李 菊 曾氫菲 沈惠平 楊廷力

(常州大學(xué)現(xiàn)代機構(gòu)學(xué)研究中心， 常州 213016)

SCARA并聯(lián)機構(gòu)拓撲分析與其低耦合度機型設(shè)計

李 菊 曾氫菲 沈惠平 楊廷力

(常州大學(xué)現(xiàn)代機構(gòu)學(xué)研究中心， 常州 213016)

根據(jù)基于方位特征(Position and orientation characteristics，POC)的并聯(lián)機構(gòu)拓撲結(jié)構(gòu)設(shè)計理論與方法，首先，對已提出的一類7個具有較好實用價值的SCARA并聯(lián)機構(gòu)，進行了拓撲結(jié)構(gòu)分析，揭示了其POC集、自由度(含驅(qū)動副選取)、過約束數(shù)、耦合度以及輸入-輸出運動解耦性等5個最主要的拓撲特征，且發(fā)現(xiàn)這些機構(gòu)的耦合度均較大，為2，表明其運動學(xué)正解和動力學(xué)求解十分復(fù)雜；繼而基于機構(gòu)拓撲結(jié)構(gòu)降耦原理，又對κ=2的這7個機構(gòu)進行了拓撲結(jié)構(gòu)降耦優(yōu)化，得到了低耦合度(κ=1)，而機構(gòu)POC、自由度(Degree of freedom，DOF)等保持不變的實現(xiàn)SCARA運動的14個新機型，不僅豐富了實現(xiàn)SCARA運動的4-DOF三平移一轉(zhuǎn)動機型庫，而且降低了這些機構(gòu)的運動學(xué)和動力學(xué)代數(shù)求解難度，而其數(shù)值解可用一維搜索法方便求得，從而為這一類SCARA并聯(lián)機構(gòu)的運動學(xué)和動力學(xué)分析、設(shè)計及應(yīng)用提供了理論基礎(chǔ)。

并聯(lián)機構(gòu)； POC方法； 拓撲結(jié)構(gòu)分析； 耦合度； 拓撲特征； 機構(gòu)綜合

引言

以方位特征集(POC集)為數(shù)學(xué)工具、以有序單開鏈(Single open chain, SOC)為機構(gòu)組成單元的并聯(lián)機構(gòu)(Parallel kinematic machine, PKM)拓撲結(jié)構(gòu)設(shè)計理論與方法，由楊廷力等[1-2]提出并建立，該方法不同于基于螺旋理論的方法[3-5]、基于位移子群的方法[6]、基于線性變換和進化算法的方法[7]，它描述的運動都是相對于動平臺運動副軸線的，與定坐標系以及機構(gòu)的運動位置無關(guān)，因而是一種幾何方法；該方法以簡單的POC集的“并”與“交”符號類線性運算，得到非瞬時的無過約束機構(gòu)和一般過約束機構(gòu)，物理意義明確，易于理解和應(yīng)用，為并聯(lián)機構(gòu)的設(shè)計與分析提供了一種有效而系統(tǒng)的理論與方法。

一方面，純?nèi)揭?、純?nèi)D(zhuǎn)動及SCARA運動(三平移一轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)動軸線為動平臺的法線)為3種典型的輸出運動，在工業(yè)生產(chǎn)線上具有極廣的應(yīng)用前景。對于實現(xiàn)前兩者運動的三自由度并聯(lián)機器人，已有較多的研究和應(yīng)用，而對于實現(xiàn)SCARA型輸出運動的四自由度并聯(lián)機器人，其機型的研究和應(yīng)用開發(fā)相對較少。

1999年，ABB 公司開發(fā)了稱為FlexPicker的SCARA并聯(lián)機器人[8]，它是在三平移Delta[9]并操作手的基礎(chǔ)上，通過動平臺與靜平臺之間再串聯(lián)一條R-U-P-U-R支鏈，構(gòu)成了一個具有三平移一轉(zhuǎn)動功能的混聯(lián)操作手，實際上，這種混聯(lián)操作手可視為具有2個動平臺(即Delta機構(gòu)的三平移子平臺和轉(zhuǎn)動輸出的抓取操作器平臺)，這種機型已廣泛應(yīng)用。為克服這種操作手中間支鏈易磨損、只能適用于較小工作空間的缺點，文獻[10-12]設(shè)計了H4、I4、Par4等系列的四自由度SCARA型(即三平移一轉(zhuǎn)動)操作手，它們在結(jié)構(gòu)上保留了三平移Delta機構(gòu)所含的平行四邊形結(jié)構(gòu)R∥-(4S)-∥R或R∥R-(4R)-∥R(S為球副，R為轉(zhuǎn)動副)復(fù)雜支鏈，因而在性能上繼承了Delta機構(gòu)高速、動態(tài)性能好等優(yōu)點，也因此被稱為Delta族機器人。

