xiàn)象的前提是氣泡間可以進行相互碰撞，液相的湍動作用和氣泡自身所具有的浮力作用使氣泡獲得不同的瞬時運動速度，使得氣泡在不同瞬時運動速度的條件下發(fā)生碰撞，從而一部分發(fā)生相互碰撞的氣泡產(chǎn)生聚并現(xiàn)象[5]。

目前，研究氣泡的聚并過程均指的是兩兩氣泡之間聚并的過程，氣泡聚并過程主要為兩氣泡發(fā)生接觸、碰撞，隨之形成薄厚不一的液膜，當液膜足夠稀薄，超越臨界厚度時，液膜破裂完成聚并。氣泡聚并速率等于氣泡碰撞頻率乘以聚并效率。氣泡聚并過程示意圖（見圖 1）。

圖1 氣泡聚并過程示意圖[5]

聚并核的單位是m3/s，其通常由兩個部分組成：聚并頻率：體積為V、V′的粒子的碰撞頻率；

聚并有效性：體積為V、V′的粒子發(fā)生聚并的可能性。

則，聚并導致的粒子產(chǎn)生項為：

其表示體積為V-V'的粒子和體積為V的粒子聚并后生成體積為V的新粒子。1/2用來防止對一次聚并進行重復計算。

體積為V的粒子聚并死亡項為：

氣泡液膜破裂是由于氣泡薄膜的不穩(wěn)定性造成的，液膜的穩(wěn)定性會受到分子間范德華作用力引起的界面臨界波長所產(chǎn)生的放大效應的影響，從而引起氣泡的破碎。氣泡破碎機制有：湍流渦體碰撞，液體流場剪切以及大氣泡表面不穩(wěn)定性等幾種。在攪拌氣液體系中，氣泡破碎主要是由湍流渦體碰撞引起的（見圖2）。

圖2 氣泡破碎過程示意圖[5]

用下面的表達式來表達破碎核：

其中：g（V'）-破碎頻率，即為體積為 V'的粒子破碎所用時間的倒數(shù)；β（V│V'）-概率分布密度函數(shù)（DSD），即為粒子從V'體積破碎為V的可能性。

破碎導致的粒子生成這樣來表示：

其物理意義為每單位時間有體積為 V'，g（V'）n（V'）dV'數(shù)量的粒子破碎并產(chǎn)生 pg（V'）n（V'）dV'數(shù)量的新粒子。p為新破碎產(chǎn)生的子粒子數(shù)量，例如如果破碎產(chǎn)生2個粒子，那么p即為2。

破碎導致體積為V的粒子的死亡這樣來表示：

1.2.2 求解方法

1.2.2.1 均一離散法 均一離散法是由Hounslow等[6]，Kumar＆Ramkrishna[7]提出。它將連續(xù)的粒子數(shù)量密度函數(shù)使用一系列離散的bins來表示，在均一離散法中，顆粒群的粒徑范圍被離散為有限的粒徑間隔。這種方法的優(yōu)點在于可以直接計算粒徑分布。如果在求解前，粒徑分布就已經(jīng)可以大體的進行預估且數(shù)值的波動處于2～3倍的時候，均一離散法非常有效。在這種情況下，顆粒群被離散為相對小的粒徑間隔并和計算流體動力學（CFD）耦合求解。這個方法的缺點就是如果需要很大數(shù)量的粒徑間隔，占用計算資源較多。

1.2.2.2 非均一離散法 均一離散法的一個限制就是所有bins依附于第二相，因此其動量和與第二相的動量相同。實際上，在某些情況下，一些過大的以及過小的粒子會由于動量的偏差引起分離，均一離散法并不適用于這些情況。非均一離散法有效的處理了這個問題。在非均一離散法中，bins群可以調(diào)用不同的相速度，因此如果非均一離散法激活，群體平衡模型可以應用于多個離散相的體系。

