沈清瑋 徐林 蔣建華2)

1)(蘇州大學(xué)物理與光電.能源學(xué)部,蘇州 215006)2)(蘇州大學(xué),2011蘇州納米科技協(xié)同創(chuàng)新中心,蘇州 215006)

圓環(huán)結(jié)構(gòu)磁光光子晶體中的拓?fù)湎嘧?

沈清瑋1)徐林1)蔣建華1)2)?

1)(蘇州大學(xué)物理與光電.能源學(xué)部,蘇州 215006)2)(蘇州大學(xué),2011蘇州納米科技協(xié)同創(chuàng)新中心,蘇州 215006)

(2017年8月30日收到;2017年11月8日收到修改稿)

二維圓環(huán)結(jié)構(gòu)的三角晶格磁光光子晶體中可以呈現(xiàn)多重拓?fù)湎?在不同的幾何參數(shù)和磁場(chǎng)下,這些拓?fù)湎喟ㄕ９庾訋断?、量子自旋霍爾相和反常量子霍爾?與文獻(xiàn)[1]類似,該結(jié)果展現(xiàn)了二維光子晶體豐富的拓?fù)湎嘧儸F(xiàn)象.

光子晶體,拓?fù)湎嘧?拓?fù)溥吔鐟B(tài)

1 引 言

1879年,美國(guó)物理學(xué)家Hall發(fā)現(xiàn)電流通過(guò)有垂直磁場(chǎng)的導(dǎo)體時(shí)會(huì)產(chǎn)生側(cè)向電壓,這一現(xiàn)象被稱為霍爾效應(yīng)[2].大約在100年后,也就是1980年,德國(guó)物理學(xué)家von Klitzing實(shí)驗(yàn)觀測(cè)到在強(qiáng)磁場(chǎng)下,二維電子氣的霍爾電導(dǎo)呈現(xiàn)出階梯化的變化,被稱為整數(shù)量子霍爾效應(yīng)[3].1982年,Thouless等[4]指出這種整數(shù)化的霍爾效應(yīng)是由于能帶的非平庸拓?fù)湫再|(zhì)導(dǎo)致的.根據(jù)他們的理論,量子霍爾效應(yīng)中的整數(shù)對(duì)應(yīng)一種被稱為第一類陳數(shù)的拓?fù)淞孔訑?shù).1988年,Haldane提出了在周期交錯(cuò)的磁場(chǎng)下獲得量子化電導(dǎo)的方法.由于該方法總的磁通量為零,因而被稱為反常量子霍爾效應(yīng)(quantum anomalous Hall e ff ect,QAH e ff ect)[5].反常量子霍爾效應(yīng)通常用來(lái)指沒(méi)有朗道能級(jí)圖像的量子霍爾效應(yīng)系統(tǒng),特別是有磁性系統(tǒng)的量子霍爾效應(yīng)[6].雖然這個(gè)辦法不需要外加磁場(chǎng),但是局域范圍內(nèi)體系的時(shí)間反演對(duì)稱性是被破壞的(time-reversal broken,TRB).2005年和2006年,Kane和Mele[7],以及Zhang等[8]分別提出了受時(shí)間反演對(duì)稱性保護(hù)的二維量子自旋霍爾效應(yīng)(quantum spin Hall e ff ect,QSHE)和三維拓?fù)浣^緣體.量子自旋霍爾效應(yīng)和三維拓?fù)浣^緣體由一種新的拓?fù)淞孔訑?shù)描述,稱為Z2拓?fù)鋽?shù)(有時(shí)可以表示為“自旋陳數(shù)”,實(shí)際上是第二類陳數(shù)).隨后,在2011年拓?fù)渚w絕緣體[9]和Floquet拓?fù)浣^緣體[10]相繼被提出.