2000年，趙鐵石等[13]提出了4-URU型三平移一轉(zhuǎn)動并聯(lián)機器人；2001年金瓊等[14]基于方位特征輸出矩陣(后稱為POC集)和單開鏈理論，提出了一類三平移一轉(zhuǎn)動并聯(lián)機器人，并于2003年申請了一組5個具有單動平臺的三平移一轉(zhuǎn)動并聯(lián)機構(gòu)[15]專利，但未研制樣機；黃田等[16]在H4、I4、Par4等結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上，于2010年設(shè)計了四自由度三平移一轉(zhuǎn)動的Cross-IV型高速搬運機器人并實現(xiàn)了產(chǎn)業(yè)化；劉辛軍等[17]于2012年在國內(nèi)首次研制出具有一個動平臺且實現(xiàn)三平移一轉(zhuǎn)動的X4型并聯(lián)機構(gòu)樣機，并通過尺寸性能優(yōu)化，實現(xiàn)了較大角度的輸出轉(zhuǎn)動[18]。

筆者團隊根據(jù)基于方位特征(POC)的并聯(lián)機構(gòu)拓撲結(jié)構(gòu)設(shè)計理論與方法，提出了一類具有較好應(yīng)用前景的13個四自由度SCARA型(三平移一轉(zhuǎn)動)并聯(lián)機構(gòu)，其中7種新機構(gòu)已申請中國發(fā)明專利[19-25]。

文獻[26]已對商業(yè)化著名并聯(lián)機構(gòu)，例：Delta、Diamond、Tricept、TriVariant、Exechon、Z3、H4、Steward等，以及其他具有潛在應(yīng)用價值的并聯(lián)機構(gòu)，進行了詳細的拓撲結(jié)構(gòu)分析，得到了一些有價值的結(jié)論、規(guī)律或啟示。

同時，文獻[27-28]在研究如何降低機構(gòu)拓撲結(jié)構(gòu)復(fù)雜性的基礎(chǔ)上，提出了將機構(gòu)的結(jié)構(gòu)降耦和機構(gòu)的運動解耦，作為并聯(lián)機構(gòu)拓撲結(jié)構(gòu)優(yōu)化的兩個重要內(nèi)容，研究表明：①機構(gòu)的耦合度越大，其運動學(xué)正解和動力學(xué)求解越復(fù)雜，降低機構(gòu)的結(jié)構(gòu)耦合度可直接降低機構(gòu)運動學(xué)、動力學(xué)求解的難度。②耦合度κ恰為機構(gòu)冗余回路的虛擬變量數(shù)或約束回路的運動相容方程數(shù)，對于κ=1的機構(gòu)，可一維搜索法較易求得其位置正解或動力學(xué)正、逆解的數(shù)值解。③對于κ≥2的任意機構(gòu)，可將其降為κ=1且保持自由度和運動輸出不變，同時，提出了降低機構(gòu)耦合度κ的3種方法[29]。

本文首先對提出的7個具有較好實用價值的三平移一轉(zhuǎn)動并聯(lián)機構(gòu)進行拓撲結(jié)構(gòu)分析，揭示出其POC集、自由度、耦合度等最主要的拓撲結(jié)構(gòu)特征；為進一步簡化這些機構(gòu)的運動學(xué)正解和動力學(xué)求解，對其進行結(jié)構(gòu)降耦優(yōu)化，得到POC、DOF不變，但耦合度降至κ=1的低耦合度機型，以期為這些機型的性能評價和優(yōu)選、運動學(xué)與動力學(xué)的方便求解，及其設(shè)計和應(yīng)用提供理論基礎(chǔ)。

1 并聯(lián)機構(gòu)的拓撲特征

本文所述的并聯(lián)機構(gòu)拓撲結(jié)構(gòu)特性分析，即為分析并揭示并聯(lián)機構(gòu)的12個基本拓撲結(jié)構(gòu)特征[2]，它包括：方位特征集(POC集)及其維數(shù)、獨立回路數(shù)v、獨立位移方程數(shù)ξL1、過約束數(shù)Nov.、自由度(DOF)類型和數(shù)目F、基本運動鏈(Basic kinematic chain, BKC)類型及其數(shù)目、BKC耦合度κ、輸入-輸出運動解耦性(I-O解耦性)、消極運動副、驅(qū)動副選擇、冗余度等指標，其中[26]：

(1)POC集及其維數(shù)，反映了機構(gòu)的基本功能。

(2)獨立位移方程數(shù)、冗余度、BKC耦合度、I-O解耦性、驅(qū)動副選擇，反映了機構(gòu)運動學(xué)與動力學(xué)性能。

(3)DOF類型及數(shù)目、BKC耦合度、冗余度、POC集維數(shù)、I-O解耦性，反映了機構(gòu)的控制性能。

(4)過約束數(shù)Nov.，反映了機構(gòu)的剛度，以及制造誤差對精度的敏感度：Nov.越大，剛度越大，但對制造誤差的敏感度越高。

限于篇幅，僅介紹重要的POC集、DOF數(shù)、過約束數(shù)Nov.、耦合度κ、I-O解耦性這5個指標，其相應(yīng)的計算公式[1-2]如表1所示。