1.2.2.3 標準矩方法 求解群體平衡模型的另一個方法是標準矩方法（SMM）[2]。在標準矩方法中，群體平衡方程被轉(zhuǎn)換成為一系列的矩方程。第i個矩被定義為在整個粒徑空間內(nèi)，將數(shù)量密度函數(shù)乘以粒徑的i次冪的函數(shù)的積分。一般情況下，求解少數(shù)幾個矩方程就夠了，通常是3到6個。和離散法相比，矩方法求解的方程數(shù)量大大減少。除了在計算速度上的優(yōu)點，如果不需要連續(xù)的數(shù)量密度函數(shù)，且用幾個節(jié)點值就足夠近似的表示數(shù)量密度函數(shù)的話，SMM方法非常有效。通常，零階矩表示總數(shù)量密度、二階矩表示每單位體積的粒子表面積、三階矩表示總質(zhì)量密度。

1.2.2.4 積分矩方法 積分矩方法（QMOM）[8]在計算速度上和SMM具有相同的優(yōu)勢，不同的是，QMOM使用積分來封閉方程組（這在SMM中是通過用矩本身來封閉）。這使得QMOM可以更加廣泛的應用。

2 PBM在氣液攪拌數(shù)值模擬的應用

化學化工領域，氣液攪拌反應釜廣泛的應用于生物發(fā)酵、醫(yī)藥食品和工業(yè)的廢水處理等過程中。在氣液攪拌的混合和分散過程中，氣泡的尺寸大小和分布在氣液的傳質(zhì)中都起著重要的作用，它決定著氣泡的上升速度和氣體在液相中的停留時間，控制著含氣率以及氣液接觸的面積。

Bakker等[9]是最早將PBE用于模擬氣液攪拌混合過程，如今已在攪拌反應釜內(nèi)考慮分散相顆粒微觀行為時多相流體系的模擬中取得廣泛應用，尤其今年不少研究者應用PBM模擬了攪拌反應釜中的氣液多相體系。

Laakkonen等[10]分別對六直葉渦輪攪拌槳和單層6-RT攪拌槳氣液攪拌釜內(nèi)氣泡尺寸分布通過商業(yè)軟件CFX5.7進行了數(shù)值模擬。PBM模型采用的是Lehr模型，該模型已成功地對鼓泡塔內(nèi)氣泡尺寸激情分布進行了模擬預測，通過UDF編譯加入到軟件中，其中的一些參數(shù)根據(jù)實驗數(shù)據(jù)確定，對攪拌反應釜內(nèi)氣泡的尺寸以及分布進行了很好的預測。

Kerdouss等[11]使用商業(yè)軟件FLUENT，對雙層六直葉渦輪槳攪拌釜內(nèi)流場進行了數(shù)值模擬，采用Euler-Euler雙流體模型、修正的曳力系數(shù)模型以及考慮氣泡的聚并與破碎模型，并取得較為理想的結(jié)果。所得的釜內(nèi)氣液流場呈現(xiàn)典型的槳葉上下雙循環(huán)流型，觀測到氣含率分布較為合理，同時可以觀察到槳葉及擋板后有大量氣泡聚集，產(chǎn)生氣穴現(xiàn)象，整體氣泡尺寸及分布與實驗值較為吻合，但是槳葉附近的氣含率與實驗值偏差較大，可能原因是PBM不夠完善，模擬存在誤差。

Martin等[13]利用PBE以及通過在聚并、破碎過程中考慮液體黏性的影響，模擬了在攪拌反應釜中液體黏性對氣泡大小分布和氣液傳質(zhì)速率的影響。通過分析，得到模擬結(jié)果與實驗結(jié)果基本一致，隨著液體黏度的增大使得氣泡的平均直徑略有增大，同時得到氣泡平均直徑和氣液傳質(zhì)系數(shù)的關(guān)系與實驗值基本保持一致（見圖 3）。

Selma等[12]采用CFD-PBM耦合模型對鼓泡塔和攪拌反應釜內(nèi)氣液混合進行了數(shù)值模擬，得到了其氣含率以及氣泡尺寸的模擬結(jié)果，并比較了DQMOM和CM兩種PBM求解方法對模擬結(jié)果的影響，最終得到的結(jié)果表明：兩種求解方法均能很好地模擬預測鼓泡塔和攪拌反應釜內(nèi)氣含率和氣泡尺寸大小的分布，但DQMOM方法更加節(jié)約計算資源，計算效率更高。