從量子霍爾效應(yīng)和反常量子霍爾效應(yīng)到量子自旋霍爾效應(yīng),體系的時(shí)間反演對(duì)稱性質(zhì)從無(wú)到有.在量子霍爾效應(yīng)中,由于時(shí)間反演不對(duì)稱,只有單向傳輸?shù)氖中赃吔鐟B(tài)(chiral edge state).而在量子自旋霍爾效應(yīng)中,由于電子是費(fèi)米子,時(shí)間反演對(duì)稱性保證了Kramers二重簡(jiǎn)并(自旋簡(jiǎn)并),從而導(dǎo)致了自旋反向的雙向?qū)菪吔鐟B(tài)(helical edge states):自旋上的電子朝一個(gè)方向運(yùn)動(dòng),自旋下的電子朝相反的方向運(yùn)動(dòng).如果在自旋量子霍爾效應(yīng)中引入微小的時(shí)間反演不對(duì)稱,原有的Kramers二重簡(jiǎn)并將會(huì)出現(xiàn)分裂,但只要體系的帶隙不閉合,雙向?qū)ǖ倪吔鐟B(tài)仍然存在.這樣的體系可稱之為時(shí)間反演破壞的量子自旋霍爾效應(yīng)(TRB QSHE).如果進(jìn)一步加大時(shí)間反演不對(duì)稱性,體系將會(huì)發(fā)生拓?fù)湎嘧?帶隙會(huì)先閉合再打開(kāi),進(jìn)入一個(gè)新的拓?fù)湎?反常量子霍爾效應(yīng)相(QAH).QAH相存在單向?qū)ǖ倪吔鐟B(tài),所以拓?fù)湎嘧兊囊粋€(gè)重要結(jié)果就是邊界態(tài)性質(zhì)的改變.通過(guò)改變時(shí)間反演對(duì)稱性破壞的程度,體系可以經(jīng)過(guò)QSHE到TRB QSHE,再到QAH的轉(zhuǎn)變過(guò)程.

在光子晶體學(xué)領(lǐng)域中,光子能帶的拓?fù)洮F(xiàn)象最早由Haldane和Raghu在2008年提出[11,12].他們?cè)诖殴夤庾泳w系統(tǒng)給出了實(shí)現(xiàn)光學(xué)的量子霍爾效應(yīng)的方案.隨后更多的光學(xué)的量子霍爾效應(yīng)和單向邊界態(tài)被人們廣泛地研究并在實(shí)驗(yàn)上實(shí)現(xiàn)[13?15].由于光子屬于玻色子,沒(méi)有Kramers二重簡(jiǎn)并,無(wú)法直接將量子自旋霍爾效應(yīng)和拓?fù)浣^緣體的概念推廣到光子晶體.雖然如此,但是人們還是通過(guò)其他對(duì)稱性質(zhì)加上玻色系統(tǒng)的時(shí)間反演對(duì)稱構(gòu)造了類似電子系統(tǒng)的贗時(shí)間反演對(duì)稱和對(duì)應(yīng)的贗自旋1/2態(tài).這樣的贗自旋1/2態(tài)有利用光子偏振特性的TE+TM/TE-TM混合模式[16,17]和TE/TM模式[18]實(shí)現(xiàn)的二重簡(jiǎn)并,也有利用空間對(duì)稱性質(zhì)的順時(shí)針/逆時(shí)針能流態(tài)[19]構(gòu)成的.因?yàn)闀r(shí)間反演對(duì)稱操作在電子自旋1/2態(tài)的作用數(shù)學(xué)上等價(jià)于贗時(shí)間反演對(duì)稱操作在贗自旋1/2態(tài)的作用,所以可以將電子的自旋量子霍爾效應(yīng)的拓?fù)渖系慕Y(jié)論映射到光子晶體體系中來(lái).與此同時(shí),通過(guò)連續(xù)破壞時(shí)間反演對(duì)稱性,也可以研究在光子體系中的拓?fù)湎嘧兊膯?wèn)題.

最近,Chen等[1]報(bào)道了在二維蜂窩狀晶格磁光光子晶體中,通過(guò)調(diào)控原胞的幾何結(jié)構(gòu)和外加磁場(chǎng)破壞時(shí)間反演對(duì)稱性質(zhì),可以實(shí)現(xiàn)光學(xué)中的自旋量子霍爾效應(yīng)相到時(shí)間反演破壞的自旋量子霍爾效應(yīng)相,再到反常量子霍爾效應(yīng)的相變過(guò)程.本文研究了在二維圓環(huán)結(jié)構(gòu)的磁光光子晶體中的拓?fù)湎嘧儐?wèn)題.根據(jù)之前的工作[20]可知,無(wú)外磁場(chǎng)時(shí),在三角晶格C6點(diǎn)群和真實(shí)的TR對(duì)稱構(gòu)造的贗TR對(duì)稱的保護(hù)下,通過(guò)調(diào)節(jié)圓環(huán)內(nèi)外徑大小,可以實(shí)現(xiàn)二維光子晶體的自旋量子霍爾態(tài)或者普通的絕緣態(tài).基于此,當(dāng)逐漸增加外磁場(chǎng)時(shí),由于磁光介質(zhì)的法拉第效應(yīng),破壞了體系的時(shí)間反演對(duì)稱,二維光子晶體將經(jīng)歷自旋量子霍爾效應(yīng)到時(shí)間反演破壞的自旋量子霍爾效應(yīng),再到反常量子霍爾效應(yīng)的相變過(guò)程.數(shù)值計(jì)算的能帶和拓?fù)溥吔鐟B(tài)證實(shí)了相變過(guò)程.本文的工作豐富了調(diào)控二維光子晶體的拓?fù)湎嘧兊姆椒?