表1 機構(gòu)的拓撲結(jié)構(gòu)特征指標Tab.1 Indexes of topological structure characteristicsof mechanisms

2 SCARA并聯(lián)機構(gòu)的拓撲分析

筆者團隊最近綜合得到了10個新機構(gòu)[19-25]，以下僅對7個具有較好使用價值的Ⅰ～Ⅶ型單動平臺SCARA型并聯(lián)機構(gòu)進行拓撲結(jié)構(gòu)分析，且按機構(gòu)組成描述、POC集、DOF數(shù)、過約束數(shù)Nov.、耦合度κ、I-O解耦性分析等方面來闡述。

2.1 Ⅰ型3T1R機構(gòu)

2.1.1I型3T1R機構(gòu)的組成描述

I型3T1R機構(gòu)如圖1所示[19]，它由靜平臺0、動平臺1以及4條結(jié)構(gòu)相同的支鏈組成；從靜平臺0到動平臺1，前3個轉(zhuǎn)動副相互平行，后2個轉(zhuǎn)動副相互平行，但第3、4個轉(zhuǎn)動副軸線垂直；4條支鏈的一端通過轉(zhuǎn)動副R15、R25、R35、R45與動平臺1連接，這4個轉(zhuǎn)動副的軸線須平行于動平臺1平面的法線；4條支鏈的另一端通過驅(qū)動副R11、R21、R31、R41與靜平臺0連接，其中，R11⊥R21，R31⊥R41。

圖1 I型3T1R并聯(lián)機構(gòu)Fig.1 Type Ⅰ 3T1R parallel mechanism

2.1.2I型3T1R機構(gòu)的DOF、Nov.、POC計算

(1)機構(gòu)的拓撲結(jié)構(gòu)

SOC{-Ri1‖Ri2‖Ri3⊥Ri4‖Ri5-}
(i=1, 2, 3, 4)

(2)確定支鏈末端構(gòu)件的POC集

約定：動平臺1上任意一點O′為基點，下同。

(3)確定第1回路的獨立位移方程數(shù)ξL1

①由第1、2支鏈構(gòu)成第1回路

②第1、2支鏈構(gòu)成的子PKM的DOF和POC

(4)確定第2回路的獨立位移方程數(shù)ξL2

①由第3支鏈再構(gòu)成第2回路

②第1、2、3支鏈構(gòu)成的子PKM的DOF和POC

(5)確定第3個回路的獨立位移方程數(shù)ξL3

由第4支鏈再構(gòu)成第3回路

(6)確定機構(gòu)的自由度

(7)確定機構(gòu)過約束數(shù)Nov.

(8)確定該機構(gòu)動平臺的POC集

因此，根據(jù)驅(qū)動副的選擇準則[1-2]，當(dāng)靜平臺0上的轉(zhuǎn)動副R11、R21、R31、R41為驅(qū)動時，該機構(gòu)動平臺1產(chǎn)生3個平移和1個繞動平臺1法線的轉(zhuǎn)動。

2.1.3Ⅰ型3T1R機構(gòu)的κ計算、I-O解耦性分析

(1)確定第1回路及其約束度Δ1

(2)確定第2回路及其約束度Δ2

(3)確定第3回路及其約束度Δ3

(4)確定機構(gòu)包含的BKC及其耦合度κ

這樣，該機構(gòu)只包含一個BKC；由于4個驅(qū)動副均在一個BKC內(nèi)，因此，無I-O解耦性。

該機構(gòu)的拓撲結(jié)構(gòu)特性如表2所示。

表2 I型3T1R機構(gòu)的拓撲結(jié)構(gòu)特征Tab.2 Topological structure characteristics oftype Ⅰ 3T1R mechanism

2.2 Ⅱ型3T1R機構(gòu)

2.2.1Ⅱ型3T1R機構(gòu)的組成描述

Ⅱ型3T1R機構(gòu)如圖2所示[19]，它可視為用2條RSS無約束支鏈，替代圖1機構(gòu)中的2條約束支鏈而得。動平臺1上的轉(zhuǎn)動副R15、R35的軸線，須平行于動平臺1平面的法線；靜平臺0上的轉(zhuǎn)動副R11⊥R31，但R21、R41可任意布置。

圖2 Ⅱ型3T1R機構(gòu)Fig.2 Type Ⅱ 3T1R parallel mechanism

2.2.2Ⅱ型3T1R機構(gòu)的DOF、Nov.、POC計算

(1)機構(gòu)的拓撲結(jié)構(gòu)