圖3 模擬得到的平均氣泡直徑和體積傳質(zhì)系數(shù)與實驗數(shù)據(jù)的對比

楊鋒苓等[14]通過商業(yè)軟件FLUENT，采用Euler-Euler雙流體模型，假設氣泡為球形，利用PBM模型模擬氣泡的聚并與破碎過程，對標準CD-6槳攪拌釜內(nèi)流場進行數(shù)值模擬，研究其氣液混合性能。通過模擬結(jié)果，分析了不同轉(zhuǎn)速和通氣量時攪拌釜內(nèi)流場、氣含率和攪拌功耗，并與實驗數(shù)據(jù)進行對比，基本保持一致，驗證了所建模型和模擬方法的可靠性；同時驗證了一種新型錯位CD-6槳，與標準CD-6槳相比，相同工況下，錯位槳湍動程度高，氣泡分布均勻，攪拌功耗略低，更適用于氣液混合攪拌。

3 結(jié)語

氣液攪拌反應釜廣泛的應用于石油、化工、食品醫(yī)藥及污水處理等工業(yè)過程中，其內(nèi)部為氣液多相流體系，其中氣體的平均粒徑和分布對于過程控制、傳質(zhì)和傳熱都是十分重要的影響因素[15]。因此，將群體平衡模型（PBM）應用于氣液攪拌反應釜內(nèi)的多相流的模擬，獲得氣泡的粒徑尺寸和分布情況，對于研究氣液攪拌混合及其傳質(zhì)傳熱都有著重要的意義。

近年來利用PBM模擬氣液攪拌混合體系已經(jīng)得到了許多應用。在氣液混合體系中，氣泡的聚并和破碎過程一般不能忽略，PBM正好滿足了這些條件，PBM多用離散方法進行數(shù)值求解，隨著進一步研究，近年來也有學者利用積分矩方法求解。從整體的模擬結(jié)果上來看，大多數(shù)的結(jié)果與實驗結(jié)果進行比較，大致吻合，也更好的印證了PBM可以用來描述氣液攪拌混合過程中氣泡的大小及其分布，并且一些學者計算了氣液傳質(zhì)系數(shù)，可以對時間作用進行更為合理的表征。但在目前的研究過程中關(guān)于PBM的應用存在的一些問題，首先在模擬過程中采用PBM處理氣泡的分布計算量比較大，占用計算資源較多；其次是氣泡的聚并、破碎模型直接影響著模擬質(zhì)量，由于氣體物性比較復雜，同時聚并、破碎模型尚不完善，其中存在許多不確定的可調(diào)參數(shù)，模擬出的結(jié)果會產(chǎn)生一定的誤差。所以就需要繼續(xù)對氣泡的聚并及破碎模型進行深入的研究，完善群體平衡模型。相信隨著對氣液混合體系研究的深入以及新的氣泡聚并、破碎模型的研發(fā)，PBM對于描述氣液多相流體系中的氣泡的大小及分布會更為全面和準確，從而研究出更加高效的氣液攪拌反應釜。

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Research progress of population balance model in numerical simulation of gas-liquid mixing

WANG Wenpeng，ZHOU Sanping
（College of Mechanical Engineering，Xi'an Shiyou University，Xi'an Shanxi 710065，China）

The gas-liquid stirred tank reactors is widely used in process industry.During the gas-liquid dispersion and mixing process,accurate simulation and prediction of bubble size and distribution in discrete phase systems plays a key role in fluid mechanics and ass transfer.Population Balance Model（PBM）is a universal equation model describing the size and distribution of dispersed phase which changes with time and place in two-phase and multiple fluid systems.It can predict the flow field and the size and distribution of bubbles accurately.This article summarizes the application of population balance model in numerical simulation of gas-liquid mixing,discusses the mathematical model of PBM and the main numerical solution methods,then mainly introduces,summarizes and looks forward to the prospects of the application of PBM in numerical simulation of gas-liquid mixing in recent years.

gas-liquid mixing；population balance model；bubble size；numerical simulation

TQ051.7

A

1673-5285（2017）11-0001-05

10.3969/j.issn.1673-5285.2017.11.001

2017-10-23

王文鵬，男（1991-），陜西省銅川市人，碩士，研究方向為化工過程機械，郵箱：wangwp_ryan@163.com。