2 光子晶體的結(jié)構(gòu)和相變

考慮的二維光子晶體是圓環(huán)磁光材料擺成的三角晶格體系.如圖1(a)所示,晶格常數(shù)為a,磁光材料的圓環(huán)內(nèi)外半徑分別為R1和R2.磁光材料為釔鐵石榴石(YIG),它的介電常數(shù)是它的磁導(dǎo)率張量為.這個(gè)張量取決于外磁場(chǎng)和光子頻率.它的取值由Drude模型決定[21],其中飽和磁化率4πMs=1884.通常在1600 Gauss的磁場(chǎng)和4.28 MHz下,YIG磁導(dǎo)率的張量元分別取κ=12.4u0和u=14u0.

圖1 二維光子晶體原胞結(jié)構(gòu)示意圖和能帶相變圖 (a)三角晶格晶格常數(shù)為a,背景是空氣,介電常數(shù)和真空磁導(dǎo)率分別為ε0和μ0,圓環(huán)結(jié)構(gòu)的內(nèi)外半徑R1和R2是可調(diào)控的;(b)在R1=0.334a和R2=0.429a(a=0.013 m)的原胞結(jié)構(gòu)時(shí),無(wú)外加磁場(chǎng)下,光子晶體是QSHE的相,隨著外加磁場(chǎng)H的增大,體系發(fā)生了拓?fù)滢D(zhuǎn)變Fig.1.The structure of unit cell and phase transition of two dimensional photonic crystal:(a)Lattice constant is a,dielectric constant and permeability of vacuum is ε0and u0respectively,the radius of ring structure R1and R2are tunable;(b)When R1=0.334a and R2=0.429a(a=0.013 m)without external magnetic field,photonic crystal is in QSHE When external magnetic field is increasing,the topology of this system is changing.

圖2 不同二維光子晶體能帶 (a)在無(wú)外磁場(chǎng)、R1=0.005a和R2=0.388a的原胞結(jié)構(gòu)A時(shí),光子晶體在頻率為0.46附近是普通的絕緣相;(b)在外磁場(chǎng)H=600,R1=0.357a和R2=0.450a的原胞結(jié)構(gòu)B時(shí),光子晶體在頻率為0.46附近是時(shí)間反演破壞的自旋量子霍爾效應(yīng)相;(c)在外磁場(chǎng)H=2200,R1=0.284a和R2=0.425a的原胞結(jié)構(gòu)C時(shí),光子晶體在頻率為0.46附近是QAH相Fig.2.Di ff erent band structures in two dimensional photonic crystal:(a)When R1=0.005a and R2=0.388a without external magnetic field,photonic crystal is conventional insulator phase near the frequency of 0.46;(b)when R1=0.357a and R2=0.450a with external magnetic field H=600,photonic crystal is TRB a quantum spin Hall phase near the frequency of 0.46;(c)when R1=0.284a and R2=0.425a with external magnetic field H=2200,photonic crystal is QAH near the frequency of 0.46.