1、3支鏈同為SOC{-Ri1‖Ri2‖Ri3⊥Ri4‖Ri5-}(i=1,3)；其余2條無約束支鏈為SOC{-S-S-R-}。

(2)確定支鏈末端構(gòu)件的POC集

(3)確定第1個回路的獨立位移方程數(shù)ξL1

①由第1、3支鏈構(gòu)成第1回路

②第1、3支鏈構(gòu)成的子PKM的DOF和POC

(4)確定第2個回路的獨立位移方程數(shù)ξL2

①由第2支鏈再構(gòu)成第2回路

②第1、3、2支鏈構(gòu)成的子PKM的DOF和POC

(5)確定第3個回路的獨立位移方程數(shù)ξL3

由第4支鏈再構(gòu)成第3回路

(6)確定機構(gòu)的自由度

(7)確定機構(gòu)過約束數(shù)Nov.

(8)確定并聯(lián)機構(gòu)動平臺的POC集

因此，當(dāng)取靜平臺0上的R11、R21、R31、R41為驅(qū)動副時，該機構(gòu)作三平移一轉(zhuǎn)動的運動。

2.2.3Ⅱ型3T1R機構(gòu)的κ計算、I-O解耦性分析

(1)確定loop1及其約束度Δ1

(2)確定loop2及其約束度Δ2

(3)確定loop3及其約束度Δ3

(4)確定機構(gòu)包含的BKC及其耦合度κ

因該機構(gòu)只包含一個BKC，同樣無I-O解耦性。

該機構(gòu)的拓撲結(jié)構(gòu)特性如表3所示。

表3 Ⅱ型3T1R機構(gòu)的拓撲結(jié)構(gòu)特性Tab.3 Topological structure characteristics of type Ⅱ 3T1R mechanism

2.3 Ⅲ、IV型3T1R機構(gòu)

2.3.1Ⅲ型3T1R機構(gòu)的組成描述

Ⅲ型3T1R機構(gòu)如圖3所示[20]，它由動平臺1、靜平臺0、4條結(jié)構(gòu)相同且包含由4個轉(zhuǎn)動副組成的平行四邊形的復(fù)雜支鏈組成；動平臺1上的4個轉(zhuǎn)動副R13、R23、R43、R33的軸線須平行于動平臺1平面的法線；靜平臺0上的4個轉(zhuǎn)動副R11、R21、R41、R31平行于動平臺1上4個轉(zhuǎn)動副的軸線。

圖3 Ⅲ型3T1R機構(gòu)Fig.3 Type Ⅲ 3T1R parallel mechanism

2.3.2Ⅲ型3T1R機構(gòu)的DOF、Nov.、POC計算

(1)機構(gòu)的拓撲結(jié)構(gòu)

4條支鏈同為：SOC{-Ri1‖Ri2(-◇(4R)i)-‖Ri3}(i=1,2,3,4)。

(2)確定支鏈末端構(gòu)件的POC集

(3)確定第1個回路的獨立位移方程數(shù)ξL1

①第1、2支鏈構(gòu)成第1回路

②第1、2支鏈構(gòu)成的子PKM的DOF和POC

(4)確定第2個回路的獨立位移方程數(shù)ξL2

①由第3支鏈構(gòu)成第2回路

②第1、2、3支鏈構(gòu)成的子PKM的DOF和POC

(5)確定第3個回路的獨立位移方程數(shù)ξL3

由第4支鏈構(gòu)成第3回路

(6)確定機構(gòu)自由度F

(7)確定機構(gòu)的過約束數(shù)Nov.

(8)確定動平臺POC集

因此，當(dāng)選取靜平臺0上的4個轉(zhuǎn)動副R11、R21、R31、R41為驅(qū)動副時，該機構(gòu)作三平移一轉(zhuǎn)動的運動。

2.3.3Ⅲ 型3T1R機構(gòu)κ計算、I-O解耦性分析

(1)確定loop1及其約束度Δ1

(2)確定loop2及其約束度Δ2

(3)確定loop3及其約束度Δ3

(4)確定所含BKC及其耦合度κ

該機構(gòu)含有一個BKC，同樣，無I-O解耦性。

該機構(gòu)的拓撲結(jié)構(gòu)特性如表4所示。

同樣，用2條RSS無約束支鏈，替代圖3所示機構(gòu)中的2條約束支鏈，即得到如圖4所示的Ⅳ型3T1R機構(gòu)[20]，顯然，該機構(gòu)的拓撲結(jié)構(gòu)特性同Ⅲ 型3T1R機構(gòu)一樣，如表4所示。

表4 Ⅲ型3T1R機構(gòu)的拓撲結(jié)構(gòu)特征Tab.4 Topological structure characteristics oftype Ⅲ 3T1R mechanism

