楊婷婷

平面向量問(wèn)題一直在高中數(shù)學(xué)中以數(shù)學(xué)工具的形式出現(xiàn)，它很好的體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)間的聯(lián)系與遷移，具體到平面向量基本定理，又在向量這部分知識(shí)中占有重要地位，是向量坐標(biāo)法的基礎(chǔ)，是聯(lián)系幾何和代數(shù)的橋梁，本文從不同角度介紹定理的應(yīng)用.

一、利用平面向量基本定理表示未知向量

平面向量基本定理的內(nèi)容：如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2使a=λ1e1+λ2e2，平面內(nèi)選定兩個(gè)不共線向量為基底，可以表示平面內(nèi)的任何一個(gè)向量.

例1在△ABC中，點(diǎn)D，E分別在邊BC，AC上，且BD=2DC，CE=3EA，若AB=a，AC=b，則DE=（用向量a，b表示）.

解析：DE=DB+BA+AE=23CB+BA+14AC=23（a-b）-a+14b=-13a-512b.

點(diǎn)評(píng)：（1）應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實(shí)質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運(yùn)算.（2）用向量基本定理解決問(wèn)題的一般思路是先選擇一組基底，并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過(guò)向量的運(yùn)算來(lái)解決.

例2在△OAB中，OC=14OA，OD=12OB，AD與BC交于點(diǎn)M，設(shè)OA=a，OB=b，用a，b表示OM.

分析：若e1，e2是一個(gè)平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，則根據(jù)平面向量的基本定理，平面內(nèi)的任何向量都可用e1，e2線性表示.本例中向量a，b可作基底，故可設(shè)OM=ma+nb，為求實(shí)數(shù)m，n，需利用向量AM與AD共線，向量CM與CB共線，建立關(guān)于m，n的兩個(gè)方程.

解析：設(shè)OM=ma+nb，則AM=（m-1）a+nb，AD=-a+12b，

∵點(diǎn)A、M、D共線，∴AM與AD共線，∴m-1-1=n0.5，∴m+2n=1.①

而CM=OM-OC=（m-14）a+nb，

CB=-14a+b，

∵C、M、B共線，∴CM與CB共線，

∴m-14-14=n1，∴4m+n=1.②

聯(lián)立①②解得：m=17，n=37，∴OM=17a+37b.

二、利用平面向量基本定理確定參數(shù)的值、取值范圍問(wèn)題

平面向量基本定理是向量坐標(biāo)的理論基礎(chǔ)，通過(guò)建立平面直角坐標(biāo)系，將點(diǎn)用坐標(biāo)表示，利用坐標(biāo)相等列方程，尋找變量的等量關(guān)系，進(jìn)而表示目標(biāo)函數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題.

例3（2017年高考江蘇，12）如圖，在同一個(gè)平面內(nèi)，向量OA，OB，OC的模分別為1，1，2，OA與OC的夾角為α，且tanα=7，OB與OC的夾角為45°.若OC=mOA+nOB（m，n∈R），則m+n=.

解析：由tanα=7可得sinα=7210，cosα=210，根據(jù)向量的分解，

易得ncos45°+mcosα=2nsin45°-msinα=0，即22n+210m=222n-7210m=0，即5n+m=105n-7m=0，即得m=54，n=74，

所以m+n=3.

點(diǎn)評(píng)：（1）向量的坐標(biāo)運(yùn)算將向量與代數(shù)有機(jī)結(jié)合起來(lái)，這就為向量和函數(shù)、方程、不等式的結(jié)合提供了前提，運(yùn)用向量的有關(guān)知識(shí)可以解決某些函數(shù)、方程、不等式問(wèn)題.

（2）以向量為載體求相關(guān)變量的取值范圍，是向量與函數(shù)、不等式、三角函數(shù)等相結(jié)合的一類綜合問(wèn)題.通過(guò)向量的坐標(biāo)運(yùn)算，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解不等式或求函數(shù)值域，是解決這類問(wèn)題的一般方法.

（3）向量的兩個(gè)作用：①載體作用：關(guān)鍵是利用向量的意義、作用脫去“向量外衣”，轉(zhuǎn)化為我們熟悉的數(shù)學(xué)問(wèn)題；②工具作用：利用向量可解決一些垂直、平行、夾角與距離問(wèn)題.

例4如圖所示，A，B，C是圓O上不同的三點(diǎn)，線段CO的延長(zhǎng)線與線段BA交于圓外的一點(diǎn)D，若OC=λOA+μOB（λ∈R，μ∈R），則λ+μ的取值范圍是.

解析：因?yàn)閨OA|=|OB|=|OC|，OC=λOA+μOB，所以O(shè)C2=（λOA+μOB）2，

展開得（λOA）2+（μOB）2+2λμOA·OB=OC2，所以λ2+μ2+2λμcos∠AOB=1，

當(dāng)∠AOB=60°時(shí)，λ2+μ2+λμ=（λ+μ）2-λμ=1即（λ+μ）2=1+λμ<1，

所以-1<λ+μ<1.當(dāng)OA，OB趨近于射線OD時(shí)，

由平行四邊形法則可知OC=OE+OF=λOA+μOB，此時(shí)λ<0，μ>0且|λ|>|μ|，

所以λ+μ<0，因此λ+μ的取值范圍是（-1，0）.

三、三點(diǎn)共線向量式

三點(diǎn)共線問(wèn)題.A，B，C三點(diǎn)共線等價(jià)于AB與AC共線.設(shè)A，B，C是共線三點(diǎn)，O是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，則OB=λOA+（1-λ）OC，其特征是“起點(diǎn)一致，終點(diǎn)共線，系數(shù)和為1”，利用向量式，可以求交點(diǎn)位置向量或者兩條線段長(zhǎng)度的比值.

例5O為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且2OA+OB+OC=0，AD=tAC，若B，O，D三點(diǎn)共線，則t的值為.

解析：由AD=tAC有OD-OA=t（OC-OA），所以O(shè)D=tOC+（1-t）OA，

因?yàn)锽，O，D三點(diǎn)共線，所以BO=λOD，則2OA+OC=λtOC+（1-t）λOA，

故有2=（1-t）λ1=λt，t=13.endprint