現(xiàn)在考慮橫向磁場(chǎng)(TM)模式的光子晶體本征態(tài)問(wèn)題.由于三角晶格具有C6對(duì)稱性,所以光子晶體的能帶在Γ點(diǎn)處存在兩個(gè)二維不可約表示,分別為E1和E2[22].根據(jù)宇稱的不同,E1的兩個(gè)本征基態(tài)函數(shù)記為px和py,簡(jiǎn)并頻率對(duì)應(yīng)ω1;而E2的兩個(gè)本征基態(tài)函數(shù)為記為dxy和dx2?y2,簡(jiǎn)并頻率對(duì)應(yīng)ω2.兩個(gè)p態(tài)和d態(tài)可以分別構(gòu)成兩個(gè)贗自旋1/2態(tài),即和對(duì)于普通的絕緣相而言,d態(tài)的頻率高于p態(tài).但是通過(guò)調(diào)節(jié)內(nèi)外半徑大小和材料的電介質(zhì)參數(shù),可以實(shí)現(xiàn)p態(tài)和d態(tài)的偶然簡(jiǎn)并,甚至能帶的反轉(zhuǎn)[20],這樣就實(shí)現(xiàn)了光子的自旋量子霍爾相.如果普通的絕緣相和自旋量子霍爾相具有共同的帶隙,那么在它們的邊界上可以找到受體態(tài)拓?fù)湫再|(zhì)保護(hù)的拓?fù)溥吔鐟B(tài).

加入外加磁場(chǎng)后,原來(lái)簡(jiǎn)并的贗自旋態(tài)的能級(jí)會(huì)劈裂.如圖1(b)所示,在H=0時(shí),光子晶體是自旋量子霍爾效應(yīng)相,p態(tài)的頻率高于d態(tài).隨著外加磁場(chǎng)的增加,體系變成時(shí)間反演破壞的自旋量子霍爾效應(yīng)相.在H到達(dá)1700 Gauss時(shí),體系變成了反常量子霍爾效應(yīng)相.本文的能帶結(jié)構(gòu)和邊界態(tài)是由商業(yè)軟件COMSOL MULTPHYSICS計(jì)算的.考慮到所關(guān)心的能帶頻率處于10 GHz到14 GHz之間,對(duì)于有效的Drude參數(shù),采取該頻率段的平均值.晶格常數(shù)選取a=0.013 m來(lái)討論能帶結(jié)構(gòu)的拓?fù)湎嘧?

圖2展現(xiàn)了3種不同拓?fù)湎嗟哪軒D.其中A和B分別為普通的絕緣相和時(shí)間反演破壞的自旋量子霍爾效應(yīng)相,它們?cè)?.46附近有共同的帶隙.體系C是QAH相.

3 拓?fù)溥吔鐟B(tài)

圖2所示的三種不同拓?fù)湎郃,B和C有共同的帶隙.由于A和B的能帶具有不同的陳數(shù),根據(jù)拓?fù)淠軒Ю碚撝畜w態(tài)邊界態(tài)的對(duì)應(yīng)關(guān)系,如果A和C放在一起,將會(huì)在它們的邊界上出現(xiàn)受拓?fù)湫再|(zhì)保護(hù)的單向傳輸?shù)氖中赃吔鐟B(tài).我們用32個(gè)原胞構(gòu)成長(zhǎng)條狀的超原胞,如圖3(a),并計(jì)算得到該超原胞的投影能帶圖.在投影能帶圖中可以看出0.46頻率點(diǎn)附近有表面態(tài)的色散關(guān)系.圖3(b)和圖3(c)分別展示了在s1和s2交面處ky=?0.2π/a表面態(tài)的Ez的場(chǎng)分布.可以看出兩者是同一種模式,只是在不同的交面而已,它們是單向傳輸?shù)?因而單向傳輸?shù)倪吔鐟B(tài)的存在說(shuō)明了A和B的能帶陳數(shù)的不同.

圖3 投影能帶和陳數(shù)不同所導(dǎo)致的拓?fù)溥吔鐟B(tài) (a)計(jì)算由圖2中A和C兩種光子晶體各16個(gè)原胞構(gòu)成的長(zhǎng)條狀的超原胞的投影能帶,s1和s2為左右兩個(gè)界面;(b)在能帶P1點(diǎn)處,ky= ?0.2π/a時(shí),s1界面處拓?fù)溥吔鐟B(tài)Ez的場(chǎng)分布;(c)在能帶P2點(diǎn)處,ky=0.2π/a時(shí),s2界面處拓?fù)溥吔鐟B(tài)Ez的場(chǎng)分布Fig.3.Projected band structure and topological edge states induced by the di ff erence of Chern number:(a)Super cell consists of 16 unit cell A and 16 unit cell C of Fig.2.Projected band structure is calculated with two di ff erent interfaces s1and s2;(b)Ez field of topological edge state at interface s1of P1with ky= ?0.2π/a;(c)Ez field of topological edge state at interface s2of P2with ky=0.2π/a.