圖4 Ⅳ型3T1R機構(gòu)Fig.4 Type Ⅳ 3T1R parallel mechanism

2.4 Ⅴ型、Ⅵ型3T1R機構(gòu)

2.4.1V型3T1R機構(gòu)的組成描述

V型3T1R機構(gòu)如圖5所示[21]，它由動平臺1、靜平臺0、4條結(jié)構(gòu)相同且包含由4個轉(zhuǎn)動副組成的平行四邊形的復(fù)雜支鏈組成；動平臺1上的4個轉(zhuǎn)動副R14、R24、R34、R44的軸線須平行于動平臺1平面的法線；靜平臺0上的轉(zhuǎn)動副配置為R11⊥R31、R21⊥R41。

圖5 V型3T1R機構(gòu)Fig.5 Type Ⅴ 3T1R parallel mechanism

2.4.2V型3T1R機構(gòu)的DOF、Nov.、POC計算

(1)機構(gòu)拓撲結(jié)構(gòu)

4條支鏈相同，為：SOC{-Ri1-Ri2(-◇(4R)i5-) ‖Ri3⊥Ri4-}(i=1,2,3,4)。

(2)確定支鏈末端構(gòu)件的POC集

(3)確定第1個回路的獨立位移方程數(shù)ξL1

①由第1、2支鏈構(gòu)成第1回路

②第1、2支鏈構(gòu)成的子PKM的DOF和POC

Mpa(1-2)=

(4)確定第2個回路的獨立位移方程數(shù)ξL2

①由第3支鏈構(gòu)成第2回路

②第1、2、3支鏈構(gòu)成的子PKM的DOF和POC

(5)確定第3個回路的獨立位移方程數(shù)ξL3

由第4支鏈構(gòu)成第3回路

(6)確定機構(gòu)自由度F

(7)確定機構(gòu)的過約束數(shù)Nov.

(8)確定動平臺POC集

因此，取靜平臺0上的4個轉(zhuǎn)動副R11、R21、R41、R31為驅(qū)動副時，該機構(gòu)作三平移一轉(zhuǎn)動運動。

2.4.3V型3T1R機構(gòu)的κ計算、I-O解耦性分析

(1)確定loop1及其約束度Δ1

(2)確定loop2及其約束度Δ2

(3)確定loop3及其約束度Δ3

(4)確定機構(gòu)BKC及其耦合度κ

因該機構(gòu)只包含一個BKC，也無I-O解耦性。

該機構(gòu)的拓撲結(jié)構(gòu)特性如表5所示。

表5 V型3T1R機構(gòu)的拓撲結(jié)構(gòu)特性Tab.5 Topological structure characteristics oftype Ⅴ 3T1R mechanism

需要說明的3種情況是：

(1)同樣，用2條RSS無約束支鏈，替代圖5所示機構(gòu)中的2條約束支鏈，即得到如圖6所示的Ⅵ-1型3T1R機構(gòu)[21]，顯然，該機構(gòu)具有與V型3T1R機構(gòu)一樣的拓撲結(jié)構(gòu)特性，如表5所示。

圖6 Ⅵ-1型3T1R機構(gòu)Fig.6 Type Ⅵ-1 3T1R parallel mechanism

(2)將圖5所示機構(gòu)中的平行四邊形復(fù)雜支鏈短邊上的轉(zhuǎn)動副，例：支鏈I上的轉(zhuǎn)動副R13及其兩端的轉(zhuǎn)動副，等效為2個球副，如圖7中的Sa、Sb，即成為圖7所示的Ⅵ-2型3T1R機構(gòu)[22]，顯然，它們具有與V型3T1R機構(gòu)相同的DOF、POC、κ、Nov.及I-O解耦性。

圖7 Ⅵ-2型3T1R機構(gòu)Fig.7 Type Ⅵ-2 3T1R parallel mechanism

(3)將圖7所示機構(gòu)中的2條垂直配置的復(fù)雜支鏈，例：Ⅱ、Ⅲ支鏈，用R-S-S無約束支鏈代替(例，圖8中的R21-S22-S23，R41-S42-S43)，即成為圖8所示的Ⅵ-3型3R1T機構(gòu)[23]，同樣，其DOF、POC、Nov.、κ、BKC、I-O解耦性，與圖5～7所示機構(gòu)相同，其計算從略。

圖8 Ⅵ-3型3T1R機構(gòu)Fig.8 Type Ⅵ-3 3T1R parallel mechanism

2.5 Ⅶ型3T1R機構(gòu)

2.5.1Ⅶ型3T1R機構(gòu)的組成描述

圖9 VII型3T1R機構(gòu)Fig.9 Type Ⅶ 3T1R parallel mechanism

Ⅶ型3T1R機構(gòu)如圖9所示[24]，它由動平臺1、靜平臺0、2條RSS型無約束支鏈，以及2條包含由4個球副組成的平行四邊形的復(fù)雜支鏈組成；裝配時，為使4個球副S的球心構(gòu)成平行四邊形，必須在平行四邊形中配置一桿帶兩轉(zhuǎn)動副(Ra、Rb)的結(jié)構(gòu)(其長度等于其一邊長度即可)；動平臺1上的轉(zhuǎn)動R12、R22的軸線須平行于動平臺1平面的法線；靜平臺0上的轉(zhuǎn)動副R11⊥R21，但R31、R41可任意布置。

2.5.2Ⅶ型3T1R機構(gòu)的DOF、Nov.、POC計算

(1)機構(gòu)的拓撲結(jié)構(gòu)

2條復(fù)雜支鏈為HSOC1{-R11‖◇(-S1,S2,S3,S4)-R12}、HSOC2{-R21‖◇(-S5,S6,S7,S8)-R22}；其余2條為無約束支鏈SOC{-R31-S9-S10-}、SOC{-R41-S12-S11-}。

(2)確定支鏈末端構(gòu)件的POC集、HSOC1、HSOC2末端構(gòu)件的POC集為

2條無約束支鏈末端構(gòu)件的POC集為

(3)確定第1個回路的獨立位移方程數(shù)ξL1

①由第1、2支鏈構(gòu)成第1回路

②第1、2支鏈構(gòu)成的子PKM的DOF和POC為

(4)確定第2個回路的獨立位移方程數(shù)ξL2

①由第3支鏈構(gòu)成第2回路

②第1、2、3支鏈構(gòu)成的子PKM的DOF和POC

Mpa(1-3)=Mpa(1-2)∩Mb3=

(5)確定第3個獨立回路的獨立位移方程數(shù)ξL3

由第4支鏈構(gòu)成第3回路

ξL3=dim.(Mpa(1-3)∪Mb4)=

(6)確定機構(gòu)自由度F

(7) 確定機構(gòu)的過約束數(shù)Nov.

(8)確定動平臺POC集

Mpa=Mpa(1-3)∩Mb4=

因此，當(dāng)取R11、R21、R31、R41為驅(qū)動副時，該機構(gòu)作三平移一轉(zhuǎn)動的運動。

2.5.3Ⅶ型3T1R機構(gòu)κ計算、I-O解耦性分析

(1)確定第1回路及其約束度Δ1

(2)確定第2回路及其約束度Δ2

(3)確定第3回路及其約束度Δ3

(4)確定所含基本運動鏈(BKC)及耦合度κ

該機構(gòu)僅含有一個BKC，也無I-O解耦性。該機構(gòu)的拓撲結(jié)構(gòu)特性如表6所示。

實現(xiàn)SCARA運動的X4機構(gòu)[17]，具有4條完全相同的上述復(fù)雜支鏈；而該機構(gòu)僅具有2條復(fù)雜支鏈，因此，該機構(gòu)可看作是X4并聯(lián)機構(gòu)的改進與優(yōu)化，其構(gòu)造簡單，制造維修更為容易。

表6 Ⅶ型3T1R并聯(lián)機構(gòu)的拓撲結(jié)構(gòu)特性Tab.6 Topological structure characteristics of type Ⅶ 3T1R mechanism

至此，已完成7個(Ⅰ～Ⅶ)具有較好實用價值的4-DOF三平移一轉(zhuǎn)動并聯(lián)機構(gòu)的拓撲結(jié)構(gòu)特性分析，為尋求其低耦合度的新機型設(shè)計與優(yōu)化奠定了基礎(chǔ)。

3 基于結(jié)構(gòu)降耦的拓撲優(yōu)化

由第2小節(jié)分析可知，這7個單動平臺的3T1R機構(gòu)，其耦合度均較高，為κ=2，這意味著這些機構(gòu)運動學(xué)正解或動力學(xué)正、逆解，其代數(shù)求解困難，數(shù)值求解也需要用二維搜索法才能求解，計算過程不易收斂并占時較多[2, 26]。

為此，本文運用結(jié)構(gòu)降耦方法之一——機構(gòu)運動副復(fù)合法[27-28, 30]，對這7種3T1R機構(gòu)進行拓撲結(jié)構(gòu)降耦，得到了14個結(jié)構(gòu)更簡單、耦合度低(κ=1)、運動學(xué)或動力學(xué)求解不復(fù)雜、但DOF和POC均不變的新機構(gòu)。限于篇幅，現(xiàn)僅舉以下2例說明。

3.1 I型3T1R并聯(lián)機構(gòu)的降耦設(shè)計

將圖1所示的I型3T1R并聯(lián)機構(gòu)中，垂直配置的2條支鏈在動平臺1上的轉(zhuǎn)動副R15和R25重合(稱為：一次降耦)，形成一條含空間回路的復(fù)雜支鏈，得到的機構(gòu)如圖10所示[31]，顯然，機構(gòu)的DOF、POC、Nov.等均不變，但耦合度發(fā)生了變化，現(xiàn)計算如下：