類似地,由于A和B分別為普通的絕緣相和時(shí)間反演破壞的自旋量子霍爾效應(yīng)相,因而它們的能帶具有不同的Z2拓?fù)鋽?shù).如果A和B放在一起,將會(huì)在它們的邊界上出現(xiàn)受拓?fù)湫再|(zhì)保護(hù)的一對(duì)螺旋邊界態(tài).我們用32個(gè)原胞構(gòu)成長(zhǎng)條狀的超原胞,如圖4(a),并計(jì)算得到該超原胞的投影能帶圖.在投影能帶圖中可以看出0.46頻率點(diǎn)附近有表面態(tài)的色散關(guān)系.圖4(b)和圖4(c)分別展示了在s1交面處ky=?0.2π/a表面態(tài)的Ez的場(chǎng)分布,構(gòu)成該體系的一對(duì)螺旋邊界態(tài).通常該對(duì)螺旋邊界態(tài)的能量是一樣的,但是本文的體系中由于s1交面和s2交面并非完全等價(jià),且在邊界上的贗TR對(duì)稱性被破壞,因而造成兩個(gè)邊界態(tài)的能量的不同.

圖4 投影能帶和Z2拓?fù)鋽?shù)不同所導(dǎo)致的拓?fù)溥吔鐟B(tài)(a)計(jì)算由圖2中A和B兩種光子晶體各16個(gè)原胞構(gòu)成的長(zhǎng)條狀的超原胞的投影能帶,s1和s2為左右兩個(gè)界面;(b)在能帶P1點(diǎn)處,ky= ?0.2π/a時(shí),s1界面處拓?fù)溥吔鐟B(tài)Ez的場(chǎng)分布;(c)在能帶P2點(diǎn)處,ky=0.2π/a時(shí),s1界面處拓?fù)溥吔鐟B(tài)Ez的場(chǎng)分布Fig.4.Projected band structure and topological edge states induced by the di ff erence of Z2topological number:(a)Super cell consists of 16 unit cell A and 16 unit cell B of Fig.2.Projected band structure is calculated with two di ff erent interfaces s1and s2;(b)Ez field of topological edge state at interface s1of P1with ky= ?0.2π/a;(c)Ez field of topological edge state at interface s1of P2with ky=0.2π/a.

4 結(jié) 論

利用磁光材料在三角晶格光子晶體中實(shí)現(xiàn)了多重拓?fù)湎嘧?通過(guò)改變?cè)慕Y(jié)構(gòu)和外磁場(chǎng)的大小,三角晶格光子晶體可以具有正常光子帶隙、量子自旋霍爾相和反常量子霍爾相,并且得到了手性邊界態(tài)和螺旋邊界態(tài).本文空心圓環(huán)的結(jié)構(gòu)比文獻(xiàn)[1]的結(jié)構(gòu)更為簡(jiǎn)單,因此為實(shí)現(xiàn)光子晶體的拓?fù)湎嘧兲峁┝烁嗟姆椒?

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PACS:41.20.Jb,03.65.Vf,42.25.GyDOI:10.7498/aps.66.224102

*Project supported by the National Natural Science Foundation of China(Grant Nos.11675116)and the Faculty Startup Funding of Soochow University.

?Corresponding author.E-mail:jhjiang@hotmail.com

Topological phase transitions in core-shell gyromagnetic photonic crystal?

Shen Qing-Wei1)Xu Lin1)Jiang Jian-Hua1)2)?

1)(Department of Physics,Optoelectronics and Energy,Soochow University,Suzhou 215006,China)2)(Collaborative Innovation Center of Suzhou Nano Science and Technology,Soochow University,Suzhou 215006,China)

30 August 2017;revised manuscript

8 November 2017)

We found that core-shell gyromagnetic photonic crystal of two-dimensional triangular lattice exhibit topological phases.In a certain parameters and magnetic field,those phases could be a conventional insulator phase,a quantum spin Hall phase,and a quantum anomalous Hall phase.Di ff erent from the structure of Ref[1],phase transitions in our core-shell structure does not involve changes of space symmetry,which depend on parameters of our structure and the broken of time reverse symmetry.Our result shows the variety of topological phase transitions in photonic crystals.

photonic crystal,topological phase transition,topological edge state

10.7498/aps.66.224102

?國(guó)家自然科學(xué)基金(批準(zhǔn)號(hào):11675116)和蘇州大學(xué)科研啟動(dòng)基金資助的課題.

?通信作者.E-mail:jhjiang@hotmail.com