圖10 一次降耦后的I型3T1R機構(gòu)Fig.10 Once decoupled type Ⅰ 3T1R parallel mechanism

(1)確定第1回路及其約束度Δ1

loop1{-R11‖R12‖R13⊥R14‖R25‖R24⊥

(2)確定第2回路及其約束度Δ2

(3)確定第3回路及其約束度Δ3

(4)機構(gòu)的耦合度κ

因此，降耦后的機構(gòu)仍由一個BKC組成，但其耦合度已降為κ=1。

進一步，對圖10所示機構(gòu)中另2條垂直配置的支鏈在動平臺1上的轉(zhuǎn)動副R35和R45重合(稱為：二次降耦)，則形成第2條含空間回路的復(fù)雜支鏈，得到如圖11所示的機構(gòu)[32]，其耦合度計算為：

圖11 二次降耦后的I型3T1R機構(gòu)Fig.11 Twice decoupled type Ⅰ3T1R parallel mechanism

(1)確定第1回路及其約束度Δ1

(2)確定第2回路及其約束度Δ2

根據(jù)基于約束度Δ最小的回路選擇原則[2]，第2回路不應(yīng)選復(fù)雜支鏈2構(gòu)成的回路(其約束度為1)，而應(yīng)為

(3)確定第3回路及其約束度Δ3

(4)機構(gòu)的耦合度κ

因此，該機構(gòu)仍含1個BKC，其耦合度也已降為κ=1；但機構(gòu)的自由度為F=4，過約束數(shù)Nov.=2，POC集為三平移一轉(zhuǎn)動，仍沒有改變。

需要說明的是：圖1所示Ⅰ型3T1R機構(gòu)的動平臺1和支鏈有4個轉(zhuǎn)動副連接，而圖10、11所示機構(gòu)的動平臺1和支鏈連接的轉(zhuǎn)動副，分別減少為3、2個，也許會增大動平臺的工作靈活性和工作空間，這有待詳細分析。

3.2 Ⅱ型 3T1R并聯(lián)機構(gòu)的降耦設(shè)計

將圖2所示Ⅱ型 3T1R并聯(lián)機構(gòu)中，垂直配置的2條支鏈在動平臺1上的轉(zhuǎn)動副R15和R35重合(一次降耦)，則得到如圖12所示的降耦機構(gòu)[31]，其耦合度計算如下：

圖12 一次降耦后的Ⅱ型3T1R機構(gòu)Fig.12 Once decoupled type Ⅱ 3T1R parallel mechanism

(1)確定第1回路及其約束度Δ1，同圖10所示機構(gòu)，為

loop1{-R11‖R12‖R13⊥R14‖R35‖R34⊥R33
‖R32‖R31-}

(2)確定第2回路及其約束度Δ2

(3)確定第3回路及其約束度Δ3

(4)機構(gòu)耦合度κ

因此，該機構(gòu)僅含1個BKC，其耦合度已降為1。進一步，將圖12所示機構(gòu)的其它2條S-S-R無約束支鏈在動平臺1上的球副S22和S42重合(二次降耦)，形成第2條含空間回路的復(fù)雜支鏈，得到圖13所示的機構(gòu)[31]，同樣有：

圖13 二次降耦后的Ⅱ型3T1R機構(gòu)Fig.13 Twice decoupled type Ⅱ 3T1R parallel mechanism

(1)確定第1回路及其約束度Δ1，同上，為

(2)確定第2回路及其約束度Δ2，同上，為

(3)確定第3回路及其約束度Δ3

(4)機構(gòu)耦合度κ

即該機構(gòu)耦合度已降為κ=1，顯然，機構(gòu)的位置正解以及動力學(xué)分析較為容易，但機構(gòu)的POC和自由度(F=4)都沒變，但簡化了機構(gòu)的結(jié)構(gòu)。其復(fù)合的球副可采用文獻[33]提出的“易制造結(jié)構(gòu)”來設(shè)計與制造，如圖14所示。

圖14 二次降耦后的Ⅱ型3T1R機構(gòu)易制造結(jié)構(gòu)Fig.14 Twice decoupled type Ⅱ 3T1R parallel mechanism (easy fabrication structure)

其他5種3T1R機構(gòu)的降耦設(shè)計，可同樣處理，限于篇幅，從略。

這樣，共得到14個低耦合度(κ=1)機型，其

中，動平臺具有3個運動副的有7個，另7個為動平臺具有2個運動副。這樣，7個耦合度較大的(κ=2)以及14個低耦合度(κ=1)的4-DOF 3T1R原創(chuàng)性新機構(gòu)，構(gòu)成了可實現(xiàn)SCARA運動的機構(gòu)庫，為其進一步研究、優(yōu)選、設(shè)計與應(yīng)用奠定了良好的理論基礎(chǔ)。

4 結(jié)論

(1)根據(jù)基于方位特征(POC)和序單開鏈(SOC)的并聯(lián)機構(gòu)拓撲結(jié)構(gòu)設(shè)計理論與方法，對提出的一類7個具有較好實用價值的SCARA并聯(lián)機構(gòu)，進行了拓撲結(jié)構(gòu)分析，揭示了其POC集、自由度(含驅(qū)動副選取)、Nov.、耦合度、I-O解耦性等5個最主要的拓撲特征，發(fā)現(xiàn)其耦合度均較大為κ=2，表明其運動學(xué)位置正解和動力學(xué)求解十分復(fù)雜。

(2)基于結(jié)構(gòu)降耦原理，繼而又對上述κ=2的這7個機構(gòu)，通過動平臺上轉(zhuǎn)動副或球副的復(fù)合，進行了拓撲結(jié)構(gòu)降耦優(yōu)化，又得到了14個結(jié)構(gòu)更簡單、耦合度更低(κ=1)而POC、DOF等保持不變的3T1R原創(chuàng)性機構(gòu)，一方面，它們的運動學(xué)正解及動力學(xué)正反解的代數(shù)求解難度大大降低，其數(shù)值解可用一維搜索法方便求得；另一方面，大大豐富了SCARA并聯(lián)機構(gòu)庫，為SCARA并聯(lián)機構(gòu)類型優(yōu)選、運動學(xué)與動力學(xué)綜合和分析，以及設(shè)計和應(yīng)用提供了基礎(chǔ)。

(3)分析并揭示并聯(lián)機構(gòu)的方位特征集(POC集)及其維數(shù)、獨立回路數(shù)v、獨立位移方程數(shù)ξLi、過約束數(shù)Nov.、自由度(DOF)類型和數(shù)目F、基本運動鏈(BKC)類型及其數(shù)目、BKC耦合度κ、I-O解耦性、消極運動副、驅(qū)動副選擇、冗余度等12個指標，它能為并聯(lián)機構(gòu)類型優(yōu)選及其性能評價提供重要依據(jù)，為機構(gòu)的優(yōu)選、運動學(xué)與動力學(xué)的求解提供明確的方向，可在機構(gòu)選型階段就能大致了解機構(gòu)的一些運動學(xué)和動力學(xué)性能，大大減少機構(gòu)創(chuàng)新設(shè)計階段反復(fù)、冗長的運動學(xué)和動力學(xué)綜合、分析復(fù)雜性及其計算時間，因此，機構(gòu)的拓撲結(jié)構(gòu)特征分析，應(yīng)為并聯(lián)機構(gòu)研究與開發(fā)應(yīng)用中的一個重要環(huán)節(jié)。

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TopologicalAnalysisforFamilyofSCARAParallelMechanismsandTheirEquivalentDesignwithLowCouplingDegree

LI Ju ZENG Qingfei SHEN Huiping YANG Tingli

(ResearchCenterforAdvancedMechanismTheory,ChangzhouUniversity,Changzhou213016,China)

According to the parallel mechanism design theory and systematical method based on position and orientation characteristic (POC), a total topological structures analysis was performed on seven typical new SCARA parallel mechanisms (PMs) with proposed practical value. Five major topological features were revealed, which were POC set, degree of freedom (including the selection of drive pair), over-constraint degree, coupling degree and input-output motion decoupling relationship of PMs. It was found that the coupling degree of these PMs were bigger withκ=2, which meant that the forward kinematics solutions and inverse dynamic solution of the PMs were very complete. Therefore, decoupling and optimization of these PMs were completed based on the proposed mechanism topological structural decoupling principles, and 14 new equivalent mechanisms with lower coupling degree which had the same POC and DOF were achieved. Thus the 4-DOF mechanism with three translations and one rotation which can achieve Schonflies motion can be enriched greatly, and the forward kinematics solutions and inverse dynamic solution of these PMs can be obtained easily, and the numerical solution can be gotten conveniently by using one dimensional searching method. The research provided a theoretical basis for the kinematics synthesis and analysis, design and applications for these new SCARA PMs.

parallel mechanism; POC method; topological structure analysis; coupling degree; topological characteristics; mechanism synthesis

10.6041/j.issn.1000-1298.2017.11.050

TH112

A

1000-1298(2017)11-0405-12

2017-03-12

2017-04-10

國家自然科學(xué)基金項目(51405039、51375062、51475050)、江蘇省重點研發(fā)計劃項目(BE2015043)和江蘇省科技成果轉(zhuǎn)化專項資金項目(BA2015098)

李菊(1981—)，女，講師，博士，主要從事機器人機構(gòu)設(shè)計和自動控制研究，E-mail: wangju0209@163.com